数学建模初探：火车过桥问题六年级数学专题教学设计与实践

数学建模初探：火车过桥问题六年级数学专题教学设计与实践数学建模初探：火车过桥问题六年级数学专题教学设计与实践一、教学内容分析

本节课选自《义务教育数学课程标准（2022年版）》“综合与实践”领域，是“数量关系”主题下的典型应用与深化。火车过桥问题，本质是“速度、时间、路程”三者关系的动态复合应用模型，它植根于基础行程问题，又因其对象（火车）自身长度的加入，使得运动过程从“点”的移动升维为“线”的移动，实现了从一维算术应用到二维空间模型构建的认知跨越。在知识图谱中，它处于小学阶段行程问题的综合应用顶端，是连接小学算术思维与中学方程思想、函数思想的重要桥梁，其关键在于理解“总路程=桥长+车长”这一模型的构建过程。

从过程方法看，本节课的核心路径是数学建模：引导学生从纷繁的生活现象（火车过桥、队伍过隧道）中识别共同本质，经历“现实情境抽象→数学关系提炼→模型建立→模型求解与应用→模型检验与拓展”的完整探究过程，这是将课标倡导的“模型意识”和“应用意识”落地为具体课堂行为的关键载体。其育人价值在于，通过解决此类具有挑战性的经典问题，培养学生严谨的逻辑推理能力、直观想象能力以及面对复杂问题时“化繁为简”的建模思维，体验数学在解决真实世界问题中的力量与美感。面向六年级学生，他们的抽象逻辑思维正处于快速发展期，但将动态过程进行静态分解与表征仍是普遍难点。大部分学生能熟练应用“路程=速度×时间”公式，但面对“火车过桥”这一非质点运动时，极易忽略“车长”这一关键要素，这是由生活直观经验（将火车视为一个点）与数学严谨要求之间的冲突造成的。因此，教学中需通过动画演示、线段图操作等可视化手段，搭建从“眼见”到“心建”的脚手架。同时，班级学生数学基础与兴趣存在分化：一部分学生可能已接触过奥数训练，对公式套用熟练但未必理解本质；另一部分学生则可能对动态过程想象困难。为此，教学将设计“前测诊断问题单”，在导入后快速评估学情，并贯穿“核心任务分层要求”、“巩固练习梯度设计”与“作业弹性选择”等策略，确保不同层次的学生都能在最近发展区内获得成长。二、教学目标

1.知识目标：学生能准确理解火车“完全通过一座桥”或“完全在桥上”等关键术语的数学含义，自主归纳并牢固掌握“火车过桥”基本模型（总路程=桥长+车长）及其变式（如火车过人、过另一列火车）。能够清晰解释模型中每一部分的实际意义，并迁移应用于解决类似情境的实际问题。

2.能力目标：学生能够通过画线段图的方式，将动态的过桥过程进行准确、直观的静态表征，提升几何直观与空间想象能力。在面对复杂的行程问题时，能主动运用建模思想，识别问题本质，剥离无关信息，构建有效的数量关系式并进行逻辑严谨的推理与计算。

3.情感态度与价值观目标：在小组合作探究与交流中，学生能积极倾听同伴见解，勇于表达自己的思考过程（哪怕是不成熟的），感受集体智慧攻克难关的乐趣。通过解决与高铁、大桥等现代工程相关的实际问题，体会数学在国家建设与科技发展中的广泛应用，激发学习数学的内在动力与自豪感。

4.科学（数学）思维目标：重点发展学生的模型思想与数形结合思想。引导学生经历完整的数学建模过程，即从具体情境中抽象出数学问题，用符号和图形建立模型，求解并验证模型，最终回归解释。强化“化动为静”、“化繁为简”的转化策略在解决问题中的核心作用。

5.评价与元认知目标：学生能够依据教师提供的“图示表征评价量规”，对本人或同伴绘制的线段图进行简要评价与改进。在课堂小结阶段，能够回顾并清晰说出自己从“感到困惑”到“豁然开朗”的关键学习节点及所用策略，初步养成反思学习过程的习惯。三、教学重点与难点

