测量大树的高度-基于比例知识的综合实践活动教学设计（六年级数学）

测量大树的高度——基于比例知识的综合实践活动教学设计（六年级数学）一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“综合与实践”领域强调，要引导学生在真实情境中发现问题、解决问题，体验数学与生活的广泛联系，发展应用意识、创新意识和实践能力。本课是苏教版六年级下册“比例”单元后的主题活动，其坐标定位于：在掌握了比例的意义、性质及正比例关系的基础上，引导学生将抽象的数学比例模型迁移应用于解决“不可直接测量物体高度”的现实问题。从知识技能图谱看，它是对比例单元知识的深化、综合与应用，是连接数学知识与现实世界的桥梁，要求学生从“理解概念”层面跃升至“创造性应用”层面。其过程方法路径核心是“数学建模”：学生需经历“发现问题（如何测高）—建立模型（实物与影长的比例关系）—求解验证—反思调整”的完整探究历程，这一过程深刻蕴含着转化、类比、对应、函数等数学思想。从素养价值渗透而言，本课超越了单纯的计算练习，旨在培育学生的量感、几何直观、应用意识与创新思维。通过小组合作与户外实践，亦能培养学生的协作精神、实事求是的科学态度以及面对复杂问题时的坚韧品质，实现数学学科独特的育人价值。基于“以学定教”原则，学生已系统学习比例知识，具备将情境抽象为比例关系的基本能力，对“相似”有初步的感性认识（如放大图形）。生活经验中，学生对“影子”与“物体高度”的关系有一定感知，但多停留在直觉层面，未能精确量化。可能的认知障碍在于：一是将“同一时间、同一地点”这一关键前提与比例关系建立逻辑联系；二是从“竹竿与影长”的特定比例迁移到“大树与影长”时的模型泛化能力；三是户外测量中误差的控制与数据的科学处理。为此，教学需通过前测性问题（如“正午时分，你的影子长度变化吗？”）动态诊断学生的前概念。针对不同层次的学生，提供差异化的“脚手架”：对于基础层，强化操作指引与数据记录支持；对于进阶层，引导其关注测量精度并思考优化方案；对于挑战层，鼓励其探索“无影测量”等其他方法，并对比分析不同模型的优劣。二、教学目标知识目标：学生能深刻理解“同一时间、同一地点，物体实际高度与其影长成正比例关系”这一核心原理，并能清晰解释其数学依据（太阳光线近似平行）。他们不仅能正确列出比例式求解未知高度，还能辨析影响该模型有效性的关键条件（如光照角度、地面平整度），建构起关于“比例模型应用”的层次化知识结构。能力目标：学生能够以小组为单位，自主设计并实施一个完整的测量方案，包括工具选择、分工协作、数据采集与记录。他们能够从收集到的数据（可能包含误差）中，通过计算、比较与分析，得出相对合理的大树高度估计值，并口头或书面阐述其方案的科学性与局限性，展现问题解决、团队协作与科学交流的能力。情感态度与价值观目标：在户外实践活动中，学生表现出对自然现象的好奇心和探究热情。在小组合作中，能积极承担角色任务，认真倾听同伴意见，共同面对和解决测量中遇到的实际困难（如读数偏差、工具限制），体验通过团队努力与数学知识解决现实问题的成就感，初步养成严谨、求实的科学态度。科学（学科）思维目标：重点发展学生的数学建模思维与创新思维。学生需经历从具体问题（测高）中抽象出数学模型（比例关系）的过程，并能根据实际情况（如没有同时测量的条件）对模型进行合理变通或调整（如引入参照物固定法）。鼓励对传统方法进行批判性质疑，并尝试构思新的解决方案。评价与元认知目标：引导学生依据清晰的标准（如方案可行性、数据准确性、协作有效性）对小组及他组的实践活动过程与成果进行评价。