有理数乘法运算律的深度建构与灵活应用-七年级数学培优教学设计

有理数乘法运算律的深度建构与灵活应用——七年级数学培优教学设计一、教学内容分析

本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，是学生在学习了有理数乘法法则基础上，对运算规律的首次系统性归纳与提升。从知识图谱看，乘法运算律（交换律、结合律、分配律）是数系运算的通用“骨架”，其认知要求从“识记”层面跃升至“理解”与“综合应用”。它上承小学非负有理数运算律的经验，下启后续整式、分式、实数乃至向量运算的广泛迁移，是构建结构化知识体系的关键节点。从过程方法看，课标强调“通过具体运算，归纳运算律”，这要求教学设计必须超越简单告知，转而设计有效的探究活动，引导学生经历“观察特例—提出猜想—举例验证（包括反例）—归纳概括—符号表达”的完整数学化过程，深刻体悟从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。在素养价值层面，本课是发展学生“运算能力”与“推理意识”的绝佳载体。灵活运用运算律进行简算，不仅指向运算的准确与熟练，更指向对算理的理解和策略的优化选择，是理性思维的具体体现。同时，在合作探究中养成严谨、求实的科学态度，体会数学的简洁与和谐之美，实现知识学习与素养发展的同频共振。

从学情诊断出发，七年级学生已具备非负数范围内的运算律使用经验，但面对引入负数后的有理数范围，其心理认同和主动应用意识存在断层。常见障碍在于：一是符号意识薄弱，在运用结合律、分配律时容易忽略负号或处理不当；二是思维定势影响，习惯于从左到右顺序计算，缺乏主动观察算式结构、寻求优化路径的意识和策略。基于此，教学对策应强化“对比”与“体验”。通过设计对比计算（顺序算vs.简算），让学生直观感受运算律带来的便捷，激发内需。过程评估将贯穿始终：在新知探究阶段，通过巡视观察学生举例验证的全面性（是否考虑多种符号情况）；在应用阶段，通过板演和即时问答，诊断其对于律的选择依据和符号处理细节。针对不同层次学生，支持策略将分层呈现：对于基础层，提供“结构识别”脚手架，如用不同颜色标注可结合或分配的部分；对于进阶层，则挑战其在包含分数、小数混合运算中灵活搭配使用多个运算律，并鼓励其对方法进行概括和表达。二、教学目标

知识目标：学生能准确用数学符号语言（字母表示）表达有理数的乘法交换律、结合律和乘法对加法的分配律，理解其普适性（在有理数范围内成立）；能辨析不同运算律的适用算式结构特征，并能在具体计算中，特别是面对含有负数的混合运算时，主动识别并合理选用运算律简化运算过程。

能力目标：学生经历“观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，发展合情推理与初步演绎推理的能力；通过解决复杂情境下的简算问题，提升对算式的结构化分析能力、策略性规划能力以及优化意识，形成扎实的运算素养。

情感态度与价值观目标：在探究与验证活动中，体验数学结论的确定性和严谨性，养成言必有据、一丝不苟的科学态度；在小组协作与交流中，乐于分享自己的发现，并尊重和理解他人的观点，感受数学探索的乐趣与团队智慧。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的抽象概括思维与模型思想。引导学生从众多具体算式中剥离出共同本质，用字母符号构建一般化的数学模型（运算律）；在应用环节，训练其将具体问题识别并匹配到相应模型（逆用模型）的化归思维。

评价与元认知目标：引导学生建立简算有效性的评价标准（如步骤是否减少、计算是否变易、结果是否准确）；在练习后，能通过对比不同解法，反思自己策略选择的优劣，并尝试总结“在什么情况下，优先考虑哪种运算律”的个人经验，提升学习的管理与调控能力。三、教学重点与难点

教学重点：有理数乘法运算律的理解及其在简化运算中的灵活应用。确立依据在于：从课程标准看，运算律是“数与代数”领域的核心大概念，是算理贯通和算法优化的理论基础；从学业评价看，能否灵活运用运算律进行简便计算，是衡量学生运算能力层级的关键指标，也是中考中考察基础运算素养的常见考点。它直接决定了学生后续学习代数式运算的效率与深度。

