两位数加一位数、整十数（不进位）的笔算-探索竖式的奥秘

两位数加一位数、整十数（不进位）的笔算——探索竖式的奥秘一、教学内容分析  本课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第一学段“数与运算”主题。从知识技能图谱看，它是在学生掌握了100以内数的认识、整十数加一位数及相应减法口算，以及两位数加一位数、整十数（不进位）口算基础上的关键深化。其核心价值在于，引导学生从直观的口算（基于数的组成）迈向形式化的笔算（竖式），初步建立“相同数位对齐”这一笔算加法的基石性规则，为后续学习进位加法及所有笔算运算奠定不可动摇的认知模型。在过程方法上，本节课是发展学生“运算能力”与“推理意识”的绝佳载体。运算能力的培养，不止于获得正确的得数，更在于理解算理、掌握算法，并能明晰、有条理地表达思考过程。推理意识的萌发，体现在引导学生从摆小棒、拨计数器的直观操作中，抽象出竖式书写格式，并合理论证“为何要对齐数位”，这一“具体—表象—抽象”的思维跃迁过程本身就是初步的数学推理。从素养价值渗透而言，竖式作为一种简洁、规范的记录与计算工具，其发明与优化本身即蕴含着人类的智慧之美，引导学生体验从繁到简的符号化过程，能初步感受数学的简洁与高效，培育理性精神与创新意识。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已有基础与兴趣点在于，能够熟练进行两位数加一位数、整十数的口算，并具备用小棒、计数器等学具表征计算过程的生活与活动经验。他们的认知兴奋点往往在于操作和探索新的“写法”。然而，潜在障碍也显而易见：首先，从具象操作到抽象符号（竖式）之间存在认知跨度，学生可能“照葫芦画瓢”会写竖式，却不理解其与口算、操作之间的内在联系，即“算法”与“算理”脱节。其次，“数位”概念虽已建立，但在竖式这一新形式中，“相同数位对齐”这一核心规则极易被忽视或误解（如末位对齐）。因此，教学调适策略的核心是“架桥”：通过设计层层递进的操作、记录、对比、思辨活动，让竖式的每一步书写都与直观操作过程一一对应，使形式化的规则在学生的主动建构中获得意义。对于理解迅速的学生，鼓励其充当“小老师”解释算理；对于存在困难的学生，则提供额外的操作学具和步骤分解图示作为支撑，确保所有学生都能在理解的基础上迈出笔算的第一步。二、教学目标阐述  知识目标：学生通过操作、对比与交流，理解两位数加一位数、整十数（不进位）笔算的算理，即为什么要将相同数位对齐；并能用规范、正确的竖式格式（数位对齐、从个位加起、结果写在横线下对应数位）记录计算过程，实现算法与算理的统一。  能力目标：在从口算、操作到竖式的探究过程中，学生能够有条理地表达自己的思考，实现直观操作、语言表达与符号记录之间的灵活转换；并能运用竖式正确、熟练地解决简单的实际问题，初步形成规范笔算的技能。  情感态度与价值观目标：在小组合作探索“如何清晰记录计算过程”的活动中，学生乐于分享自己的方法，并认真倾听同伴的见解，体验合作学习的价值；通过感受竖式带来的计算便捷与规范之美，激发进一步探索数学奥秘的兴趣。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的符号意识与模型思想。引导其经历从具体情境中抽象出数学问题，用学具操作获得结果，再尝试用不同方式（图画、文字、符号）记录过程，最终优化、认同竖式这一简洁数学模型的全过程，体验数学建模的初步思想。  评价与元认知目标：引导学生学会依据“数位对齐、计算正确、书写工整”等简单标准，通过同桌互查、集体评议的方式，初步评价自己与他人的竖式书写；并在课堂小结时，能够回顾“我们今天是怎么学会竖式的”，反思从操作到符号的学习路径。三、教学重点与难点析出  教学重点：掌握两位数加一位数、整十数（不进位）的笔算竖式写法，深刻理解“相同数位对齐”的算理。确立依据在于，此点是构建笔算加法运算模型的基石，是贯穿整个整数、小数加减法笔算的核心规则。