在课堂小结阶段，能反思本组测量过程中出现的误差来源，总结优化测量精度的策略，并评估不同测量方法的适用范围，提升对学习过程本身的监控与调控能力。三、教学重点与难点教学重点是引导学生自主建构“利用物体的高度与影长的比例关系测量大树高度”的数学模型，并成功应用于实践。其确立依据在于，这不仅是课标“综合与实践”领域强调的核心能力——将所学知识创造性应用于新情境，也是比例单元最具实践价值的“大概念”体现。从学科能力立意看，此过程完整涵盖了发现问题、建立模型、求解验证等关键环节，是培养学生数学应用意识和模型思想的绝佳载体，亦是未来解决更复杂工程、科学问题的思维雏形。教学难点主要在于两个方面：一是学生对“同一时间”这一模型前提的深刻理解与在实践中的精确保障。学生容易忽略“同时测量”的必要性，或在实际操作中因时间差导致显著误差。二是对测量过程中产生误差的分析与有效控制。这源于学生思维从“理想数学”到“真实世界”的跨越，他们需要理解影长会随时间微妙变化、地面未必绝对水平、读数存在视觉误差等因素，并思考如何通过多次测量、改进工具、优化方法来减小误差。预设依据来自学生认知特点（倾向于简化模型）和常见实践误区。突破方向在于强化关键条件的讨论，并引导学生在实地操作后，回到教室进行数据对比与误差溯源分析。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含引入视频、关键问题提示、方法梳理框架）；课堂学习任务单（含测量方案设计表、数据记录表、反思问题）。1.2实践器材：若干根长度已知的标杆（如1米、1.5米长竹竿）、卷尺（至少5米）、粉笔或标记用的小旗子、记录板、科学计算器（备用）。2.学生准备2.1预习与物品：复习比例相关知识；以46人异质小组为单位，推选组长、记录员、测量员、汇报员；穿着适于户外活动的服装与鞋。3.环境布置3.1教室安排：课前将课桌椅调整为便于小组讨论的布局；黑板划分出“核心问题区”、“方法生成区”、“数据汇总区”和“反思区”。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：“同学们，每天进出校园，我们都能看到那棵参天大树。老师很好奇，也相信你们好奇过：这棵大树究竟有多高呢？（稍作停顿，引发共鸣）难道我们要像童话里说的，砍倒它来量吗？或者，谁能架个那么高的梯子？”用富有挑战性的问题激发思考。“看，这是我们学校的骄傲，我们能不能就用智慧的脑袋和学过的数学知识，当一回‘不爬树的测量师’，把它‘算’出来呢？”1.1唤醒旧知与明确路径：简要回顾比例知识：“我们最近和‘比例’成了好朋友，它可是解决很多问题的神奇钥匙。想想看，生活中哪些地方藏着比例关系？”引导学生联系相似图形、地图比例尺等。“今天，我们就组成数学探险小队，带上‘比例’这把钥匙，去解开‘大树身高’的秘密。我们的探险路线是：先室内谋划方案，再户外实战测量，最后回营盘点收获。”第二、新授环节任务一：激活经验，初识“影长”奥秘教师活动：首先，利用课件展示一组图片：不同时间同一人的影子长短对比、古代日晷计时原理。抛出引导性问题：“大家发现了吗？影子的长短和什么关系最密切？（时间、太阳位置）那在同一时刻，比如上午十点整，我的影子和旁边小朋友的影子，长度会一样吗？为什么不一样？（身高不同）你们能不能大胆猜一猜，在同一时刻，物体的高度和它的影长，可能存在什么数学关系？”鼓励学生基于生活经验进行猜想（有的可能说正比，有的可能不确定）。此时，不急于给出结论，而是说：“猜想需要验证。如果我们手头有一根可以测量的标杆，比如这根1米长的竹竿，我们该如何设计一个小实验，来验证我们的猜想呢？”学生活动：观察图片，联系生活经验，积极回应教师的提问。小组内热烈讨论“高度与影长关系”的猜想，并尝试设计验证方案。