教学难点：乘法分配律在有理数运算中的正确应用，特别是当分配律项为负数时的符号处理，以及逆用分配律进行因式提取。预设难点成因有二：一是认知跨度大，分配律涉及两种运算的混合，逻辑关系较交换律、结合律更复杂；二是常见错误集中，学生极易在分配时漏乘项或弄错符号，而逆用分配律更需要逆向思维和敏锐的结构观察力，这对七年级学生是较大挑战。突破方向在于：通过几何直观（面积模型）辅助理解算理，并设计针对性的错误案例进行辨析，强化正反两方面的认知。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与课件：制作互动式PPT，包含探究情境、动态演示（如面积模型解释分配律）、分层例题与练习题。

1.2学习工具与材料：设计并印制《课堂探究学习任务单》，内含引导性问题、记录表格和分层练习区；准备实物投影仪，用于展示学生解题过程。

1.3环境与板书规划：黑板左侧预留区域用于板书核心运算律的符号表达和文字语言；中间主体区域用于呈现探究过程和学生范例；右侧作为“方法凝练区”，总结简算策略。2.学生准备

2.1知识回顾：复习有理数乘法法则及小学学过的乘法运算律。

2.2学具：准备好练习本、文具，以及积极思考的大脑。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设——挑战计算速度：同学们，我们先来进行一个小挑战。请快速计算：（125）×（23）×（8）。给大家30秒，看谁算得又快又准。（稍停，观察学生）我看到大部分同学都在埋头列竖式或多步计算，有同学眉头紧锁，感觉怎么样？是不是觉得数字有点大，步骤有点烦？别急，老师有个“魔法”，能让这道题变得非常简单。想知道这个“魔法”是什么吗？

1.1对比体验，激发冲突：我们再算一道：5×（3+7）。你是先算括号里的，还是用别的方法？大家发现了吗，有时候按部就班计算并不是最快最好的选择。在数学的世界里，有一些强大的“工具”能帮助我们化繁为简，它们就是我们小学就认识的老朋友——运算律。但今天，我们要把它们请到有理数这个更广阔的天地里，看看它们是否依然威力无穷。

1.2提出核心问题：那么，有理数的乘法，还满足交换律、结合律和分配律吗？如果满足，我们又如何利用这些“超级工具”来征服复杂的计算呢？这就是今天我们要一起探险的旅程。第二、新授环节任务一：唤醒旧知，提出有理数范畴的猜想

教师活动：首先，我会引导学生用字母复述小学学过的乘法运算律。接着，抛出核心问题：“当数域从非负有理数扩展到全体有理数（正数、0、负数）时，这些运算律还成立吗？你的依据是什么？”我不会急于给出答案，而是鼓励学生基于刚刚计算（125）×（23）×（8）的直觉和已有经验进行猜想。我会说：“大胆猜，数学的发现往往从猜想开始。你觉得成立的理由可能是什么？觉得不成立，又担心什么？”同时，我会在黑板记录学生的不同观点，营造探究氛围。

学生活动：学生回忆并口头或用字母表述交换律、结合律、分配律。针对教师的提问，进行思考并与同桌进行简短交流。部分学生可能基于直觉认为“应该成立”，部分学生可能对涉及多个负数的情况心存疑虑。他们尝试用自己的语言表达猜想的依据或困惑。

即时评价标准：1.能否准确回忆并用字母表示至少一个运算律。2.猜想时是否有自己的思考，哪怕只是感觉“好像行”或“负数多了会不会不行”。3.是否愿意分享自己的观点，无论对错。

形成知识、思维、方法清单：★运算律的迁移猜想：数学中，一个规律是否具有普适性，需要从原有范围推广到新范围进行验证。这是数学发展的常见路径。▲猜想的态度：猜想不等于结论，它需要后续严格的验证来证实或证伪。敢于猜想是探索的第一步。任务二：聚焦交换律与结合律的验证与归纳

教师活动：以乘法交换律为例，搭建验证脚手架。“如何验证在有理数范围内，a×b=b×a恒成立呢？”我会引导学生思考：这里的a、b可以代表哪些数？预设学生回答正数、负数、零。接着，组织小组活动：每组同学分工合作，每人举几组不同的具体数值例子进行计算验证（特别提醒要包含两个正数、一正一负、两个负数、含零等情况），并记录在任务单上。巡视时，我会重点关注意识薄弱的学生，提示他们“别忘了试试（2）×3和3×（2）哦，看看积的符号和绝对值”。待各组充分验证后，请小组代表汇报。我会追问：“我们举了这么多例子，都成立，能‘证明’它一定成立吗？反过来说，如果想证明它不成立，需要怎么做？”从而渗透“证明恒成立需一般性推理，举反例即可否定”的思维。

