广东省惠州市2026届高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析

广东省惠州市2026届高一数学第二学期期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．不等式的解集是A． B．C．或 D．2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为①若，，则②若，则③若，则④若，则A．1 B．2 C．3 D．43．四边形，，，，则的外接圆与的内切圆的公共弦长（）A． B． C． D．4．设a＞0，b＞0，若是和的等比中项，则的最小值为（）A．6 B． C．8 D．95．等比数列的前项和、前项和、前项和分别为，则().A． B．C． D．6．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为30°，汽车行驶后到达点测得山顶在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度为（）A． B． C． D．7．已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为（）A． B．C． D．8．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（）A．50% B．30% C．10% D．60%9．sincos＋cos20°sin40°的值等于A． B． C． D．10．在中，内角，，所对的边分别为，，.若的面积为，则角=（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，缉私艇在处发现走私船在方位角且距离为12海里的处正以每小时10海里的速度沿方位角的方向逃窜，缉私艇立即以每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是__________小时.12．一个圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为________．13．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________14．若直线平分圆，则的值为________.15．数列满足，设为数列的前项和，则__________．16．若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241,360]内的人数是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．正四棱锥中，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求异面直线和所成角的余弦值.18．已知等比数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求的前n项和.19．已知函数.（1）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）求，解关于的不等式.20．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）当为何值时，PB⊥AC？21．如图，在三棱柱中，平面平面，，，为棱的中点.(1)证明:；(2)求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】试题分析：∵，∴，即，∴不等式的解集为．考点：分式不等式转化为一元二次不等式．2、A【解析】

根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确．【详解】如图正方体，平面是平面，平面是平面，但两直线与不垂直，①错；平面是平面，平面是平面，但两直线与不平行，②错；直线是直线，直线是直线，满足，但平面与平面不垂直，③错；由得，∵，过作平面与平面交于直线，则，于是，∴，④正确．∴只有一个命题正确．故选A．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明．3、C【解析】

以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，求出的外接圆与的内切圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，求出弦心距，进而可得公共弦长.【详解】解：以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，过作交于点，则，故，则为等边三角形，故，的外接圆方程为，①的内切圆方程为，②①-②得两圆的公共弦所在直线方程为:,的外接圆圆心到公共弦的距离为，公共弦长为，故答案为：C.【点睛】本题考查两圆公共弦长的求解，关键是要求出两圆的公共弦所在直线方程，将两圆方程作差即可得到，是中档题.4、D【解析】

试题分析：由题意a＞0，b＞0，且是和的等比中项，即，则，当且仅当时，即时取等号．考点：重要不等式，等比中项5、B【解析】

根据等比数列前项和的性质，可以得到等式，化简选出正确答案.【详解】因为这个数列是等比数列，所以成等比数列，因此有，故本题选B.【点睛】本题考查了等比数列前项和的性质，考查了数学运算能力.6、D【解析】

通过题意可知：，设山的高度，分别在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【详解】由题意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，弄清题目中各个角的含义是解题的关键.7、A【解析】

根据垂直关系求出直线斜率为，再由点斜式写出直线。【详解】由直线与直线垂直，可知直线斜率为，再由点斜式可知直线为：即.故选A.【点睛】本题考查两直线垂直，属于基础题。8、A【解析】

甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.【详解】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率为：故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.9、B【解析】由题可得，.故选B.10、C【解析】

由三角形面积公式,结合所给条件式及余弦定理,即可求得角A.【详解】中,内角,,所对的边分别为,,则由余弦定理可知而由题意可知,代入可得所以化简可得因为所以故选:C【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用,余弦定理边角转化的应用,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设缉私艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【详解】解：设缉私艇上走私船所需要的时间为小时，则，，在中，，根据余弦定理知：，或（舍去），故缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题．12、【解析】

设圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积为，底面积为，则，解得，，∴高＝＝＝，∴＝＝．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的侧面积、底面积、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．13、9【解析】

平分圆的直线过圆心，由此求得的等量关系式，进而利用基本不等式求得最小值.【详解】由于直线始终平分圆的周长，故直线过圆的圆心，即，所以.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.14、1【解析】

把圆的一般式方程化为标准方程得到圆心，根据直线过圆心，把圆心的坐标代入到直线的方程，得到关于的方程，解方程即可【详解】圆的标准方程为，则圆心为直线过圆心解得故答案为【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心的坐标，属于基础题15、【解析】

先利用裂项求和法将数列的通项化简，并求出，由此可得出的值.【详解】，.，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.16、6【解析】试题分析：由题意得，编号为，由得共6个.考点：系统抽样三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）取的中点，连接、，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；（2）连接交于，则为的中点，结合为的中点，得，可得（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，可得，设，求解三角形可得异面直线和所成角的余弦值．【详解】（1）取的中点，连接、，是的中点，且，在正四棱锥中，底面为正方形，且，又为的中点，且，且，则四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；（2）连接交于，则为的中点，又为的中点，，又，（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，，设，则，，，则，因此，异面直线和所成角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了异面直线所成角的求法，是中档题．18、（1）（2）【解析】

（1）直接利用等比数列公式计算得到答案.（2），，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，显然.，.两式联立得:，，.（2），所以.则，①，②，①-②得：.所以.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.19、（1）（2）见解析【解析】

（1）由题意，若，则函数关于对称，根据二次函数对称性，可求，代入化简得在上恒成立，由，知当为最小值，根据恒成立思想，令最小值，即可求解；（2）根据题意，由，化简一元二次不等式为，讨论参数范围，写出解集即可.【详解】解：（1）若，所以函数对称轴，.，即在恒成立，即在上恒成立所以，又，故（2），所以；原不等式变为，因为，所以.所以当，即时，解为；当时，解集为；当，即时，解为综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为必；当时，不等式的解隼为【点睛】本题考查（1）函数恒成立问题；（2）含参一元二次不等式的解法；考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中等题型.20、（1）见解析；（2）见解析【解析】

1）连结BD交AC于O，连结EO,由EO//PB可证PB//平面EA．（2）由侧面PAD⊥底面ABCD，，可证，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则，可证PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【详解】（1）连结BD交AC于O，连结EO,因为O，E分别为BD.PD的中点,所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，当时，PB⊥AC．【点睛】本题综合考查线面平行的判定，线面垂直的判定，及探索性问题找异面直线垂直，第三问难度较大，需要把异面直线垂直转化为射影垂直，即共面垂直问题．21、(1)见解析；(2)【解析】

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