可能的方案包括：在室外同一时间，测量竹竿及其影长，再测量另一个已知高度物体（如同学）及其影长，看看比值是否相近。即时评价标准：1.猜想是否基于观察而非凭空想象。2.设计的验证方案是否具有可操作性（是否考虑了“同一时间”这一关键条件）。3.小组成员能否围绕一个核心思路进行有效交流。形成知识、思维、方法清单：★核心猜想：同一时间、同一地点，物体实际高度与其影长可能存在正比例关系。这是本课数学模型的雏形。▲探究起点：从生活现象（影子变化）中提出可探究的数学问题，是科学实践的起点。教师的提问“为什么不一样？”旨在引导学生思考影长差异的本质原因（物体高度不同）。★方法意识：提出猜想后，需要设计实验进行验证。这种“猜想验证”的科学研究方法应被强调。任务二：建模论证，明晰核心原理教师活动：组织各小组简要分享验证思路，并引导归纳出关键操作要点：必须在同一时间、同一平坦地面，测量至少两个不同高度的物体及其影长。随后，进行原理讲解的“支架”搭建：“大家的思路非常棒！为什么这个关系会成立？让我们请‘光线’来帮忙。”利用动画演示平行光线照射下，不同高度物体与其影长形成相似直角三角形。“看，因为太阳光可以近似看作平行的，所以这里就隐藏着一组相似的图形。相似图形有什么性质？（对应边成比例）所以，高度之比就等于影长之比！来，谁能把这个伟大的发现用数学等式表示出来？”引导学生写出：竹竿高度/竹竿影长=大树高度/大树影长。学生活动：倾听他组方案，完善本组思路。观看动画演示，将直观的几何图形与抽象的比例式建立联系。尝试用规范的语言和数学公式表述核心原理。即时评价标准：1.能否理解动画演示与比例关系之间的逻辑关联。2.能否准确、规范地写出表达该模型的比例式。形成知识、思维、方法清单：★核心原理（模型）：在同一时间、同一地点（光照角度相同、地面平坦），由于太阳光线平行，物体高度（H）与其影长（L）成正比例关系，即H1/L1=H2/L2=k（定值）。这是本课最核心的数学模型，必须牢固建立。▲几何直观：利用相似三角形的几何模型来解释比例关系的成因，将代数关系可视化，加深理解，体现数形结合思想。★数学表达：将自然语言描述的规律转化为简洁的数学比例式，是数学建模的关键一步。需强调公式中对应项的一致性。任务三：方案设计，筹备户外实践教师活动：“原理清楚了，但我们打的是‘有准备之仗’。出征前，各小队需要制定一份详细的‘作战计划’——测量方案。”出示《测量方案设计表》，包含：所需工具清单、人员分工（谁扶标杆、谁测影长、谁记录、谁监督时间）、测量步骤（先测什么，后测什么，如何确保“同时”）、数据记录格式、预计可能遇到的问题及对策。“请大家以小组为单位，用5分钟时间，制定你们的方案。记住，细节决定成败，‘同时’两个字怎么写进你们的操作里？”巡视指导，特别关注基础薄弱小组的方案可行性，并鼓励能力强的思考“如果没有两个卷尺，如何实现‘同时’测量？（可先标记影子端点）”。学生活动：小组合作，激烈讨论，共同填写方案设计表。思考如何精准落实“同一时间”的测量，细化每一步操作。各角色明确自身任务。即时评价标准：1.方案步骤是否清晰、有序、可执行。2.是否针对“同时测量”这一难点提出了具体解决方案（如喊口令同时标记、使用固定参照物标记影端点等）。3.分工是否合理，每个成员是否有明确职责。形成知识、思维、方法清单：★实践规划能力：将理论模型转化为具体、可操作的行动方案，是解决实际问题的必备能力。方案应包括工具、步骤、分工、记录四要素。▲难点突破策略：针对“同时性”难题，学生可能产生多种策略：①快速先后测量法（误差大）；②标记端点法（推荐）；③双人同步测量法（最优但需资源）。比较不同策略的优劣是思维深化点。