六年级数学下册归总问题建模与应用课教学设计

六年级数学下册归总问题建模与应用课教学设计一、教学内容分析

本课内容隶属于“数与代数”领域，是“解决实际问题”知识链上的关键节点。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，其直接对应“数量关系”主题，要求学生在具体情境中，能运用常见的数量关系（如总量=单一量×数量）解决问题，并形成初步的模型意识与应用意识。知识技能上，学生已具备归一问题、乘除运算及基本数量关系的认知基础，本节课将引导学生逆向运用“总量不变”这一核心关系，建立“归总问题”的数学模型。这一过程不仅是知识的逆向迁移，更是对“不变量”思想的一次深刻体验，在知识图谱中起到承上启下的作用，为后续学习正反比例、复杂工程问题奠定思维基础。过程方法上，本课是渗透数学建模思想的绝佳载体。教学设计需引领学生经历“从生活情境抽象出数学问题—分析数量关系、确定不变量—建立‘先求总量，再求部分’的解题模型—解释与应用模型”的完整过程。素养价值层面，通过解决贴近学生经验的归总问题（如统筹购物、规划时间），旨在培养学生运用数学眼光观察现实世界，用数学思维分析与解决问题的实践能力，同时在严谨的推理与检验中，养成一丝不苟的科学态度。

学情诊断方面，六年级学生已具备较强的逻辑思维和信息提取能力，对“归一问题”的“先求单一量”思路较为熟悉。然而，正因如此，在面临归总问题时，易受思维定势干扰，错误地沿用“先除后乘”的策略。其认知难点在于识别情境中的“不变量”（总量）并将其作为解题的突破口。此外，部分学生对于题中隐含的数量关系（如“照这样计算”、“按照原计划速度”等）的敏感性不足，易导致建模失误。因此，教学对策上，需通过对比分析，强化对问题结构的辨析；通过设计多层次、具象化的探究任务（如线段图、表格辅助），为不同思维类型的学生搭建理解支架。课堂中将通过关键提问、小组讨论中的观点交锋、以及分层练习的即时反馈，动态评估学生模型建构的达成度，并针对理解困难的学生，提供“问题结构分析卡”等可视化工具进行个别化支持。二、教学目标

知识目标：学生能够准确理解归总问题的本质特征（总量固定不变），清晰辨析其与归一问题在结构上的根本差异。在此基础上，学生能完整表述解决归总问题的两步计算模型：第一步，根据已知的“单一量”和对应的“数量”，求出不变量“总量”；第二步，利用求得的“总量”和新的“单一量”（或“数量”），求出所求的“数量”（或“单一量”），并能用规范的综合算式进行表达。

能力目标：学生能够在真实或模拟的复杂情境中，准确识别归总问题的结构特征，自觉运用“先求总量”的策略建立数学模型并解决问题。进一步发展学生的分析、综合与推理能力，特别是在信息繁杂的情境中，能筛选有效信息，厘清数量关系，并能够用线段图、表格等策略辅助分析与检验，提升解决问题的策略性与严谨性。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究与交流中，学生能积极主动地分享自己的解题思路，并认真倾听、理性评价同伴的不同解法，体验策略多样化的魅力。通过解决与实际生活紧密相连的问题，感受数学的应用价值，增强学习数学的内在动机，并在严谨的解题步骤中，培养踏实、有序的做事态度。

科学（学科）思维目标：核心发展学生的模型建构思想与逆向思维能力。通过对比、抽象、概括，引导学生从具体问题中剥离出“总量不变”这一核心关系，并形式化为通用的解题步骤。设计的问题链将引导学生从“正向运用关系”转向“逆向确定中间量”，完成思维的巧妙转换，从而深化对数量关系相互依存、可逆性的认识。

评价与元认知目标：引导学生建立对解题过程进行监控与反思的习惯。学生能依据“审题找不变量建模型解答检验”的步骤框架，评价自己或他人解题过程的完整性。课后，能通过制作知识清单或思维导图，梳理归总问题的关键特征、解题模型及易错点，实现知识的系统化与结构化存储。三、教学重点与难点

教学重点：建立并掌握解决归总问题的两步计算模型，即“先求总量，再求所求量”的核心思路。确立此为重点，源于课标对“运用数量关系解决问题”的能力要求，以及该模型本身在解决一类实际问题中的枢纽地位。它不仅是本课知识的结晶，更是学生从解决单一问题向掌握一类问题解决方法飞跃的关键，是发展模型意识的具体体现，在小升初考查中属于高频核心考点。

