2026高考数学涨分秘籍：第8讲 常常被你忽视的定积分

第8讲常常被你忽视的定积分

定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分

及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,

但由于教材中定积分的内容比较少,安排的课时比较少,教学中对其重视不够,致使相当

一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几

年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求

原函数出错,不会用函数的奇偶性求求积分,不会用面积法求积分,对定积分几何意义

理解不清致误或求解方法不正确，以定积分为载体，与其他数学知识综合．下面对这几

类典型问题进行扼要剖析,供同仁们教学参考，学生备战2024高考的培优专题.

题型一求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错

名师导航

要求定积分首先要要求出被积函数的原函数,为此对高中阶段我们需要掌握的函数如

一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、五个特殊的幂函数、三角

函数、对勾函数等要会求其定积分．当被积函数比较复杂,看不出原函数时,我们可以

先化简,再积分.

【典例1】(直接求原函数）【人教新课标A版2-2第47页例1】利用定积分的定义，计算

1

x3dx的值

ò0

解析：

111

x3dxx4|1

∫0=40=4

cos2x

4dx

【典例2】(先化简，再求原函数）0cosxsinx=（）

A．2(21)B．21C．21D．22

解析：

cos2xcos2xsin2x

4dx4dx4(cosxsinx)dx(sinxcosx)421,

0cosxsinx0cosxsinx0

0

故选C．

2e

71

【典例3】(先求积分边界）二项式xa的展开式中，含x4项的系数为280，则dx

ax

（）

e21

A．ln2B．ln21C．1D．

4e2

解析：

7r7rr

二项式xa的展开式的通项为Tr1C7xa

令7r4,r3，根据题意

433

含x项的系数C7a280,a2

2e12e1

2e

dxdxlnx|2ln2eln2ln2lneln21.选C

ax2x

1

【典例4】(求被积函数的解析式）已知x2mxdx0,则实数m的值为（）

0

12

A．B．C．1D．2

33

解析：

1111112

根据题意有x2mxdx(x3mx2)|m0,解得m

0320323

故选B．

能力达标训练

2

x1x01

1.已知f(x)，则fxdx的值为（）

10x11

3244

A．B．C．D．

2333

解析：

101

21304

fxdxxdx1dxx11.

11033

2111

2.dx（）

1xx2x3

77517

A．ln2B．ln2C．ln2D．ln2

8288

解析：

2

由题意得1111127.

dx(lnx)|1ln2

1xx2x322x28

x

3.2sin2dx()

02

11

A．0B．C．D．1

42442

解析：

x11111

2sin2dx2(cosx)dx(xsinx)|2．选B．

0202222042

1

4.（2014·陕西高考真题（理））定积分(2xex)dx的值为()

0

A．e2B．e1C．eD．e1

解析：

1

xx21x2x2

(e2x)dx(ex)|0(ex)|x1(ex)|x0=(e1)1e.故选C.

0

1

1

fxx22fxdxfxdx

5.（2014·江西高考真题（理））若0,则0（）

11

A．1B．C．D．1

33

解析：

11111

2311

设fxdxcf(x)x2cfxdxx|02cx|02ccc，故选B．

00333

111

x

6.若S(e1)dx，Sxdx，Ssinxdx，则（）

102030

A．S2S3S1B．S1S3S2C．S2S1S3D．S1S2S3

解析：

11

S(ex1)dxexx|1e2

1002

11111

Sxdxx2|1，Ssinxdxcosx|11cos1

202023002

S1S2S3，故选D.

7.【2015高考，理13】2.

0(x1)dx

解析：

21

（x-1)dx（x2—x）|20.

∫0=20=

题型二奇偶性与定积分

名师导航

奇函数与偶函数在对称区间上的定积分（简称：“偶倍奇零”，秒杀选填）

aa

fxdx2fxdx

（1）若fx为偶函数，且在关于原点对称的区间a,a上连续,则a0；

a

a,afxdx0

（2）若fx为奇函数，且在关于原点对称的区间上连续,则a。

6

【典例5】计算sinxdx（）

6

A．3B．0C．1D．-1

解析：

6

因为f(x)sinx在[,]上为奇函数，所以sinx0.故选：B

666

能力达标训练

1

2

8.xsinxdx_______．

1

解析：

1

由于x2sinxdx的被积函数yx2sinx是奇函数，而积分区间关于原点对称

1

1

x2sinxdx0.故答案为：0.