★协作学习规范：明确的分工与职责是高效团队合作的基础。记录员的设计的表格应科学、便于后续计算。任务四：实地测量，采集关键数据教师活动：组织学生有序前往选定的大树测量点。提醒安全与纪律。在各组实践时，进行巡回观察与指导：检查标杆是否垂直放置（可用简易重锤线示范）；指导学生如何准确确定影子的末端（模糊边界的处理）；关注各小组的时间协同方法；鼓励他们进行多次测量（如隔2分钟再测一组，观察变化）。适时介入提问：“你们测得的竹竿影长是多少？现在去测大树影长，刚才的竹竿影长数据还能用吗？为什么？（不能，时间变了，k值变了）那我们该怎么办？（重新同步测量一组标杆数据）”学生活动：按照既定方案，小组合作开展实地测量。扶直标杆，精准测量并记录竹竿高度及其影长；迅速（或同步）测量并标记大树影长，并进行量取；记录员清晰、工整地记录数据（建议测量23次取操作条件下的“最佳值”）。面对实际操作中的问题（如影子边界不清、地面不平），小组协同解决。即时评价标准：1.操作是否规范（标杆竖直、卷尺拉直、读数准确）。2.是否贯彻了“同一时间”或有效的替代策略。3.面对实地困难时，小组是否表现出问题解决与应变能力。形成知识、思维、方法清单：★数据素养：真实数据的获取伴随着误差。认识到操作规范性（如垂直、拉直、读数）对数据精度的影响。▲模型条件的现实考量：“同一时间”在现实中是近似实现的，需要策略最大化逼近这一理想条件。理解模型的理想性与实践的近似性之间的关系。★科学态度：认真、严谨地对待每一个测量步骤，尊重原始数据，是科学精神的具体体现。多次测量以减小偶然误差的意识。任务五：计算反思，形成成果报告教师活动：学生返回教室后，引导数据计算与分析。“各小队数据到手，现在请你们根据‘秘密公式’，计算出大树的‘身高’吧！计算时，注意单位的统一。”待大部分组算出结果后，将各组数据汇总到黑板表格中，包括：标杆高、标杆影长、大树影长、计算得大树高。“哇，大家看，我们得到了好几个答案，它们完全一样吗？（不一样）为什么我们用了同样的知识，结果却有差异呢？哪个数字才是大树的‘真身高’？”引导学生展开误差分析讨论。“想一想，我们的‘同一时间’是绝对的吗？标杆绝对垂直了吗？影子末端点确定得100%准确吗？地面绝对平整吗？”带领学生认识到误差的必然性及来源。最后引导思考：“如果我们想得到一个更可靠的结果，可以怎么做？（取各组平均值、改进测量方法等）”学生活动：根据本组数据，利用比例关系计算大树高度的估计值。观察黑板上的全班数据，发现数值的分布与差异。积极参与误差分析讨论，反思本组测量过程中可能引入误差的环节。思考提高测量精度的方法。即时评价标准：1.计算过程是否正确，单位处理是否得当。2.能否积极参与误差分析，并联系本组实践指出可能的误差来源。3.能否提出有建设性的改进测量精度的想法。形成知识、思维、方法清单：★模型求解与验证：将数据代入模型求解，是建模的最终目的。计算本身是基础技能的应用。▲误差分析意识：认识到理论模型与真实世界之间的差异，并能理性分析差异（误差）的来源（系统误差、操作误差、环境因素），这是批判性思维和科学探究能力的重要组成。★数据解读与决策：面对多个有差异的结果，如何得出一个相对合理的结论（如求平均值、评估最可信的一组数据），体现了基于数据进行分析与决策的素养。第三、当堂巩固训练1.基础层（巩固模型）：“如果上午10点，测得一根2米长标杆的影长是1.5米，同时测得教学楼影长是30米，那么教学楼的实际高度是多少？”（直接应用模型计算）。2.综合层（情境变式）：“小华在下午测量时，发现大树影子被围墙挡住了大部分。他只测得了标杆高1米，影长0.8米，以及大树露出墙外的一小段影长为2米。