无锡市2026届高三上学期期末数学试卷及答案

无锡市2026届高三上学期期末试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，且，则（）A.1 B. C.2 D.2.数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为（）A. B. C. D.3.等差数列的前项和为，若，（）A. B. C.2 D.4.下列椭圆方程中，形状最接近于圆的是（）A. B. C. D.5.的展开式中，的系数是（）A.－2 B.2 C.12 D.166.若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.8.定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（）A. B.130 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，是共轭复数，则下列运算结果一定是实数的有（）A. B. C. D.10.设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.11.函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（）A. B.C.奇函数 D.零点个数大于1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从正态分布，若，则________.13.已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________.14.已知圆台的母线长为，母线与底面所成角为，且.其内切球的体积为，则该圆台体积的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，求的面积.16.年总台春晚无锡分会场《无锡景·家国情》节目的惊艳亮相，让无锡非遗大放异彩，火爆出圈．惠山泥人是无锡国家级非遗项目，“阿福”“阿喜”是它的代表作品．某文创工作室在春节后推出“惠山泥人非遗盲盒”系列，每个盲盒装有“阿福”“阿喜”“普通泥人”三种款式之一．随机抽取了名购买者，调查其性别与抽中“阿福”的情况，得到如下列联表：抽中“阿福”未抽中“阿福”合计男游客女游客合计（1）依据小概率值独立性检验，判断“抽中‘阿福’”与“游客性别”是否有关；（2）若盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为，某游客决定采用以下规则购买：若第一次抽中“阿福”或“阿喜”，则立即停止购买；若第一次抽中“普通泥人”，则继续购买第二个盲盒；此时：若第二次抽中“阿喜”，则停止购买，若第二次仍未抽中“阿喜”，则继续购买第三个盲盒，且无论结果如何都停止．记最终抽中“阿福”的个数为随机变量，求的分布列及数学期望．附：，17.如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形，，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是.（1）求证：平面；（2）已知，直线与平面所成角的正弦值为.（i）求平面与平面的距离；（ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.18.直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）点为轴上除坐标原点外任意一点，过点分别作的两条切线，切点分别为，.（i）求证：直线过定点；（ii）若直线与分别交于，两点，设四边形的面积为，求的最小值.19.已知函数，，.（1）当时，若的图像与轴相切，求的值；（2）当时，若在有一个零点，求取值范围；（3）设数列满足，.证明：.无锡市2026届高三上学期期末试题数学答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.B6.C7.D8.B二、选择题9.BD10.ABC11.ACD三、填空题12.13.；14.四、解答题15.（1）因为，由正弦定理得，,故，即，解得，又，所以；（2）由（1）知，所以，，即，，所以，所以或，又，所以，，或，所以的面积.16.（1）由代入已知数据得：，临界值，故没有充分证据认为抽中‘阿福’”与“游客性别”有关．（2）盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为，则“阿福”的概率，“阿喜”的概率，“普通泥人”的概率，由购买规则可知，抽中“阿福”的可能取值为，当时情况为：第一次抽中“阿喜”、第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿喜”、第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“普通泥人”且第三次非“阿福”，则；当时情况为：第一次抽中“阿福”、第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿福”且第三次未抽中“阿福”、第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“普通泥人”且第三次“阿福”，则；当时情况为：第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿福”且第三次抽中“阿福”，则；分布列为：012数学期望为：．17.（1）连接，则为的交点，为的交点，连接，因为平行六面体的底面为正方形，分别为面和面的中心，且在底面的射影是，得且，所以四边形为平行四边形，则．又因为面面，所以面．（2）（i）因为平面，得，又因为，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，设平面法向量，则，取，设与平面所成的角为，则，解得或．又因为，所以，所以，所以平面与平面的距离为．（ii）由（i）得，，所以，平面的法向量设，则，,设平面的法向量为，，解得，设平面与平面夹角为，则，解得，所以当为线段的中点，平面与平面夹角的余弦值为．18.（1）设点的坐标为，因为点到轴的距离等于点到点的距离，所以，整理得.故的方程为.（2）（i）由题意设，由，所以，直线的方程为①，直线的方程为②，由①②得，代入①或②得，，所以，设所在的直线方程为，联立，消去得，，可得，所以，所以直线过定点．（ii）因为，所以，因为，所以，即，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为,联立，消去得，，可得，用代替得，，所以四边形的面积，，则，，设，则，令，令，当时，，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，即时，取得最小值．19.（1）当时，函数，则设的图像与轴相切于点，则，即，可得，从而，设，则，令，得，则时，，则函数单调递减，时，，则函数单调递增，所以当时，函数取得最小值为，所以方程只有一解，即，所以；（2）当时，，则，当时，，所以函数在单调递增，此时；所以在上无零点；当