教学重点：建立并理解“火车过桥（隧道）”问题的核心数学模型：总路程=桥长+车长。该重点是本课知识体系的基石，一切变式与应用皆源于此。确立依据有二：其一，课标在第三学段强调“在真实情境中理解和运用数量关系”，此模型正是将基础数量关系应用于复杂现实情境的典型范例，是培养模型意识的关键抓手；其二，在小升初能力考查中，此类问题频繁出现，且多作为中高难度题目的基础模型，深刻理解其本质是灵活应对各种变形的前提。

教学难点：理解“火车完全通过桥”这一动态过程的实质，并能够通过画线段图等方式进行准确表征。难点成因在于学生需要克服将运动物体视为“点”的前概念，在头脑中建构起“线状物体”运动过程的动态画面，并将其转化为静态的、可度量的线段关系。这一过程对学生的空间想象和抽象思维能力要求较高，是常见的思维障碍点和失分点。突破方向在于强化可视化演示与亲手操作，让学生“看见”过程，再“画出”关系。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：制作包含高铁过桥动画模拟的课件；准备可拼接的磁贴教具（代表桥和火车）；设计并印制“学习任务单”及“前测/后测诊断单”。1.2学习资源：设计分层探究任务卡；准备当堂巩固练习题（分A、B、C三层）及讲解用典型错例；规划黑板板书布局（左侧留作模型建立区，右侧用作学生展示区）。2.学生准备2.1预习与物品：回顾行程问题基本公式；携带直尺、铅笔和彩笔；按异质分组原则，课前完成小组就座。2.2环境布置：教室桌椅调整为6个小组围坐式，便于合作探究；黑板提前划分好功能区。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与问题驱动：“同学们，大家坐过高铁吗？有没有留意过它穿过隧道时的情景？”（播放一段约10秒的高铁头进入隧道直至车尾完全驶出的动画）。接着提问：“如果告诉你这座隧道长2千米，高铁长400米，时速是216千米，你能算出这列高铁完全通过隧道需要多少时间吗？”（大家先别急着算，我们得先弄明白，什么叫‘完全通过’？）

1.1建立联系与路径勾勒：多数学生能感知到速度、时间、路程的关系，但“完全通过”的含义和总路程的构成会引发认知冲突。教师点明：“今天，我们就一起来攻克这类‘火车过桥’问题。它看似复杂，但只要抓住关键，画好一幅‘图’，一切就会变得清晰。我们将像数学家一样，从现象中抽象出模型，并运用它去解决更多问题。”唤醒学生关于“路程=速度×时间”的旧知，并明确提出本课核心问题：如何刻画并计算火车过桥的总路程？第二、新授环节任务一：观察现象，初识“完全通过”

教师活动：重新慢放高铁过隧道动画，在关键帧（车头刚触隧道口、车尾刚进隧道口、车头到达隧道另一出口、车尾离开隧道）暂停。（大家看，我现在暂停了。这个时候，高铁算‘开始过’隧道了吗？）引导学生用语言描述每个关键时刻火车的状态。提供磁贴教具，邀请一名学生上台模拟火车（长磁条）过桥（另一长磁条）的过程，让全班观察。

学生活动：集中观看动画，跟随教师的提问思考并回答。观察同伴的磁贴模拟操作，直观感受火车作为“一个长条”移动的过程。尝试用自己的话描述“从车头进到车尾出”才是“完全通过”。

即时评价标准：1.能否用语言准确描述“完全通过”的起止时刻。2.在模拟操作中，是否能将磁贴对齐，清晰演示过程。3.倾听时是否关注细节，并能对同伴的描述进行补充或修正。

形成知识、思维、方法清单：

★核心概念：“完全通过一座桥”指的是从火车车头接触桥头开始，到火车车尾离开桥尾结束的整个过程。这是解决问题的逻辑起点，理解错误会导致全盘皆输。教学时要反复通过动作、动画强化这一动态表象。

▲学科方法：模拟操作法。对于抽象的动态过程，用实物进行模拟是化抽象为直观的有效手段。它能帮助全体学生建立共同、正确的初始表象，为后续的抽象思考奠定坚实基础。

★易错点警示：学生易将“完全通过”与“车头通过”或“车身全部在桥上”混淆。教师需明确区分，并指出本节课先研究最典型的“完全通过”情形。任务二：图形表征，抽象本质关系