学生活动：以小组为单位，展开举例验证。学生动笔计算诸如（5）×4与4×（5），（3）×（2）与（2）×（3）等具体算式，比较结果。他们会在任务单上记录算式和结果，并初步得出“好像都成立”的结论。在教师追问下，思考“例子举不完”与“结论可靠性”之间的关系。

即时评价标准：1.举例是否具有代表性（涵盖各种符号情况）。2.计算过程是否准确（尤其是符号法则）。3.小组内是否有明确的分工与合作交流。

形成知识、思维、方法清单：★有理数乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。即a×b=b×a。核心提示：验证时需考虑数的完备性（正、负、零）。★有理数乘法结合律：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(a×b)×c=a×(b×c)。方法提示：结合律的核心是“结合顺序”，而非位置交换，它常用于将乘积为整十、整百的数优先结合。▲不完全归纳与数学严谨性：通过有限个具体例子验证得出的结论，对于无数个有理数而言，是一种强有力的支持（合情推理），但最严格的证明需后续学习。然而，寻找一个反例即可推翻猜想。任务三：攻坚克难——分配律的深度理解与验证

教师活动：这是难点所在。首先，我会再次明确分配律的形式：a×(b+c)=a×b+a×c。提出问题：“当a是负数时，这个等式还成立吗？它意味着什么？”为了化解抽象，我将引入几何直观模型。通过动画演示：一个长为(b+c)、宽为a的长方形，其面积a(b+c)可以看作两个小长方形面积ab与ac之和。即使a、b、c表示负数（方向意义），面积模型的整体与部分关系依然成立。接着，同样组织举例验证，特别强调a取负数、b和c符号不同的组合。我会走到学生中间，轻声点拨：“试试a=3,b=2,c=4，左右两边分别算算看。”

学生活动：学生观看几何模型演示，直观感受分配律的合理性。随后进行数值验证，重点计算教师提示的负系数案例。他们可能会发现，当a为负数时，右边的a×b和a×c也都是负数，这与“负数乘正数得负”等法则自洽。通过计算，确认等式成立。

即时评价标准：1.能否理解几何模型与代数等式之间的对应关系。2.验证举例时，是否主动尝试a为负数的关键情况。3.计算a×b+a×c时，是否先确定每个积的符号，再进行加法运算。

形成知识、思维、方法清单：★有理数乘法分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即a×(b+c)=a×b+a×c。易错警示：注意“分别相乘”不能漏项，且符号处理是关键：a的符号要分配给b和c。▲数形结合理解算理：当抽象的代数推理遇到困难时，借助几何直观（如面积、线段）是理解数学规律的有效手段。▲分配律的逆用：该等式从左到右是“分配”，从右到左是“提取公因数”，即ab+ac=a(b+c)。这是后续代数式运算的重要基础。任务四：策略初探——运算律在简算中的基本应用

教师活动：回到导入的挑战题：（125）×（23）×（8）。提问：“现在，谁有‘魔法’了？你打算怎么用？”引导学生观察数字特征：125与8相乘可得1000。进而提问：“这用到了哪个运算律？改变了运算的什么？”（结合律，改变了结合顺序）。板书标准解答过程，并强调为了清晰，可以运用“搬家”（交换律）和“结合”（结合律）两个步骤，通常将乘积为整十、整百、互为倒数的数相结合。接着，呈现例题：计算(－36)×(－＋－)。提问：“直接按顺序算？还是……”引导学生发现括号内分母都是36的因数，适用分配律。让学生先独立尝试，再请两位同学板演，可能一位按顺序算，一位用分配律。

学生活动：学生跃跃欲试，指出125和8先乘。他们口述或书写应用结合律的过程。对于分数例题，学生观察、思考，部分学生尝试使用分配律计算。观看板演后，对比两种方法的步骤繁简和计算量大小，直观感受运算律的优势。

即时评价标准：1.能否从算式中识别出“特征数对”（如125和8，36与分母的关系）。2.应用运算律时，步骤书写是否规范、清晰。3.能否通过对比，说出简算带来的好处。

形成知识、思维、方法清单：★简算的基本策略1（找朋友）：观察算式中数的特征，优先将乘积为整十、整百、整千的数，或互为倒数的数，利用交换律和结合律“凑整”计算。★简算的基本策略2（化零为整）：当算式是“一个数乘以几个数的和/差”的形式，且直接计算和/差较复杂，而该数与和/差中的每个数相乘较简单时，优先考虑使用乘法分配律。思维提示：选择运算律的前提是对算式整体结构的观察与分析，养成“先观察，后计算”的习惯。任务五：思维进阶——分配律的逆用与综合应用