1

9.1___________．

xsinxdx

1

解析：

【答案】1

题型三用面积法求积分

名师导航

当被积函数的原函数不易求出，常利用定积分的几何意义求定积分,高中阶段一些被

积函数是二次根式的一般用面积法去求,求的时候注意取值区间.

3

【典例6】定积分9x2dx的值为（）

0

99

A．9B．3C．D．

42

解析：

2

法一换元求原函数法，令x3sint,则9x3cost,dx3cost,t[0,]

2

3

221cos2t919

则9xdx92costdt92dtsin2t2

00022224

0

故应选C．

法二换元挖掘被积函数的几何意义法，四分之一的圆面

【典例7】．

解析：

,表示的几何意义是以

为圆心,1为半径,四分之一圆的面积为

,,

能力达标训练

1

10.定积分x2xdx的值为（）

0

A．B．C．D．2

42

解析：

【答案】A

11.12（）．

0(1(x1)x)dx

11

A．2B．1C．D．

222242

解析：

111

由题意，1(x1)2xdx1(x1)2dx(x)dx，如图：

000

1

21

1(x1)dx的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的，

04

111

故其值为，(x)dx(x2)|1，所以，

40202

1111

1(x1)2xdx1(x1)2dx(x)dx，所以本题选D.

00042

2

12.4x2x2dx（）

2

1616

A．2B．8C．D．2

233

解析：

222

由4x2x2dx4x2dxx2dx，根据定积分的几何意义

222

2

可得4x2dx表示以原点为圆心，半径为2的上半圆的面积

2

22

212213213316

所以4xdx22，又由xdxx|[2(2)]

2223233

2

2216

所以4xxdx2.故选：D.

23

1

13.（2021·高二月考（理））1(x1)2xdx___________.

0

解析：

111

[1(x1)2x]dx1(x1)2dxxdx，根据定积分的几何意义可知，

000

1

1(x1)2dx表示以1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，

0

11

2121211

所以1(x1)dx1，而xdxxc|0，

044022

111

所以[1(x1)2x]dx．故答案为：.

04242

1

2

14.（2022·高二期中（理））1xxdx___________.

1

【答案】；【分析】利用定积分的几何意义及其计算公式求解.【解析】

2

1111

1x2xdx1x2dxxdx，由定积分的几何意义可知1x2dx等于半

1111

1

1111

径为1的半圆的面积，即1x2dx，xdxx20，所以1x2xdx.

11

21212

故答案为：

2

1

2f(x)dx

15.（2021·高二期中（理））已知函数f(x)1xx，则0＝_______．

解析：

令y1x2(0x1),x2+y21(y0,0x1)

111

它表示单位圆在第一象限的个圆，因为1x2dx表示个圆的面积

404

11

所以1x2dx12.

044

11111

所以f(x)dx1x2dxxdxx2|1.

00042042

1

故答案为：．

42

1

2

16.2x1xdx________

0

解析：

1111

因(2x1x2)dx(2x)dx1x2dx，而(2x)dx12021，

0000

121211

1x2)dxcos2tdt(1cos2t)dtsin2t|2，应填答案1．

04

00202224

题型四利用定积分求平面图形面积问题

名师导航

（1）利用定积分求平面图形面积的步骤：

①根据题意画出图形；

②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；

④计算定积分，写出答案．

（2）已知图形的面积求参数

求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下

限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方

程，从而可求出参数的值．

【典例8】求曲线y=x2与yx所围成的图形的面积S，正确的是()

111

122

A．Sxx2dxB．SxxdxC．SyydyD．Syydy

0

000

解析：

1

如图所示＝2，故选

SSABOS曲边梯形ABO(xx)dxA.

0

11

【典例9】由直线x，x2，曲线y及x轴所围图形的面积是（）

2x

11517

A．2ln2B．ln2C．D．

244

解析：

11

如图，由直线x，x2，曲线y及x轴所围图形的面积：

2x

2121

lnx|1

S1dxln2ln2ln2.故选：A

2x22

【典例10】已知函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，x轴与曲线相切于原点，所

27

围成的区域(阴影)面积为.

64

（1）求f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)在区间[0,m](m0)上的值域.

解析：

（1）由f(0)0得c=0，f(x)3x22axb，由f(0)0得b0，

∴f(x)x3ax2x2(xa)，令f(x)0，得x0或xa，由图知a0，即a0，

则易知图中所围成的区城(阴影)面积为

a

434

aa32xaxa

f(x)dxxaxdx，

004312

0

4

a273332

即，从而得a，∴f(x)xx.