从课标要求的“理解算理，掌握算法”这一“大概念”来看，本课是学生首次系统接触笔算形式，算理的理解关乎后续所有笔算学习的深度与可持续性。从学业评价角度，能否规范书写竖式并理解对齐原理，是考查学生是否真正掌握笔算本质的关键。  教学难点：理解“相同数位对齐”的必要性与合理性，并能将其正确应用于竖式书写。难点成因在于，学生已有的口算经验（如计算35+2时，先算5+2=7，再算30+7=37）是“分解数”的思维，而竖式呈现的是“对齐数位”的并列结构，二者思维视角不同。学生常见错误是将数字按“末尾对齐”而非“数位对齐”，这反映出其对位值制理解不够深入。突破方向在于，强力关联计数器拨珠、小棒捆绑操作与竖式书写，让“个位与个位相加，十位与十位相加”的操作可视化，从而内化为书写规则。四、教学准备清单1.教师准备 1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境动画、动态演示竖式与计数器关联）；实物投影仪；磁性小棒模型（十根一捆）与计数器。 1.2学习材料：设计分层学习任务单（基础版与挑战版）；课堂巩固练习卡片。2.学生准备 2.1学具：每生一套小棒（约40根橡皮筋）、一个计数器。 2.2预习：回顾两位数加一位数、整十数的口算方法。3.环境布置 3.1板书记划：预留左侧板面用于粘贴学生作品（多种记录方法），中间主板面用于梳理竖式步骤与算理。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，激活旧知：“同学们，学校图书馆新进了一批图书，看！（课件出示）童话书有35本，科学绘本有2本，趣味数学有30本。管理员王老师想快速知道：童话书和科学绘本一共有多少本？童话书和趣味数学一共有多少本？你能用学过的知识帮帮他吗？”  1.1问题提出与路径明晰：学生迅速口答：35+2=37，35+30=65。教师肯定：“口算又快又准！大家都是先算什么，再算什么的？”引导学生复习“两位数加一位数，先算个位加个位；两位数加整十数，先算十位加十位”的口算算理。随后话锋一转，提出驱动性问题：“可是，如果遇到更大的数，口算可能没那么快，或者我们需要把一个清晰的计算过程记录下来给别人看，有没有一种既清楚又方便的计算方法呢？今天，我们就一起来探索一种新的计算工具——笔算加法，也叫竖式。”（板书课题：笔算加法——探索竖式的奥秘）第二、新授环节任务一：动手操作，再现算理  教师活动：聚焦第一个问题“35+2”。首先，引导学生选择学具：“不着急写，我们先请老朋友小棒和计数器来帮忙。想一想，35用小棒怎么摆？2呢？合在一起怎么操作？”巡视指导，重点关注学生是否体现“先算5根加2根”。然后，请学生上台用磁性教具演示并解说：“你先请来了多少？又请来了多少？是怎么合起来的？”教师同步用课件动画强化：单根的小棒和单根的小棒合在一起。  学生活动：独立用小棒摆出35（3捆和5根），再拿出2根单根。将5根单根与2根单根合并，得到7根单根，3捆不变。部分学生可能同时使用计数器，在十位拨3颗珠，个位拨5颗珠，再加2颗珠在个位。观察同伴演示，并用自己的语言描述操作过程：“先把5个一和2个一合起来是7个一，3个十不变，所以是37。”  即时评价标准：①操作是否有序、清晰（能否先分后合）。②语言表达能否关联“几个十”和“几个一”。③是否关注到“相同单位”才能直接相加。  形成知识、思维、方法清单：★核心算理：把单根的小棒（个位上的珠子）合在一起，整捆的小棒（十位上的珠子）不变，这说明了在加法计算中，只有相同单位的数才能直接相加。▲方法联系：这个操作过程和我们口算时‘先算5+2=7，再算30+7=37’的想法是完全一致的。任务二：尝试记录，初探竖式  教师活动：提出挑战：“操作过程我们清楚了，怎么才能把这个清楚的过程‘写’下来，让没看到你操作的人也能看懂呢？请大家在任务单上试着写一写，可以用图画、文字，也可以用数字和符号。”收集有代表性的记录方法（如画小棒、写算式35+2=37、分开写5+2=7和30+7=37等）用实物投影展示。