教师活动：提出挑战性问题：计算(－)×8+(－)×2。很多学生可能直接按顺序计算。我会引导：“大家看看，这个式子长得像我们刚学的哪个等式的右边？”（a×b+a×c）。继续追问：“这里的‘a’（相同的因数）是谁？”学生可能找到公因数(－)。接着演示逆用分配律：原式=(－)×(8+2)。让学生计算并体会其简便性。然后，提升复杂度：计算3.14×（6）+3.14×（14）。这里“a”是3.14，但它是正数，而括号内是负数之和。强调符号处理的连贯性。我会说：“看，运算律就像积木，正着能搭，反过来也能拆，关键是要认出相同的‘积木块’。”

学生活动：学生观察算式，在教师引导下识别出公因数。理解“逆用”的含义——将分配律的等式从右向左看。他们尝试写出逆用过程并计算，感受到将两次乘法运算合并为一次乘法和一次加法的简便。对于第二个例子，他们需要正确处理：3.14×[(6)+(14)]=3.14×(20)。

即时评价标准：1.能否从和的形式中，识别出各项的公因数（包括符号）。2.逆用分配律时，书写格式是否准确（提取公因数，括号内为剩余因数的和）。3.在综合运算中，能否有条理地依次或组合运用多个运算律。

形成知识、思维、方法清单：★分配律的逆用（提取公因数）：当算式是几个乘积的和的形式，且每个乘积中有一个相同的因数时，可以将这个公因数提取出来，写成这个公因数乘以其余因数之和的形式。即ab+ac=a(b+c)。易错点：提取公因数时，要连同它的符号一起提取；括号内的项数要与原式一致。▲综合应用策略：面对复杂的混合运算，需全局观察，灵活选用甚至组合使用多个运算律。顺序可能是：先观察能否逆用分配律提取公因数，再考虑能否运用交换律、结合律“凑整”，最后按运算顺序计算。第三、当堂巩固训练

设计分层练习，学生根据自身情况至少完成前两层。

基础层（全体必做，巩固核心应用）：

1.填空：（5）×（12）×2=(5)×2×()，这里运用了______律，结果是。

2.用简便方法计算：（－）×（48）。请一位基础较弱的学生板演，重点评价其分配过程是否完整、符号是否正确。

综合层（多数学生挑战，强化结构识别）：

3.计算：－×（－）＋×（－）。这道题需要先逆用分配律，再进行计算。教师巡视，收集典型解法（正误皆可）备用。

4.思考：计算（125）×（25）×（5）×（4）×（8）的最简便方法是什么？说说你的组合策略。

挑战层（学有余力者选做，发展高阶思维）：

5.探究：我们学过加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律。那么，减法有交换律或结合律吗？请举例说明你的观点。

反馈机制：基础题板演后，由学生互评，教师强调关键步骤。综合题通过实物投影展示不同学生的解答过程，进行对比讲评，重点分析第3题中提取公因数的技巧（将看作）。对于挑战题，鼓励学生分享例子，引发思维碰撞，教师最后总结减法和除法没有交换律、结合律，为后续学习埋下伏笔。第四、课堂小结

引导学生进行自主总结与反思。

知识整合：“请用一句话或一个图表，概括你今天学到的最重要的东西。”邀请几位学生分享，可能有人提到“运算律在有理数里照样好用”，有人提到“先看再算，找特征”。教师在此基础上，完善板书的知识结构图，将三个运算律及其应用策略串联起来。

方法提炼：“回顾一下，我们是如何发现并确认这些运算律的？（猜想验证归纳）。在简便计算时，我们的一般思路是什么？（观察结构—匹配运算律—优化计算）”

作业布置：

必做（基础+综合）：1.教科书对应练习中，关于运算律应用的常规题目。2.自行编写一道能运用乘法运算律简便计算的题目，并给出解答。

选做（探究）：查阅资料或自行思考，为什么减法、除法没有像加法、乘法那样的交换律和结合律？尝试用字母举例说明。

最后，与学生共勉：“今天，我们给计算装上了‘加速器’。希望同学们在以后的计算中，都能养成先观察、后动手的好习惯，让数学思维为你的运算插上翅膀。”六、作业设计

基础性作业：

1.熟记有理数乘法的三个运算律，并用字母公式表示。

2.计算下列各题，并说明每一步所依据的运算律：

（1）(4)×(7)×25

（2）(－＋)×(24)