126422

（2）由（1）知f(x)3x23x3x(x1)，令f(x)0，解得x0或x1，

31

由题f0,f(1)，x,f(x),f(x)的变化情况如下表：

22

x(,0)0(0,1)1(1,)

f(x)+0-0+

1

f(x)单调递增极大值0单调递减极小值单调递增

2

①当0m1时，f(x)在0,m上单调递减，所以f(m)f(x)f(0)，

3

即m3m2f(x)0；

2

3

②当1m时，f(x)在[0,1)上单调递减，在(1,m]上单调递增，所以f(1)f(x)f(0)，

2

1

即f(x)0；

2

3

③当m时，f(x)在[0,1)上单调递减，在(1,m]上单调递增，所以f(1)f(x)f(m)，

2

13

即f(x)m3m2，

22

3

综上可知：当0m1时，f(x)值域为m3m2,0；

2

31

当1m时，f(x)值域为,0；

22

31332

当m时，f(x)值域为,mm.

222

能力达标训练

17.函数yx21的图象如图所示，则阴影部分的面积是（）

12212

A．(x21)dxB．(x21)dxC．|x21|dxD．(x21)dx(1x2)dx

00001

解析：

122

所求面积为(1x2)dx(x21)dx|x21|dx．

010

18.（2011·全国高考真题（理））由曲线yx，直线yx2及y轴所围成的图形的面积

为（）

1016

A．B．4C．D．6

33

解析：

由题意，曲线yx，直线yx2及y轴所围成的图形如图阴影部分所示：

yx

联立方程，可得点A4,2，因此曲线yx，直线yx2及y轴所围成的

yx2

03

2212416

图形的面积为：Sxx2dxxx2x0．故选：C．

4323

20.（2015·天津高考真题（理）改编）曲线y=x2与直线y3x围成图形的面积为（）

27279

A．B．C．D．9

422

解析：

x0x3

由直线y3x与曲线y=x2，解得或

，所以直线y3x与曲线y=x2的交点

y0y3

为O0,0和A3,3，因此，直线y3x与曲线y=x2所围成的封闭图形的面积是

3

2321339

S3xxdxxx.故选：C.

02302

21.曲线yx21与直线y2x2围成的封闭图形的面积为______．

解析：

yx21x3x1

由，可得或，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积

y2x2y8y0

3

31132

S2x2x21dxx23xx3(999)13，故答案

1

3133

32

为：．

3

22.如图，阴影部分是由曲线y2x2和x2y23及x轴围成的封闭图形，则阴影部分的

面积为______.

解析：

22233

曲线y2x和圆xy3的在第一象限的交点为A,，则直线OA的方程为：

22

y3x，如图，则直线OA与抛物线y2x2所围成的面积

33

22

23223332333，

S13x2xdxxx

2324388

00

11

又扇形AOB圆心角为，则扇形AOB的面积Sr23，

322232

33

所以阴影部分的面积SSS.故答案为.

212828

23.曲线y=x2和曲线yx围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．

解析：

设阴影部分面积为S，由题意得两个图象的交点为C(1,1)，

1333

221312132131

Sxxdxx2x121020.

033033333

1

故答案为:.

3

2

24.曲线y与直线y=x1及x4所围成的封闭图形的面积为__________．

x

解析：

2

令x1，解得x1（舎）或x2．

x

25.如图，所求面积为由y＝﹣x2+2x+1，y＝x，x＝1，x＝0围成封闭图形的面积为_____.

解析：

画出图象如下图所示，则封闭图形的面积为

32

11xx

221117

x2x1xdxxx1dxx|01.

0032326

421

24．

x1dxxx2lnx|242ln2

2x2

26.（2021·全国高二单元测试）函数ysinx，ycosx与y轴在第一象限内所围成平面图

形的面积为______.

解析：

由题意知，所成平面图形如下图阴影部分所示，

∴444

S(cosxsinx)(sinxcosx)|02sin(x)|02(sinsin)21

0424

5

27.（2022·全国高二单元测试）曲线y＝sinx与直线x,x,y0所围成图形的面

24

积是________.

解析：

由题意和定积分的意义可得所求面积

5

05

40422

Ssinxdxsinxdxsinxdxcosx|

0cosx|0cosx|1(11)(1)4，

2222

28（.2012·上海高考真题（理））已知函数的图象是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，

C(1,0).函数的图象与x轴围成的图形的面积为.