引导学生对比：“哪种方法能一眼看出是35加2？哪种方法能看出先算的是什么？”最后，揭示数学家的方法：“数学家们也设计了一种记录方法，它非常简洁、规范，就像给数字排排队，叫做‘竖式’。”（板书示范竖式：35与+2上下排列，但先故意将2写在十位数字3下方，制造冲突）。  学生活动：发挥创意，尝试用各种方式记录35+2的计算过程。观察同伴的不同记录，比较优缺点。观察教师书写的“奇怪”竖式，产生疑问：“老师，2为什么写在3下面？它应该和5对齐吧？”  即时评价标准：①记录是否有创意，能否体现计算步骤。②是否积极参与比较和讨论。③能否敏锐发现教师板书中的“异常”并敢于提出质疑。  形成知识、思维、方法清单：★竖式的功能：竖式是一种清晰记录计算过程的书写格式。▲思维起点：从多种个性化表征到寻求统一、优化的通用模型，是数学发展的重要动力。教师提示：学生提出的对齐质疑，正是接下来要解决的核心问题，要保护好这份宝贵的批判性思维萌芽。任务三：关联操作，感悟对齐  教师活动：抓住学生的质疑，追问：“为什么你们觉得2应该和5对齐，而不是和3对齐呢？谁能联系刚才摆小棒或拨计数器的过程来说说道理？”引导学生说出：“2是2个一，应该和5个一相加。”“3是3个十，不能和2个一直接加。”教师恍然大悟状：“哦！我明白了！在竖式里，我们要让‘个位上的数字’和‘个位上的数字’对齐，‘十位上的数字’和‘十位上的数字’对齐，这就是‘相同数位对齐’。”（用不同颜色粉笔描出对齐的个位和个位，板书规则）。再演示35+30的竖式，提问：“30的‘3’应该写在哪里？为什么？‘0’要不要写？”明确整十数的竖式写法。  学生活动：结合操作经验，争相解释对齐的道理。清晰地表述：“因为5和2都表示几个一，它们是一家子，所以要上下对齐。”观察35+30的竖式写法，理解3要写在十位与十位对齐，个位上的0起到占位作用，通常省略不写。  即时评价标准：①解释算理时能否准确使用“几个一”、“几个十”、“相同数位”等术语。②能否将直观操作与抽象符号（竖式中的数字位置）建立有效联结。  形成知识、思维、方法清单：★核心规则：笔算加法，要相同数位对齐。其算理依据是：只有计数单位相同的数才能直接相加。★书写规范：通常从个位加起。加号写在第二个加数的左侧，横线要画平、画长，代表等号。得数写在横线下方对应的数位上。易错点预警：整十数加两位数时，容易将整十数的十位数字与两位数的个位对齐，需强化数位意义。任务四：对比优化，明确算法  教师活动：引导学生回顾：“我们刚刚经历了‘操作—记录—优化’的过程，终于认识了竖式这个新朋友。现在，谁能完整地说一说，用竖式计算35+2，先做什么，再做什么，最后做什么？”根据学生回答，提炼步骤歌谣（或流程图）：“小小数字来排队，相同数位要对齐；加号放在左下方，一条横线画整齐；计算要从个位起，得数数位要对齐。”组织学生用竖式独立计算35+30，巡视指导书写格式。  学生活动：跟随教师引导，尝试总结竖式计算步骤。在儿歌或流程图的提示下，加深记忆。独立完成35+30的竖式计算，并与口算结果互查。  即时评价标准：①能否按顺序说出计算步骤。②独立书写竖式时，格式是否规范（对齐、符号、横线、得数位置）。  形成知识、思维、方法清单：★算法步骤：一对齐（相同数位对齐），二计算（从个位加起），三落下（得数写在对应数位下）。▲思想方法：竖式是对口算过程的一种结构化、程序化的重新组织，它将心算的步骤外显化，降低了思维负荷。任务五：小结梳理，内化模型  教师活动：提问：“学了竖式，我们再回头看35+2，现在你有几种方法可以算出结果？”（口算、摆小棒、拨计数器、竖式）“你最喜欢哪种？为什么？”引导学生体会竖式的优势：清晰、规范、便于记录和检查。强调：“虽然方法多样，但道理相通，都是‘几个一和几个一相加，几个十和几个十相加’。”  学生活动：列举不同方法，比较并分享感受。初步体会竖式作为一种通用工具的价值。在多元表征中深化对算理一致性的理解。  即时评价标准：①能否列举出两种以上的计算方法。②对竖式价值的评价是否基于其“清晰”、“有条理”等特征。  