（3）(5)×3+(5)×(7)

拓展性作业：

3.生活应用：某冷库的室温原为0℃，现有一批食品需要快速降温。一种方案是使用一台功率为2.5千瓦（表示制冷）的制冷机连续工作6小时。另一种方案是同时启动两台相同的这种制冷机工作3小时。请用有理数乘法和运算律的知识解释，两种方案的总制冷效果（用“千瓦·时”为单位）是否相同？并计算总制冷量。

4.计算：×(13)×5+×(2)。（考查逆用分配律时，对分数公因数的识别）。

探究性/创造性作业：

5.“算24点”升级版：现有四个有理数：3，4，6，10。运用加、减、乘、除（可用括号）连接，每个数只能用一次，使其结果等于24。请尽可能多地写出不同的算式，并尝试在你的算式中标出所使用的运算律。七、本节知识清单及拓展

★1.有理数乘法交换律：a×b=b×a。说明：只交换因数的位置，不改变运算顺序。它是“凑整”计算中调整数位置的理论依据。

★2.有理数乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。说明：改变的是相乘的“结合”顺序，因数前后位置不一定改变。常与交换律联用，将易于计算的数先结合。

★3.有理数乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。核心提示：这是连接乘法与加法的桥梁，也是难点。要特别注意：a需要与括号内的每一个加数相乘，不能漏乘；当a为负数时，分配后各项的符号由a的符号与原加数的符号共同决定。

▲4.分配律的逆用（提取公因数）：a×b+a×c=a×(b+c)。方法：当算子是几个积的和，且每个积里都有相同的因数时，可将其提出。这是代数式因式分解的雏形。

★5.简便运算的基本思路：一观察、二联想、三应用。观察算式的整体结构和数字特点；联想对应的运算律；应用运算律重组计算步骤。目标是化繁为简、化难为易。

▲6.运算律的验证方法：不完全归纳法（举例验证）。通过涵盖正数、负数、零的各种组合例子来支持猜想。需知举例不能证明其绝对普遍性，但举出一个反例即可推翻。

★7.应用运算律的书写规范：在步骤中，通常先写出运用运算律变形的等式，再计算结果。如：(125)×(23)×(8)=[(125)×(8)]×(23)=1000×(23)=23000。清晰的书写有助于体现思考过程。

▲8.数形结合理解分配律：将a(b+c)看作一个长方形的面积，其中长为(b+c)，宽为a，它等于两个小长方形面积ab与ac之和。这一模型直观揭示了分配律的几何意义，尤其有助于理解a为负时（方向意义）的合理性。

★9.常见错误警示：（1）运用结合律时，忘记带符号“搬家”。（2）运用分配律时，漏乘某项或符号错误，如：3(2x1)=6x1（漏乘1项且符号错）。（3）逆用分配律时，提取公因数后，括号内项数减少或符号错误。

▲10.与小学知识的联系与区别：运算律的形式完全一致，区别在于数的范围扩大到了有理数。因此，小学的简算技巧（如凑整、拆数）在有理数范围依然有效，但必须格外关注符号的处理，这是初中阶段的新要求和新重点。八、教学反思

（一）目标达成度分析：从当堂巩固训练的完成情况看，约85%的学生能独立完成基础层和综合层的前两题，表明对运算律的基本理解和直接应用目标基本达成。在板演和展示中，学生能较为规范地写出运用运算律的步骤，并用语言简要说明依据，推理意识和表达能力得到了锻炼。挑战层第5题引发了小范围的热烈讨论，部分学生能举出像“53≠35”这样的反例，说明对运算律成立的条件有了初步的批判性思考。情感目标在小组验证环节表现明显，学生们为找到一个支持猜想的例子而雀跃，科学态度在潜移默化中培养。

（二）核心环节有效性评估：任务二（验证交换律、结合律）的小组活动设计是成功的，学生通过充分的举例，亲身体验了从具体到抽象的过程，“猜想验证”的模型得以建立。但反思发现，在小组汇报时，我只关注了“是否成立”的结论，未能深入追问学生举例时的思考脉络，错过了提升其思维条理性的机会。任务三（分配律理解）借助几何直观是一大亮点，有效化解了抽象符号带来的恐惧，学生眼神中透露出“原来如此”的领悟。然而，在过渡到纯代数验证和计算时，部分学生仍显吃力，反映出直观模型与符号操作之间的转换桥梁还需搭建得更平缓些，比如可以增加一两个从图形到算式的对应填空练习作为过渡。