解析：

11

依题意,当0x时,f(x)=2x,当x1时,f(x)=−2x+2

22

121

2x,x0,2x,x0,

22

fx，yxfx，

121

2x2,x,12x2x,x,1

22

yxfx0x1的图象与x轴围成的图形的面积为

1

2121211

2232321

S2xdx2x2xdxx|0xx|1，故答案为

0133244

2

题型五定积分与几何概率结合

名师导航

与几何概率相交汇问题：解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再

用相应几何概率公式进行计算.

【典例11】如图，在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线yex的切线，切点为P，

过点P分别作x,y轴的垂线，垂足分别为A,B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落

到阴影部分的概率为（）

e2e1e2e1

A．B．C．D．

2e2eee

x0

【答案】A；【分析】先设出切点P(x0,e)，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分

求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.

x0x

【解析】设切点P(x0,e)，ye

x0x0

所以切线方程yee(xx0)，又因为过原点

x0x0

所以0ee(0x0)解得x01，所以点P(1,e)

1

因为yex与x轴在[0,1]围成的面积是exdxe1

0

ee

则阴影部分的面积为e11，而矩形OAPB的面积为e

22

e

1

故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为e2故选

OAPB2A

e2e

【典例12】曲线yx及yx2x0围成的平面区域如图所示，向正方形OACB中

随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为___________.

解析：

2

yxx0x1

由得或，所以阴影部分的面积为

yxx0y0y1

3

11

2221131

SS曲边图形S曲边图形xdxxdxx|x|

OACDOACE003030

S1

211

，S正方形OACB1，所以质点落在阴影部分区域的概率为，故答

333S正方形OACB3

1

案为：.

3

能力达标训练

29.设直线y1与y轴交于点A，与曲线yx3交于点B，O为原点，记线段OA，AB及

曲线yx3围成的区域为．在内随机取一个点P，已知点P取在OAB内的概率等于

2

，则图中阴影部分的面积为（）

3

1111

A．B．C．D．

3456

解析：

y1x1

联立3，解得．则曲边梯形OAB的面积为

yxy1

11

31413

1xdxxx1，∵在内随机取一个点P，点P取在OAB内的

04044

221

概率等于，∴点P取在阴影部分的概率等于1，∴图中阴影部分的面积为

333

311

．故选：B．

434

30.（2012·福建高考真题（理））如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则

点P恰好取自阴影部分的概率为（）

1111

A．B．C．D．

4567

13

122

21

【答案】C；【解析】试题分析：由三角形面积为，xdxx|0，所以阴影部分

2033

1

211

面积为，所求概率为61

326P

16

31.（2010新课标）设yf(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0f(x)1，可以用随

机模拟方法近似计算积分1，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机数

f(x)dxN[0,1]

0

…和…，由此得到N个点…,，再数出其中满足

x1,x2,xNy1,y2,yN(xi,yi)(i1,2,N)

…,的点数，那么由随机模拟方案可得积分1的近似值

yif(xi)(i1,2,N)N1f(x)dx

0

为．

解析：

1

Nf(x)dx1N1N

由题意可知10得f(x)dx1，故积分f(x)dx的近似值为1．

N10N0N

32.（2015·福建高考真题（理））如图，点A的坐标为1,0，点C的坐标为2,4，函

数fxx2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于

___________．

2

(4x)dx5

【解析】试题分析：此点取自阴影部分的概率为：5

13.

4412

35.如图，在边长为1的正方形OABC内随机取一点，则此点恰好取自曲线yx下方与

正方形OABC所围成阴影部分的概率为______.

解析：

12312

正方形的面积为：11=1，阴影部分的面积为xdxx2，

0303

2

所以此点恰好取自曲线下方与正方形OABC所围成阴影部分的概率为2.

yxp3

13

2

故答案为：

3

题型六定积分在物理学应用

名师导航

（1）变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区

b

sv(t)dt

间[a，b]上的定积分，即a.

（2）变力做功

一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移

动了sm，则力F所做的功为W=Fs.

如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)

b

做的功WF(x)dx.

a

.

【典例13】（2022·高三三模（理））一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，

25

以速度v(t)73t（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继

1t

续行驶的距离（单位：m）是（）

A．125ln5B．225ln2C．425ln5D．850ln2

解析：

8

令v（t