教师活动：（刚才我们‘演’了出来，现在怎么能把它‘画’出来，让思路一目了然呢？）引导学生从模拟操作转向画线段图。教师在板书画图区示范：先画一条线段表示“桥长”，再画一条等长的线段在下方表示“火车”。提出问题：“如何通过移动下方线段，来展示‘完全通过’的过程？火车行驶的总路程，在图上是哪一段距离？”（别急，小组可以一起摆一摆、画一画。）巡视指导，重点关注有困难的小组。

学生活动：以小组为单位，利用学习任务单上的空白处，尝试用直尺画线段图来表示过桥过程。通过移动纸张或绘制不同位置状态图，讨论并确定总路程的图示方法。小组派代表在黑板上展示本组的画法并讲解。

即时评价标准：1.所画线段图是否清晰标明了桥、火车、以及关键起止点。2.是否能通过图示指出总路程（通常用一条更长的线段或箭头标示）。3.小组合作时，是否每位成员都参与了讨论或操作。

形成知识、思维、方法清单：

★核心技能：画线段图建模。这是解决此类问题的“王牌工具”。通过画图，将时间上的动态过程转化为空间上的静态结构，使隐藏的数量关系（总路程包含两部分）变得可视、可度量。（图一画，思路就开，大家一定要掌握这个法宝。）

★关键发现：总路程的构成。从图示中可以直观看出，火车行驶的总路程，并不是桥的长度，而是“桥的长度”加上“火车本身的长度”。即：总路程=桥长+车长。这是本课最核心的数学模型。

▲思维方法：数形结合。将抽象的数学语言（“完全通过”）与直观的图形语言（线段图）相结合，是数学抽象和逻辑推理的桥梁。鼓励学生养成“遇题先画图”的习惯。任务三：建立关系式，实现模型数学化

教师活动：结合学生板演的优秀线段图，（看，这位同学画得多清楚！从图上我们一眼就能看出，总路程是桥长加车长。那么，我们熟悉的‘路程、速度、时间’三兄弟，该怎么在这里派上用场呢？）引导学生将图示关系转化为数学关系式。板书：设火车速度为v，过桥时间为t，则有v×t=桥长+车长。通过一个简单数据例子（如桥长1000米，车长200米，速度60米/秒）进行验证计算。

学生活动：在教师的引导下，集体将图示模型翻译成数学公式。尝试用给定数据代入计算，验证公式的合理性。理解公式中每个符号的现实意义。

即时评价标准：1.能否独立说出关系式v×t=桥长+车长。2.计算过程中单位使用是否统一、正确。3.是否能解释公式左右两边为什么相等。

形成知识、思维、方法清单：

★核心模型公式：v×t=L桥+L车。这是“火车过桥”基本问题的通用数学模型。要求学生不仅记住公式，更要理解其由来和每个量的含义。

★易错点：单位统一。速度（千米/时）、长度（米）、时间（秒）的单位混用是高频计算错误点。必须强调在代入公式前，先统一单位，通常将高级单位化为低级单位更稳妥。

▲学科思想：符号化与公式化。这是从具体问题走向一般规律的关键一步。用字母代表量，概括了所有同类情况，体现了数学的简洁与普适之美。任务四：公式变式与灵活求解

教师活动：（模型建好了，它就是我们的工具。工具要会用，还得会反过来用。）提出变式问题：“如果已知桥长、车长和过桥时间，如何求速度？如果已知速度、车长和过桥时间，又如何求桥长？”引导学生对核心模型公式进行变形，得出v=(L桥+L车)/t和L桥=v×tL车。并强调，无论求哪个量，抓住“总路程=桥长+车长”这个等量关系不变。