教学难点：准确识别问题情境中的“不变量”（总量），并正确判断第一步计算所需的“对应关系”。难点成因在于：第一，学生易受归一问题解题模式的负迁移影响；第二，实际问题中，总量往往是隐含的，需要学生从变化的条件中分析得出；第三，条件与问题的对应关系有时并非直接呈现，需要学生进行逻辑判断。突破方向在于强化对比教学，利用直观手段（如线段图动态演示）使“总量不变”显性化，并设计专项辨析练习，锤炼学生分析数量关系的“火眼金睛”。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境动画、对比表格、动态线段图）；实物投影仪。1.2学习材料：分层学习任务单（含基础探究、变式练习、挑战题）；归总问题与归一问题对比辨析卡；小组讨论记录表。2.学生准备2.1知识预备：复习归一问题的解法，预习教材相关例题。2.2学具：直尺、铅笔。3.环境布置3.1座位安排：四人小组围坐，便于合作探究。3.2板书规划：左侧预留核心概念与模型区，中部为探究过程区，右侧为学生作品展示与易错点区。五、教学过程第一、导入环节

1.情境激趣，引出冲突：“同学们，我们学校最近是不是在筹备毕业季活动呀？假设班委用一笔钱去买纪念品，如果买单价6元的书签，正好可以买30个。现在如果想买单价9元的精美笔记本，可以买多少个呢？大家先凭直觉猜猜看，数量会比30多还是少？”

1.1提出问题，唤醒旧知：“有同学说会变少，因为东西变贵了。这中间不变的是什么？（等待回答：总钱数。）非常好！这个‘总钱数’就是我们解决问题的关键。那么，这个问题和我们之前学过的‘归一问题’像吗？比如‘买3个书签花了18元，买8个同样的书签要多少钱？’它们之间有什么本质不同？”（引导学生初步感知：归一问题求单一量不变；新问题中总钱数不变。）

1.2明晰路径，揭示课题：“看来，遇到‘总量固定’的问题，我们不能再用老办法了。今天，我们就来当一回‘数学侦探’，专门破解这类‘总量不变’的谜题，学会一种新的解题模型——归总问题。”第二、新授环节任务一：初探模型，解析结构

教师活动：呈现导入环节的“买纪念品”完整题目。首先，引导学生齐读题目，并提问：“题目中哪句话暗示了‘总钱数’是不变的？”（预设：“用一笔钱去买……”）。接着，教师在黑板上画出两条等长的线段，代表总钱数。第一条线段平均分成30小段，每段标“6元”，问：“这表示什么情况？”第二条线段下面提问：“如果每份变成9元，那么总钱数线段能分出这样的几份？”动态演示分段过程。然后抛出核心问题：“要求出可以买几个笔记本，我们必须先知道什么？这个‘总钱数’题目直接告诉我们了吗？该怎么求？”

学生活动：学生阅读题目，寻找并勾画表示“不变量”的关键词。观察教师的线段图演示，理解总钱数不变是解题的基石。思考并回答教师提问：必须先知道总钱数；总钱数没有直接给，但可以根据“单价6元，买30个”这两个条件求出来。尝试口头表述第一步：6×30=180（元），再表述第二步：180÷9=20（个）。

即时评价标准：1.能否准确找到并指出题目中暗示“总量不变”的信息。2.能否在线段图的辅助下，清晰说出“要求什么，必须先求什么”的逻辑链条。3.口头列式的步骤是否清晰、完整。

形成知识、思维、方法清单：

★归总问题核心特征：一个问题中，存在一个固定不变的“总量”。这是识别归总问题的标志，也是解题的突破口。

★基本解题模型（两步法）：第一步，利用已知的一组“单一量”和“数量”，求出隐藏的“总量”。计算公式为：总量=单一量①×数量①。第二步，利用求得的“总量”和另一个“单一量”（或“数量”），求出所求的“数量”（或“单一量”）。计算公式为：数量②=总量÷单一量②，或单一量②=总量÷数量②。

▲辅助策略——线段图：用两条等长的线段表示不变的“总量”，可以直观地对比条件变化，帮助理解“先求总量”的必要性。这是将抽象关系可视化的好方法。任务二：对比辨析，深化认知

