多边形内外角和知识点教案及练习

探索多边形的奥秘：内外角和知识点深度解析与实践引言：走进多边形的世界在平面几何的绚烂图谱中，多边形无疑是最为基础也最为重要的组成部分之一。从我们日常生活中常见的三角形屋顶、四边形桌面，到更为复杂的蜂巢结构、建筑设计中的多边形元素，多边形以其独特的对称性与稳定性，在自然界与人类文明中扮演着不可或缺的角色。理解多边形的性质，尤其是其内角和与外角和的规律，不仅是学好平面几何的关键一步，更是培养逻辑推理能力和空间想象能力的有效途径。本教案旨在带领学习者系统掌握多边形内外角和的核心知识，并通过精心设计的练习，实现从理论理解到实际应用的顺畅过渡。一、多边形的基本概念回顾在深入探讨多边形的内外角和之前，我们首先需要明确一些基本概念，为后续的学习奠定坚实基础。1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。这里的“线段”必须是直的，且“首尾顺次相接”意味着不能出现交叉或断开的情况。2.多边形的要素：*边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。*顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。*内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。*外角：多边形的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角。3.多边形的分类：*凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。我们现阶段主要研究凸多边形。*凹多边形：与凸多边形定义相反，至少存在一条边，使得多边形不在这条边所在直线的同一侧。*正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。二、多边形内角和定理：从三角形到n边形的跨越（一）探索三角形内角和我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°。这是经过实践验证的真理，也是我们探索多边形内角和的起点。（二）推导多边形内角和公式那么，四边形、五边形、六边形……乃至n边形的内角和又是多少呢？我们可以通过“分割”的思想，将多边形转化为我们熟悉的三角形来解决这个问题。*四边形内角和：连接四边形的一条对角线，可以将四边形分割成2个三角形。因此，四边形内角和=2×180°=360°。*五边形内角和：从五边形的一个顶点出发，可以引出2条对角线，将五边形分割成3个三角形。因此，五边形内角和=3×180°=540°。*六边形内角和：从六边形的一个顶点出发，可以引出3条对角线，将六边形分割成4个三角形。因此，六边形内角和=4×180°=720°。观察规律：三角形（3边形）：分割成1个三角形，内角和=(3-2)×180°=180°四边形（4边形）：分割成2个三角形，内角和=(4-2)×180°=360°五边形（5边形）：分割成3个三角形，内角和=(5-2)×180°=540°六边形（6边形）：分割成4个三角形，内角和=(6-2)×180°=720°归纳总结：对于一个n边形（n≥3，且n为整数），从一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线，将n边形分割成(n-2)个三角形。因此，n边形的内角和公式为：n边形内角和=(n-2)×180°这个公式是多边形内角和的核心，我们必须深刻理解其推导过程并熟练记忆。（三）内角和公式的应用1.已知边数求内角和：直接代入公式计算。*例如：求七边形的内角和。*解：(7-2)×180°=5×180°=900°。2.已知内角和求边数：将内角和代入公式，解方程求出n。*例如：一个多边形的内角和是1080°，求它是几边形。*解：设这个多边形是n边形。(n-2)×180°=1080°n-2=1080°÷180°n-2=6n=8答：它是八边形。3.求正多边形的每个内角的度数：由于正多边形各内角相等，因此每个内角度数=(n-2)×180°/n。*例如：求正六边形每个内角的度数。*解：(6-2)×180°/6=720°/6=120°。三、多边形的外角和：一个恒定不变的奇迹（一）理解多边形的外角多边形的外角是指一边与另一边的反向延长线所组成的角。对于一个多边形，每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，大小相等。我们通常所说的多边形的外角和，是指在每个顶点处取一个外角，这些外角的和。（二）探索多边形外角和定理我们同样可以通过具体的多边形来探索外角和的规律。*三角形外角和：我们知道三角形的每个外角等于与它不相邻的两个内角之和。