你能帮他估算大树高度吗？需要什么假设条件？”（考察模型应用的前提理解和情境化处理能力）。3.挑战层（方法拓展与评价）：“除了‘影长法’，你还能想到其他利用我们学过的数学知识（如相似三角形、三角函数雏形）来测量大树高度的方法吗？请简要描述你的思路，并与‘影长法’比较优缺点。”（激发创新思维，进行方法评价）。反馈机制：基础题通过全班口答或展示快速核对；综合题请不同思路的小组分享，重点讨论假设条件的合理性；挑战题作为思维拓展，邀请有想法的学生简述，教师予以点评和鼓励，并将可行方法（如“目测比例法”、“镜子反射法”）进行原理上的简要说明，不要求全体掌握。第四、课堂小结“同学们，今天的数学探险之旅即将到站。我们来一起盘点一下收获。”引导学生从多维度进行结构化总结：知识整合：“我们探索出了一把神奇的‘比例尺’，它的名字叫？（同一时间物体高度与影长的比例关系）”。方法提炼：“回顾整个过程，我们是怎么解决‘大树有多高’这个难题的？（经历了：提出问题—猜想关系—验证原理—设计方案—实践测量—计算分析—反思误差）。这不仅是测高，更是解决很多实际问题的‘法宝’。”元认知反思：“在这次活动中，你们小组做得最成功的一点是什么？遇到的最大挑战是什么？如果再测一次，你们会在哪个环节改进？”作业布置：必做（基础+拓展）：①书面整理本次活动的测量报告（包括方案、数据、计算过程、结果与反思）。②尝试用今天学到的方法，测量家中一件家具（如衣柜）的高度，并记录过程。选做（探究性）：①查阅资料，了解古希腊数学家泰勒斯如何测量金字塔高度，并与我们的方法进行比较。②设计一个利用“相似三角形”原理（不含影长）测量大树高度的方案（可画示意图说明）。六、作业设计基础性作业：1.完成课堂测量报告的书面整理，要求步骤清晰、数据真实、计算准确、反思具体。2.完成教材或练习册上相关的比例应用基础计算题23道，巩固模型计算技能。拓展性作业：1.“家庭测量师”任务：选择一天中的固定时间（如周末上午9点），测量阳台上一盆花的高度及其影长，同时测量晾衣杆的影长，推算晾衣杆的实际高度。撰写一份简短的实践日记。2.“方法分析师”任务：比较“影长法”和“目测比例法”（手握铅笔，伸直手臂，通过铅笔长度与大树视觉高度的比例估算），在操作难度、所需工具、精度等方面各有什么优缺点？用表格形式呈现。探究性/创造性作业：1.“误差控制探究”微型项目：设计一个对比实验，探究“标杆是否垂直”对最终高度计算结果的影响程度。可以设定标杆倾斜不同角度（如5度、10度），通过几何计算或实验模拟，分析其导致的误差百分比，并撰写发现小结。2.“无影测量方案”设计：假设在一个没有明显影子的阴天，你只有一根短尺和量角器，能否设计一个测量方案？请画出原理示意图，并说明需要测量哪些数据，以及如何计算。（提示：可结合“等腰直角三角形”或“已知角度的直角三角形”知识）。七、本节知识清单及拓展★1.核心数学模型：“同一时间、同一地点，物体实际高度（H）与其影长（L）成正比例关系”，即H1/L1=H2/L2。教学提示：务必强调“同一时间、同一地点”是模型成立的两个关键前提条件，缺一不可。★2.模型原理（几何解释）：因太阳光线近似平行，照射到不同高度的物体上时，物体与地面和其影子末端构成的三角形是相似三角形。相似三角形对应边成比例，故高度比等于影长比。教学提示：利用动画或绘图演示此过程，实现从代数关系到几何直观的转化，深化理解。★3.测量方案要素：一个完整的实践方案应包括：工具准备、人员分工、具体操作步骤（尤其明确如何保障“同时性”）、数据记录表。教学提示：引导学生像工程师一样思考，注重方案的可操作性和细节。▲4.