教师活动：将“归总问题”例题与一道典型的“归一问题”例题并排呈现。组织小组讨论：“这两道题‘长相’上有什么相似之处？但它们的‘心脏’（核心数量关系）一样吗？请分别画出它们的关键数量关系式。”巡视小组，引导他们关注问题最后的发问方式与中间不变量类型的关系。讨论后，请小组代表利用实物投影展示并讲解。教师总结：“归一问题是‘单一量’不变，所以‘先求一份是多少’；归总问题是‘总量’不变，所以必须‘先求总量是多少’。这真是‘对症下药’啊！”

学生活动：以小组为单位，对比分析两道例题。尝试用“每份数×份数=总数”的关系式去剖析两者。通过画图或写关系式，明确归一问题的关键是“单一量不变”，步骤是“先除后乘”；归总问题的关键是“总量不变”，步骤是“先乘后除”。派代表进行汇报，阐述两者的本质区别。

即时评价标准：1.小组讨论时，成员是否都能参与分析，贡献观点。2.展示时，能否用准确的语言（如“不变量”、“对应关系”）说明两类问题的异同。3.归纳的结论是否清晰、准确。

形成知识、思维、方法清单：

★与归一问题的核心区别：关键在于识别哪个量是不变的。归一问题是“单一量”不变，归总问题是“总量”不变。解题第一步恰好相反。可以用一个口诀帮助记忆：“归一先求一份量，归总先求总量藏。”

▲审题关键点：要特别关注“照这样计算”、“用同样速度”、“这笔钱”等词语，它们往往是提示不变量存在的“信号词”。但最终判断需基于完整的数量关系分析。任务三：变式应用，拓展模型

教师活动：出示变式题：“一批纸张，如果每本装订30页，可以装订50本。现在想装订成60本，每本应装订多少页？”提问：“这道题里，不变的‘总量’是什么？（总页数）第一步求总页数，需要的‘单一量’和‘数量’分别是什么？（30页和50本）第二步呢？”引导学生完成解答。接着，提出挑战：“如果题目变成‘想每本装订25页，可以多装订几本？’这又该怎么想？‘多装订’这个信息怎么处理？”引导学生先求出新数量，再与原数量比较。

学生活动：独立分析变式题，识别“总页数”不变。尝试自己列出综合算式：30×50÷60=25（页）。面对挑战性问题，学生可能产生困惑。在教师引导下，理解需先求出装订25页时的总本数：30×50÷25=60（本），再用6050=10（本）算出“多装订”的数量。部分学生可能直接列出（30×50÷25）50的算式。

即时评价标准：1.能否在不同情境（如装订书本、工程计划等）中快速识别“总量”。2.面对“多（少）几”的问题时，能否清晰地将问题分解为两步：先求新数量，再进行比较。3.列综合算式时，运算顺序是否正确。

形成知识、思维、方法清单：

★模型的变式应用：归总问题的模型不仅限于“单价、数量、总价”，也适用于“工作效率、工作时间、工作总量”，“速度、时间、路程”等任何符合“每份数×份数=总数”关系的情境。核心是抓住“总数不变”。

▲处理“多（少）几”问题：当问题不是直接求新的单一量或数量，而是求相差数时，解题模型需要延伸一步。即：先用归总模型求出新的量，再将这个新量与原来的量进行比较。要避免一步到位的错误列式。任务四：错例诊断，强化理解

教师活动：展示一道典型错例（学生误用归一方法：先除后乘）。提问：“这位同学是怎么想的？他的做法错在哪里？”组织同桌互议。然后，请学生扮演“小医生”来“诊断病因”并“开出药方”（改正）。教师总结常见错误类型：1.不审清不变量，盲目套用归一法。2.第一步对应关系找错。3.综合算式运算顺序错误。

学生活动：观察错例，分析错误原因。同桌讨论，明确指出错误在于没有抓住“总量不变”，错误地认为“单一量不变”。扮演“小医生”，指出正确步骤应先求总量，再求所求量。通过此过程，加深对正确模型的理解，并警示自己避免犯同类错误。

即时评价标准：1.“诊断”是否准确，能否一针见血地指出核心错误（混淆不变量）。2.“药方”（改正方案）是否规范、完整。3.能否归纳出避免此类错误的审题要点。

形成知识、思维、方法清单：

★典型错因分析：最常见的错误是受思维定势影响，未识别出“总量不变”，错误地使用归一问题的解法（先除后乘）。这提醒我们，审题时第一要务是判断“谁不变”。

▲检验策略：完成解题后，可以将求得的结果代入题中，反向推算，看是否与另一个已知条件相符。这是一种有效的自我验证方法。第三、当堂巩固训练

设计分层练习体系：

1.基础层（全员通关）：“工程队修路，每天修120米，15天可以修完。如果要求10天修完，每天要修多少米？”（直接应用模型，巩固两步计算。）

2.综合层（多数挑战）：“小明读一本书，计划每天读12页，20天读完。实际每天比计划多读3页，实际多少天读完？”（需要先求出实际每天读的页数，再应用归总模型。略有干扰信息。）“大家注意，‘多读3页’这个信息，我们该怎么用它？别急，我们先把它‘翻译’成数学语言。”