学生活动：根据等式性质，学习将模型公式进行变形。进行口头或简单的笔头练习，熟悉三种设问方式（求时间、求速度、求桥长或车长）的解题思路。

即时评价标准：1.能否正确进行公式变形。2.在面对求桥长或车长的问题时，是否能想到用“总路程减去已知长度”的思路。3.解题步骤是否清晰、书写是否规范。

形成知识、思维、方法清单：

★模型的应用：核心模型是一个“关系式”，可以根据问题需求进行变形求解。关键在于识别题目中什么是已知的，什么是未知的，然后将已知量代入关系式。

★方法提炼：抓不变量（等量关系）。在变化的问题中，寻找不变的等量关系是列式的根本。这里的“不变量”就是“总路程等于桥车长之和”。

▲拓展思考：如果火车速度很慢，过桥时间会不会无限长？引导学生思考速度、时间与路程的基本制约关系，巩固概念。任务五：情境迁移，模型初步应用

教师活动：展示新情境：“一列队伍长100米，以每秒2米的速度通过一座长400米的大桥，需要多少时间？”（同学们，这看起来是‘队伍过桥’，和我们学的‘火车过桥’，有没有什么相似之处？）引导学生进行类比，发现队伍也可视为一个“有长度的运动物体”。鼓励学生先画图，再列式。

学生活动：独立思考，类比火车过桥模型，尝试将“队伍”视为“火车”，绘制线段图。明确总路程=桥长+队伍长，然后列式计算。同桌互相检查图示和算式。

即时评价标准：1.能否成功进行知识迁移，识别出新情境下的“车长”对应物。2.绘制的图示是否准确反映了队伍过桥的过程。3.计算过程和结果是否正确。

形成知识、思维、方法清单：

★模型迁移：“火车过桥”模型可推广至一切“有长度的物体通过有长度的固定空间”问题，如队伍过桥、火车过隧道、轮船通过船闸等。关键在于识别“运动物体的长度”和“固定空间的长度”。

▲学科思维：类比推理。通过比较新问题与已解决问题的结构相似性，将已有模型和方法迁移到新情境中，这是数学学习的重要能力。

★建模意识深化：让学生体会到，我们学习的不是一个具体的“火车”题，而是一类问题的解决方法。（这就叫‘举一反三’，抓住了问题的‘魂’。）第三、当堂巩固训练

设计核心：构建分层、变式训练体系，并提供即时反馈。

1.基础层（A组，全体必做）：直接套用模型。如：一列长200米的火车，以每秒20米的速度通过一座长800米的大桥，需要多少秒？（考察对模型最基础的应用，要求画示意图并写出完整过程。）

2.综合层（B组，多数学生挑战）：情境稍复杂或需逆向思考。如：一列火车通过长500米的大桥用了30秒，通过长800米的隧道用了40秒，求火车的速度和车身长度。（这道题有点挑战，它隐藏了两个‘过桥’模型，需要你们列方程组来解。小组可以讨论一下。）

3.挑战层（C组，学有余力选做）：开放探究。如：“如果一座桥的长度小于火车的长度，火车还能‘完全在桥上’吗？会出现什么情况？试着画图说明。”引发对“完全在桥上”等其它情形的思考，为学有余力者提供探索空间。

反馈机制：学生独立完成A组题后，同桌互换，依据板书的“解题步骤规范”（①画图、②标数据、③写关系式、④计算、⑤答）进行互评。教师巡视，收集B、C组题的典型解法与错误，进行集中点评。展示一份优秀的、图示清晰的解题过程，（大家看，他的图把每一步都画出来了，答案自然就水到渠成。）同时分析一个常见错误案例（如忽略车长），引导学生辨析。第四、课堂小结

设计核心：引导学生自主进行结构化总结与元认知反思。

1.知识整合：（今天这节课，我们围绕一个核心问题展开探索，你收获了哪些‘法宝’？）鼓励学生用关键词或简易思维导图梳理：一个核心（“完全通过”的动态理解）、一个工具（画线段图）、一个模型（总路程=桥长+车长）、一种思想（建模与数形结合）。

2.方法提炼：回顾从观看动画、模拟操作到画图抽象、建立公式、应用迁移的学习路径，强调“化动为静画图分析”是解决此类复杂行程问题的通用策略。

3.作业布置与延伸：公布分层作业（见第六部分）。提出延伸思考题：“如果火车通过的是路边的一根电线杆（忽略宽度），所需时间与什么有关？”建立与下节课“火车过人”问题的联系。（带着这个问题回家，下次课我们来揭晓答案。）六、作业设计