“同时性”保障策略：常用方法有：①快速先后测量法（误差较大）；②标记端点法（先标记标杆影端，再迅速标记大树影端，最后分别测量，推荐）；③双组同步测量法（最优，但需两组人、两套工具）。教学提示：引导学生比较不同策略，理解其对误差的影响。★5.操作规范要点：标杆应尽量保持垂直（可使用铅垂线辅助）；卷尺应拉直并与被测对象平行；确定影子末端时，应取影晕中最暗、最清晰的端点。教学提示：这些是减小误差的实操关键，需在户外指导中反复强调。★6.数据记录与处理：记录原始数据需清晰、完整，注明单位。计算时，先统一单位，再代入比例式求解。可进行多次测量，取平均值作为最终估计值。教学提示：培养学生严谨的数据意识。▲7.误差分析与认知：测量误差主要来源于：①模型前提的近似性（“同时”非绝对）；②操作不规范（不垂直、不拉直）；③环境因素（地面不平、影子边界模糊）；④读数误差。误差是不可避免的，但可通过改进方法减小。教学提示：此部分是小结和反思的重点，培养学生实事求是的科学态度和批判性思维。★8.问题解决一般流程（方法论）：本节课隐含了一个完整的探究流程：发现现实问题→提出数学猜想→论证建立模型→设计实践方案→实施获取数据→计算求解验证→反思分析误差。教学提示：引导学生回顾此流程，将其内化为解决综合性问题的通用思维框架。▲9.跨学科联系（科学）：影子的形成是光学现象（光的直线传播）；太阳高度角随时间、地点变化，是地球科学的内容。理解这些有助于深化对模型前提的认识。教学提示：可简要提及，激发学生对相关学科的兴趣。▲10.其他测量方法雏形（拓展）：除了影长法，还可利用相似三角形直接构造（如使用镜子反射法、标杆后退目测法）、或利用三角函数（中学内容）进行测量。这些方法各有其适用场景和优缺点。教学提示：为学有余力的学生提供思维拓展的方向，感受数学方法的多样性。八、教学反思（一）目标达成度与证据分析本节课的核心目标——引导学生通过建立和应用比例模型解决大树测高问题——基本达成。证据在于：所有小组都成功设计并执行了测量方案，得出了数值化的结果；在课堂讨论与小结中，绝大部分学生能清晰复述“同一时间、同一地点”的核心前提，并能从相似三角形角度解释原理；在误差分析环节，学生能列举出多种具体的误差来源，如“我们标记影子端点时慢了”、“地面有点斜坡”。这表明，知识目标与思维目标落地较为扎实。能力目标方面，通过观察小组活动，学生表现出了基本的团队协作与问题解决能力，但在方案设计的精细度和应对突发状况（如突然起风影响标杆稳定）的灵活性上，组间差异明显。情感目标在户外活动的兴奋感和计算成功后的喜悦中得到一定体现，但部分学生在面对数据差异时略显挫败，需教师引导将其转化为探究误差成因的动力。（二）教学环节的有效性评估导入环节以校园真实情境切入，迅速抓住了学生兴趣，驱动性问题明确有效。新授环节的五个任务链逻辑清晰，层层递进。“任务一（猜想）”与“任务二（建模）”的衔接中，动画演示发挥了关键“脚手架”作用，成功地将学生的生活直觉上升为数学原理。但反思发现，“任务三（方案设计）”给予学生的时间略显仓促，部分小组的方案停留在粗线条，导致“任务四（实践）”时有些手忙脚乱。心想：“如果能在设计环节后，增加一个小组间方案互评或教师抽样点评的微环节，或许能更好地优化方案，提升实践效率。”任务五（计算反思）是课堂高潮，将各组数据并置对比，自然引出了误差分析这一深刻议题，教学价值显著。巩固与小结环节的分层练习满足了不同需求，尤其是挑战题激发了优秀生的思维火花。（三）学生表现的差异化剖析课堂观察可见明显的分层：A层（基础层）学生能跟随小组完成任务，在明确指令下进行操作和计算，但对原理的主动追问少，在误差分析时多倾听。对他们而言，成功参与并得出一个“数字结果”已建立信心。B层（中间层）