形成知识、思维、方法清单：★算理贯通：无论口算、操作还是笔算，其背后的核心算理是统一的，即基于位值制的相同计数单位相加。▲素养指向：通过比较方法优劣，初步培养优化意识和模型意识，理解工具发明的意义。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，通过实物投影进行即时反馈。  1.基础层（全体必做）：看图写竖式。呈现小棒图（如2捆和4根+3根）和计数器图，让学生根据直观图写出对应的加法竖式并计算。目标：巩固竖式与直观模型的对应关系。“大家看，这幅小棒图用竖式该怎么表示？谁来写写看？”  2.综合层（大多数学生完成）：直接计算。出示：42+6，7+21，50+30（重点考察50+30竖式中数位对齐）。目标：熟练书写格式，独立计算。学生独立完成，完成后同桌互换，依据“书写规范、计算正确”两条标准互评。“当一回小老师，检查同桌的竖式‘排队’整齐吗？算对了吗？”  3.挑战层（学有余力选做）：纠错与解释。出示一道典型错例（如24+3=27，但竖式中3写在十位2下方）。提问：“他算对了吗？如果错了，问题出在哪？你能帮他改正并讲清道理吗？”目标：深化对“相同数位对齐”算理的理解，并发展批判性思维和表达能力。“火眼金睛来找茬，看谁说得最有道理！”第四、课堂小结  1.知识整合：引导学生共同梳理本节课的“智慧树”。树干是“笔算加法（竖式）”，主要枝干有“算理”（相同计数单位相加）、“规则”（相同数位对齐）、“步骤”（对齐—计算—落下）。请学生举例填充树叶。“这节课我们的收获真不少，谁能用这棵‘智慧树’来帮大家回忆一下？”  2.方法提炼：回顾学习路径：遇到新问题（如何清晰记录）—借助旧工具（小棒、计数器）理解道理—尝试创造记录方法—学习优化方法（竖式）—掌握使用规则。强调“动手操作”和“联系旧知”是学习新本领的好方法。  3.作业布置：①必做作业：完成练习册基础题，用竖式计算5道两位数加一位数、整十数（不进位）题目。②选做作业：（A）寻找生活中可以用今天所学竖式计算的问题，并编一道题。（B）思考：如果用竖式计算23+35（需进位），你会怎么做？尝试一下。“作业超市开门啦，请大家根据自己的情况，至少选购一份‘商品’哦！”六、作业设计  基础性作业：  1.书写练习：在田字格中规范书写竖式“34+5=”和“60+27=”，注意数字的占位和对齐。  2.计算练习：用竖式计算。①25+4=②3+62=③41+30=④50+40=  拓展性作业：  3.情境应用：小明有24张卡通贴纸，又得到老师奖励的5张。小华有40张彩色折纸。请分别用竖式算出小明现在有多少张贴纸，并比较谁的材料总数多（直接比较，不计算和）。  探究性/创造性作业：  4.数学小讲师：选择一道基础作业中的题目，用手机录制一段短视频（或说给家长听），讲解你是如何用竖式计算的，重点说清楚“为什么要把数字这样对齐”。  5.挑战谜题：在□里填上合适的数字，使竖式成立。□42□+3+□0————————□772七、本节知识清单及拓展  ★1.笔算加法（竖式）：一种规范书写加法计算过程的格式。其核心目标是清晰、有条理地展示计算步骤，便于检查和交流。  ★2.相同数位对齐：竖式书写的第一核心规则。指个位与个位对齐，十位与十位对齐。这是书写形式的要求。  ★3.算理依据：规则背后的数学原理是“相同计数单位的数才能直接相加”。例如，几个一只能和几个一相加，几个十只能和几个十相加。这是“对齐”规则的道理所在。  ★4.从个位加起：竖式计算的一般顺序。通常先计算个位上的数字之和，再计算十位上的数字之和。这符合我们读数和操作（从最小单位开始）的习惯。  ★5.竖式标准格式：①加数上下对齐，数位对齐。②加号写在下面加数的左侧。③横线用直尺画在下面加数的下方，长度适中。④得数写在横线下方，与上面的数位对齐。  ▲6.整十数的竖式写法：如计算56+30，30的“3”应写在十位上与56的“5”对齐，个位上的“0”通常省略不写。写作56+30。理解“0”的占位作用在此处被隐含。  ▲7.