3.挑战层（学有余力）：“一间教室，用边长0.3米的方砖铺地，需要400块。如果改用边长0.4米的方砖铺地，需要多少块？”（涉及面积公式，需先理解“教室地面总面积”不变，且“方砖面积×块数=总面积”。）教师提示：“铺地问题里，什么是不变的？每块砖的‘单一量’还是边长吗？想一想铺地的原理。”

反馈机制：学生独立完成后，首先进行小组内互批互讲，重点讲解错误原因。教师巡视，收集共性疑难。然后针对挑战题进行全班精讲，请做对的学生分享思路，教师利用课件动态演示方砖面积与数量的反比例关系（为后续学习埋下伏笔），并强调审题时对“不变量”本质的深入理解。“恭喜你，已经掌握了归总问题的‘标准解法’！但生活问题往往更复杂，我们来看看这个‘升级版’挑战。”第四、课堂小结

知识整合：引导学生以思维导图或知识树的形式进行总结。中心词为“归总问题”，主干包括：1.特征（总量不变）。2.解题模型（两步：先乘求总量，后除求新量）。3.关键（找准不变量及对应关系）。4.易错点（与归一混淆）。5.常用情境（购物、工程、行程等）。“请大家闭上眼睛，回忆一下，今天我们解锁的‘新技能’最关键的一步是什么？对，就是第一步——找到并求出那个藏起来的‘总量’！”

方法提炼：回顾学习过程，提炼出解决此类问题的一般方法论：审题抓不变量→分析对应关系→建立两步模型→解答并检验。强调“模型化”思想的重要性。

作业布置：

必做（基础+拓展）：完成练习册上归总问题的基础题和一道综合应用题。

选做（探究）：寻找生活中一个可以用归总问题解决的实例，记录下来，并编写成一道完整的数学题目，下次课与同学分享。六、作业设计

基础性作业：

1.根据条件，口头说出解题第一步应先求什么：①买4支笔花20元，买6支同样的笔需要多少钱？（归一，先求单价）②用20元买4元一支的笔，可以买几支？（归总，先求总钱数？辨析：此题总钱数已知，实为直接除法，非典型归总，用于辨析）。

2.完成教材例题后的“做一做”题目，要求列综合算式解答并验算。

拓展性作业：

1.情境应用题：“学校给合唱队订做演出服，如果每套用布2米，可以做60套。后来改进了设计，每套节省用布0.2米，这些布现在可以做多少套？”（需先求新单一量：20.2=1.8米）。

2.图文结合题：提供一张简单的购物小票（部分信息缺失），让学生根据已知的单价和数量关系，补充缺失的总价或数量信息。

探究性/创造性作业：

1.小调查：回家了解家中一项固定预算的开支情况（如每月水电费固定额度），尝试提出一个“如果单价变化，用量会如何变化”的归总问题，并计算。

2.数学日记：以《我是“总量”侦探》为题，记录今天学习归总问题的过程，重点描述自己是如何“侦查”出题目中隐藏的不变量的，并画出解题思路图。七、本节知识清单及拓展

★01.归总问题的定义：指在解决问题时，需要先根据已知条件求出“总量”，再利用这个“总量”和新的条件求出所求问题的应用题。其数学本质是“总量（乘积）不变”。

★02.核心数量关系式：基础关系为总量=单一量×数量。所有变式都基于此式，已知其中两个量可求第三个量。在归总问题中，总量是固定值。

★03.通用解题模型（两步法）：第一步（求总量）：用最初已知的单一量（①）和对应的数量（①）相乘。即：总量=单一量①×数量①。第二步（求新量）：用求得的总量除以新的单一量（②）得到新的数量（②），或除以新的数量（②）得到新的单一量（②）。即：数量②=总量÷单一量②，或单一量②=总量÷数量②。

★04.与归一问题的本质区分：归一问题：单一量（每份数）不变，解题关键是“先求单一量”（一步除法）。归总问题：总量（总数）不变，解题关键是“先求总量”（一步乘法）。这是判断用哪种方法解题的“分水岭”。