三个外角之和=(∠A+∠B)+(∠B+∠C)+(∠C+∠A)=2(∠A+∠B+∠C)=2×180°=360°。*四边形外角和：类似地，四边形四个外角之和，通过与内角的关系推导或实际测量，可以发现其和也是360°。*五边形外角和：同样，五边形的外角和也是360°。惊人的发现：无论多边形的边数如何变化（边数≥3），其外角和始终是360°！多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°。这个定理揭示了一个美妙的几何不变性，与内角和随边数增加而增加不同，外角和是一个恒定值。（三）外角和定理的应用1.已知边数求正多边形每个外角的度数：因为正多边形各外角也相等，所以每个外角度数=360°/n。*例如：求正五边形每个外角的度数。*解：360°/5=72°。2.已知正多边形每个外角的度数求边数：n=360°/每个外角度数。*例如：一个正多边形的每个外角是30°，求它的边数。*解：n=360°/30°=12。3.内外角关系的应用：多边形的一个内角与它相邻的外角互为邻补角，即它们的和为180°。*例如：一个多边形的每个内角都等于144°，求它的边数。*解法一（利用内角和）：设边数为n。(n-2)×180°=n×144°，解得n=10。*解法二（利用外角和）：每个外角=180°-144°=36°，n=360°/36°=10。（显然解法二更简便）四、教学建议与方法1.情境创设：从生活中的多边形实例入手，如蜂巢、建筑、装饰图案等，激发学生学习兴趣。2.动手操作：鼓励学生通过剪纸、拼接、测量等方式亲自验证三角形内角和，以及探索多边形内角和的推导过程。3.引导探究：在推导内角和公式时，采用“观察-猜想-验证-归纳”的探究式教学方法，引导学生主动参与，体验发现的乐趣。4.数形结合：强调公式中n的几何意义（边数），帮助学生理解公式的来源，而不是死记硬背。5.对比分析：将内角和与外角和进行对比，突出内角和随n增大而增大，外角和恒定为360°的特点，加深学生理解。6.一题多解：如上述内外角关系的例题，鼓励学生从不同角度思考，培养思维灵活性。7.分层练习：设计不同梯度的练习题，满足不同层次学生的需求，巩固所学知识。五、典型例题精析例题1：一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数。分析：多边形外角和是360°，内角和是外角和的3倍，即内角和为3×360°=1080°。再利用内角和公式求解。解：设这个多边形的边数为n。根据题意得：(n-2)×180°=3×360°(n-2)×180°=1080°n-2=1080°÷180°n-2=6n=8答：这个多边形的边数是8。例题2：已知一个多边形的每个内角都相等，且它的一个外角与一个内角的度数比是1:3，求这个多边形的边数。分析：内角与外角互为邻补角，和为180°。根据它们的比例关系可求出外角的度数，再用外角和360°除以一个外角度数即得边数。解：设这个多边形的一个外角为x°，则与其相邻的内角为3x°。由题意得：x+3x=180°4x=180°x=45°即每个外角是45°。多边形边数n=360°÷45°=8答：这个多边形的边数是8。六、练习题设计（一）基础巩固1.填空：*十边形的内角和是_________度。*一个多边形的内角和是1620°，它是_________边形。*正八边形的每个内角是_________度，每个外角是_________度。2.选择：*下列图形中，内角和等于外角和的是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形*一个多边形的边数每增加1条，它的内角和就增加（）A.90°B.180°C.360°D.不一定3.解答：*一个多边形的每个外角都是60°，这个多边形是几边形？它的内角和是多少度？*已知一个多边形的内角和与外角和的总和为2160°，求这个多边形的边数。（二）能力提升1.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数及多边形的边数。2.已知一个正多边形的每个内角比它相邻的外角大100°，求这个正多边形的边数。3.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。（提示：可利用三角形外角性质将其转化为多边形内角和问题）七、教学反思与总结多边形内外角和是平面几何中的重要基础知识，对后续学习更复杂的几何知识有着深远影响。在教学过程中，应注重引导学生理解公式的推导过程，而不是仅仅记住公式本身。通过动手实践、观察归纳、合作交流等方式，帮助学生建立空间观念，培养逻辑推理能力和解决问题的能力。同时，要强调内角和与外角和之间的联系与区别，特别是外角和恒定为360°这一特性的灵活应用，往往能给解题带来意想不到的简便。通过