一位数的竖式对齐：如计算42+7，一位数“7”应视为“7个一”，与42的个位“2”对齐，写在个位下方。十位下方可视为空位。  ★8.竖式计算三步法：一“对齐”（写数），二“计算”（从个位加起），三“落下”（将结果写在对应数位下）。可简记为口诀。  ▲9.竖式与口算的联系：竖式计算过程是口算思维的结构化呈现。如35+2，口算“5+2=7,30+7=37”；竖式则先算个位5+2=7（写个位），再看十位3落下来。二者算理同源。  ▲10.竖式与学具操作的联系：摆小棒时，单根与单根合，整捆与整捆合；拨计数器时，个位珠子与个位珠子加，十位珠子与十位珠子加。这些动作分别对应竖式中个位与个位相加、十位与十位（或十位落下）的步骤。  ★11.常见错误辨析：错误类型一：“末尾对齐”。如24+3写成24+3（3与4对齐）。错误原因：未理解数位，受数字书写顺序影响。纠正：强化“3表示3个一”。  ★12.常见错误辨析：错误类型二：“数位对错”。如35+30写成35+30（0与5对齐，3与3对齐）。错误原因：对整十数的组成不清晰。纠正：提问“30的3在哪一位？”  ▲13.竖式的初步建模思想：竖式是一个数学模型，它用统一的格式（对齐—计算）解决了同一类问题（加法计算）的记录和求解。学习竖式，是第一次系统地接触数学中的程序化模型。  ▲14.符号意识的培养：从具体的小棒、珠子到抽象的数字符号“排队”，是一个符号化的过程。竖式本身是一种高度凝练的数学符号系统。  ▲15.检验答案的方法：竖式计算完成后，可以用口算验算一遍，确保结果一致。初步建立计算后检查的习惯。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析  本节课预设的核心目标是理解“相同数位对齐”的算理并掌握竖式写法。从巩固练习的完成情况看，约85%的学生能独立正确书写和计算基础题型，表明知识技能目标基本达成。在解释“为什么对齐”的环节，多数学生能联系操作说出“几个一和几个一加”，说明算理理解有一定深度。能力目标方面，学生从操作到符号的转换过程在任务一、二中表现活跃，但在用语言条理清晰地表达思考过程时，部分学生仍有困难，需长期培养。情感目标在小组讨论和“小老师”互评环节氛围良好，学生参与度高。  （二）各教学环节有效性评估  1.导入与情境：图书整理情境有效链接旧知（口算），并自然引出记录需求，驱动性问题“有没有更清楚的方法”直指本课核心，激发了探究欲。  2.新授任务链：任务一至五构成了一个相对完整的认知建构闭环。“操作—记录—冲突—明理—优化—应用”的流程符合学生认知规律。其中，任务二“尝试记录”和任务三“制造对齐冲突”是两个关键设计点。前者尊重了学生的原创思维，为引入竖式做好了心理铺垫；后者巧妙地将教学难点转化为学生的认知冲突，通过质疑和思辨自主发现规则，比直接灌输效果更佳。“我当时故意写错时，孩子们着急纠正的样子，说明他们真的在思考位置关系了。”  3.巩固与小结：分层练习照顾了差异，纠错题尤其能检验学生对算理的深度理解。智慧树小结形式形象，有助于低年级学生进行知识结构化。但挑战题反馈时间稍显仓促，部分学生的精彩思路未能充分展示。  （三）对不同层次学生的深度剖析  对于学优生，他们不仅快速掌握了格式，还能在“尝试记录”环节提出富有创意的想法，在“纠错”环节能一针见血指出问题。针对他们，选做作业和“小讲师”任务能满足其拓展和表达的需求。对于中等生，他们能跟上教学节奏，在操作和规则学习环节表现稳定，但独立应用时偶尔会疏忽对齐或书写细节。持续的规范练习和同桌互查对他们非常有效。“别急，写完自己先看看，数字‘站好队’了吗？”这样的即时提醒很必要。对于少数学习困难生，难点主要集中在脱离学具后的抽象书写上。他们对“数位”概念不够稳固，容易写错位置。教学中需为他们多提供在计数器上拨珠后再写竖式的机会，甚至允许他们在竖式旁边画简图辅助思考。课后需进行一对一辅导，强化数位概念。  （四）教学策略得失与改进计划  得：①坚持“算理直观、算法抽象”的原则，以操作为锚点，确保了竖式学