▲05.不变量“信号词”：题目中常出现“照这样计算”、“用同样的…”、“这批”、“这笔”、“原计划”等词语，可能提示存在不变量，但不能绝对依赖，必须结合完整的关系分析。

★06.基本题型（直接应用）：已知单一量A和数量A，求当单一量变为B时，数量B是多少？或当数量变为B时，单一量B是多少？直接套用两步模型即可。

▲07.变式题型1：先求新单一量/数量：题目中新的单一量（或数量）不是直接给出，需要先通过一步计算求出。如“实际每天比计划多生产3个”，需先算出“实际每天生产数=计划数+3”，再代入模型。

▲08.变式题型2：求“多（少）几”：问题不是求新的量，而是求新量与旧量的差值。解题模型需延伸一步：先用归总模型求出新量，再进行减法计算。切勿试图一步列式解决。

★09.辅助策略——线段图：用两条长度相等的线段表示不变的“总量”。第一条按初始条件分段，第二条按新条件分段。能直观展示“为什么先求总量”，是突破抽象思维困难的有效工具。

▲10.辅助策略——列表法：对于条件较多的题目，可以列一个三栏表格（单一量、数量、总量），将已知和未知填入，能清晰展示对应关系和缺失项，帮助规划解题步骤。

★11.检验方法：解答完成后，将结果作为已知条件，反向代入题中，看能否推导出另一个已知条件。例如，求出新数量后，用“新单一量×新数量”看是否等于第一步求出的总量。

▲12.典型易错点：最常见错误是混淆归一与归总，误用“先除后乘”。根源在于审题时没有锁定“总量不变”这一特征。多进行对比练习是克服定势干扰的好方法。

▲13.模型拓展应用领域：此模型不仅用于“单价×数量=总价”，还广泛适用于：工作效率×时间=工作总量、速度×时间=路程、每平方米产量×面积=总产量、每份人数×份数=总人数等任何满足乘除关系的场景。

▲14.隐含的数学思想——函数思想（早期渗透）：当总量固定时，单一量与数量成反比例关系（一个扩大，另一个就缩小）。例如，单价越贵，买的数量就越少。这为六年级下册正式学习反比例积累了丰富的感性经验。

★15.审题标准化流程建议：一读：通读题目，了解大意；二找：寻找并圈出可能表示“不变量”的词语；三判：判断属于“归一”（单一量不变）还是“归总”（总量不变）；四析：分析已知条件与问题的对应关系；五解：按模型列式解答；六验：回顾检验。八、教学反思

（一）目标达成度评估：从课堂后测（巩固练习正确率）看，约85%的学生能独立、准确地解决基础与综合层级的归总问题，表明“两步法”模型已基本建立。学生在小结时能清晰说出“先求总量”的核心思路，并有多位学生主动对比了归一与归总的区别，说明知识结构化目标初步达成。然而，在挑战题（铺砖问题）中，约30%的学生未能成功将“地面总面积”识别为不变量，而是纠结于“砖的边长”，反映出部分学生对“总量”概念的理解仍停留在表层，未能灵活迁移到新情境（面积模型）中。这提醒我，模型意识的培养不能仅靠一两个例题，需要更多元的变式来深化概念本质的理解。“学生能说出模型步骤，不等于真正理解了模型的本质，迁移能力才是更高的考验。”

（二）教学环节有效性分析：导入环节的生活情境成功激发了兴趣并制造了认知冲突，为新课学习创造了良好心理预期。任务一（初探模型）中，动态线段图的运用效果显著，直观地“锁定”了不变量，使抽象的“先求总量”变得必然且可视，这一“脚手架”搭设得较为成功。任务二（对比辨析）是本课亮点，通过小组合作将新旧知识主动对比、建构联系，有效突破了思维定势的潜在干扰。学生在此环节的讨论非常热烈，生成了许多精彩的观点。任务四（错例诊断）赋予了学生“医生”角色，激发了他们的主体性和批判性思维，对强化正确认知效果明显。略显不足的是，任务三（变式应用）到任务四的过渡稍显急促，部分思维较慢的学生可能还未充分消化变式，就进入了诊断环节，下次可考虑在两者间增加一个短暂的独立练习与同桌互查时间。

（三）学生表现与差异化关照：在小组探究和全班分享中，观察到逻辑清晰的学生（A层）不仅能解决问题，还能概括方