1.基础性作业（必做）：

（1）完成课本相关练习题（若有），巩固基本模型计算。

（2）自编一道简单的“火车过桥”应用题（数据合理），并配上自己画的线段图解出答案。

2.拓展性作业（建议大部分学生完成）：

（1）情境应用题：查阅“南京长江大桥”的长度，假设一列已知长度的“复兴号”高铁以标准速度通过，估算所需时间，写一篇简短的数学小报告。

（2）解决一个“火车完全在桥上”的问题（教师提供题目），对比其与“完全过桥”模型的异同。

3.探究性/创造性作业（选做）：

（1）探究“两列火车相遇及错车”问题：两列火车相向而行，从车头相遇到车尾相离，总路程是什么？尝试建立模型。

（2）创作一个数学小漫画或小故事，用生动的画面解释“火车过桥”为什么要加上车长。七、本节知识清单及拓展

★1.“完全通过一座桥”的定义：指从火车车头接触桥头开始计时，到火车车尾离开桥尾结束计时的整个过程。这是所有分析的逻辑起点。

★2.核心数学模型：火车过桥（或类似问题）中，火车行驶的总路程(S总)等于桥的长度(L桥)加上火车自身的长度(L车)。即：S总=L桥+L车。

★3.基本关系式：结合“路程=速度×时间”，得到方程：v×t=L桥+L车。其中v为速度，t为完全过桥所用时间。这是解决问题的通用公式。

★4.王牌工具——线段图：解决此类问题的首选策略是画线段图。用两条线段分别表示桥和火车，通过图示清晰地展示“完全通过”时火车头行驶的轨迹，从而直观看出总路程的构成。

★5.单位统一原则：在代入公式计算前，务必将速度、长度、时间的单位统一。通常建议将千米化为米，小时化为秒（或分钟），避免低级错误。

▲6.模型迁移：此模型适用于所有“有长度的运动物体通过有长度的固定空间”的情景，如：队伍过桥、火车过隧道、轮船过船闸等。关键是识别出哪个是“物体的长度”，哪个是“空间的长度”。

▲7.公式变形应用：核心关系式可根据所求未知量进行变形：求速度v=(L桥+L车)/t；求桥长L桥=v×tL车；求车长L车=v×tL桥。万变不离其宗，始终抓住“总路程=桥长+车长”。

★8.易错点辨析——忽略“车长”：最常见的错误是误以为火车行驶的路程就是桥长，忽略了火车自身的长度。画图是避免此错误的最佳方法。

▲9.学科思想：模型思想。本课是数学建模的微型范例。经历“现实问题→数学抽象（画图）→建立模型（公式）→求解验证→应用拓展”的过程，这是学习数学、应用数学的高阶思维。

▲10.学科思想：数形结合思想。“画图”是将抽象的数学语言与直观的图形语言结合，使复杂的数量关系可视化、简单化，是突破空间想象障碍的关键。

▲11.变式问题初探——“完全在桥上”：指从车尾进入桥头到车头到达桥尾这段时间，火车车身全部位于桥面之上。此时火车行驶的路程为：桥长车长。

▲12.拓展问题——“火车通过电线杆/人”：当通过的是一个没有长度的“点”时，火车行驶的路程就是火车自身的长度。即：v×t=L车。这是“过桥”模型在固定空间长度为0时的特例。八、教学反思

（一）目标达成度分析

本课预设的知识与能力目标达成度较高。通过“前测诊断单”发现，课后超过80%的学生能准确画出“完全过桥”线段图并列出正确关系式，B组巩固题的完成率也达到预期。这表明“动画观察实物模拟图形表征”的认知链条设计是有效的，成功地将抽象的动态过程转化为学生可操作、可理解的具体步骤。（看到学生们自己画出的清晰图示，我知道他们心里那盏灯亮了。）情感目标在小组合作探究与解决“高铁过隧道”的现实问题中得以落实，课堂氛围积极，学生展现了较强的探究欲。

（二）环节有效性与学生表现剖析

1.导入与任务一、二：动画与磁贴模拟的组合拳效果显著，迅速吸引了全体学生的注意力，并为理解“完全通过”建立了无可争议的直观表象。这是攻克难点的最关键一步。部分空间想象能力较弱的学生，在模拟操作环节表现得尤为投入，通过亲手“移动火车”，他们建立了信心。

2.任务三、四：从图形到公式的过渡自然。但在公式变形练习时，少数学生表现出对代数式变换的生疏，需要教师在巡视中个别辅导。（这里需要慢一点，让每个孩子都跟上节奏。）

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