2026高考数学涨分秘籍：第6讲 导数模块的“双参”常见的分析策略

第6讲导数模块的“双参”常见的分析策略

导数模块中研究双参数的问题，在复习过程中常一笔带过，或者以习题的形式出现.而

2022年高考天津卷压轴题就考查了这个知识点的几何分析法，本专题就这个考点作独

立整理，供同仁们教学参考，学生备战2024高考的培优专题.

题型一构造主元函数

名师导航

合适选择一个参数表示另一个参数，进而构造一元函数解决问题，关键是如何选择主

元呢？基本原则：复杂结构的参数为自变量，即为主元．

b

【典例1】已知不等式ex2axb对任意实数x恒成立，求的最大值．

a

【分析】将不等式转化为ex2axb0对任意实数x恒成立，令f(x)ex2axb，利用

baalna22

导数得f(x)a2alnab0恒成立，于是有1lna，构造函数

minaaa

2

ga1lna，a0，利用导数求最大值即可．

a

解析：

因为ex2axb对任意实数x恒成立，即ex2axb0对任意实数x恒成立

令f(x)ex2axb，则f(x)exa，当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递增

当x趋于时，f(x)趋于，不满足f(x)0在R上恒成立；

当a0时，令f(x)0，则xlna

当x(,lna)时，f(x)0，f(x)单调递减；

当x(lna,)时，f(x)0，f(x)单调递增；所以f(x)minf(lna)a2alnab

又因为f(x)0在R上恒成立，所以f(x)mina2alnab0，所以baalna2

baalna222122a

所以1lna，令ga1lna，a0，则ga

aaaaaa2a2

=

所以ga在a(0,2)上单调递增，在a(2,)上单调递减，所以gamaxg2ln2

b

所以ln2．

a

【典例2】已知函数fxlnxaxa0．

(1)当a=2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；

(2)若对任意的x>0，有f(x)≤b+a（bR），证明：b≥－2a．

【分析】（1）把a=2代入，求出函数f(x)在x＝1处的导数值，再利用导数的几何意义求解

作答.

（2）等价转化给定的不等式，构造函数并求其最大值，再构造函数并求其最小值作答.

解析：

1

(1)当a=2时，fxlnx2x，f(1)2，求导得：fx2，则f11

x

有y(2)1(x1)，即xy10，所以f(x)在x＝1处的切线方程是：xy10.

(2)x0，f(x)bablnxaxa，令g(x)lnxaxa，x0，

11

求导得g(x)1a，而a0，则当0x时，g(x)0，当x时，g(x)0，

xaa

111

因此，g(x)在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减，g(x)g()lnaa1，

aamaxa

于是得blnaa1，则b2alnaa1，令h(a)lnaa1,a0，

1

h(a)1，则当0a1时，h(a)0，当a1时，h(a)0，

a

因此，h(a)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，h(a)minh(1)0，

于是得b2ah(a)0，即b2a，所以b2a.

【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函

数的单调性、极(最)值问题处理.

能力达标训练

1.已知lnxax2b0在0,上恒成立，求a2b的最小值．

解析：

lnxax2b0在0,上恒成立，等价于lnx22ax22b0在0,上恒成立

等价于lnx2ax2b0在0,上恒成立，令fxlnx2ax2b，x0,

当a0时，则fx在0,上单调递增，则若x时，fx，不符合题意

11

当a0时，则fx2a，若0x时，f¢(x)>0，此时fx单调递增

x2a

1

若x时，fx0，此时fx单调递减

2a

1

所以fxfxfln2a12b0，

max2a

则2bln2a1，即a2baln2a1

1

令gaaln2a1，a0，则ga1

a

当0a1时，ga0，此时ga单调递减

当a1时，ga0，此时ga单调递增

所以gagaming1ln2，所以a2baln2a1ln2

所以a2b的最小值是ln2．

xx

2.已知函数fxeb,xR，都有fx的最小值为0，求a2b的最小值．

a

解析：

1

由题意知xR，都有fx的最小值为0，可转化为直线yxb与yex相切.

a

x1

e0

x0a21x0

设切点坐标为x0,e，则可得，可得ab.

1ex0

ex0xb

a0

et1tett2

1t

令gt，则gt2t

etete

当t2时，gt0，函数gt单调递减

当t2时，gt0，函数gt单调递增

11

所以gtg2，即a2b的最小值为.

mine2e2

ax12b

3.已知a0，函数fxe，gxxa2x2b.若fxgx，求的取值范

a

围.

解析：

fxgx，即fxgx0，令Fxfxgxeax1x2a2x2b

Gxaeax12xa2，令hxaeax12xa2

则hxa2eax120，所以函数hx为增函数，即函数Gx为增函数

又G10，则当x1时，Gx0，当x1时，Gx0

所以函数Gx在,1上单调递减，在1,上单调递增

所以GxminG111a22ba2b0

b1b1

所以，所以的取值范围是,.

a2a2

4.一般地，对于函数yft和tgx复合而成的函数yfgx，它的导数与函数

xax

yft，tgx的导数间的关系为yxyttx．若关于的不等式exb对于任意

b

xR恒成立，求的最大值.

a

解析：

依题意eaxxb恒成立，即eaxxb0恒成立

设fxeaxxb，fxaeax1，

设gxaeax1，则gxa2eax0

所以fx在R上单调递增，

当a0时，fxaeax10,fx在R上递减，没有最小值，不符合题意.

lna

当a0时，由fxaeax10解得x

a

lna

所以fx在区间,,fx0,fx递减

a

lna

在区间,,fx0,fx递增

a

lnalnalna1lna

所以fx的最小值是febb

aaa

1lna1lnab1lna

依题意可知b0，即b，即

aaaa2

1lnxx2x1lnx12lnx

设hxx0，hx

x2x4x3

11

所以hx在区间0,e2,hx0,hx递增，在区间e2,,hx0,hx递减

1

2

11lne

所以hx的最大值为e

2

he1

e2

be

所以的最大值为.

a2

n

5.已知m，n为实数，f(x)exmxn1，若f(x)0对xR恒成立，求的最小值.

m

解析：

f(x)exmxn1,f(x)exm，当m0时，f(x)0恒成立，则f(x)单调递增

f0n，显然f(x)0不恒成立，当m0时，x(,lnm)时，f(x)0

函数f(x)单调递减；x(lnm,)时，f(x)0，函数f(x)单调递增

∴f(x)minf(lnm)mmlnmn1

∵f(x)0恒成立，∴mmlnmn10，∴nmlnmm1

nmlnmm11

∴lnm1

mmm

111m1

令h(m)lnm1,m0，h(m),h(m)在区间(0,1)上单调递减，在区间

mmm2m2

(1,)上单调递增，∴h(m)minh(1)0．

b

ax

6.已知关于x的不等式e2xb对任意xR恒成立，求a的最大值.

解析：

ax

关于x的不等式eax2xb对任意xR恒成立，设fxe，g(x)2xb，

若eax2xb，对任意xR恒成立，则fxgx，对任意xR恒成立，

当a<0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，

显然，由图可知eax2xb，对任意xR不恒成立；

当a0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，

显然，由图可知eax2xb，对任意xR不恒成立；

当a0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，

由图可知，临界条件是直线gx2xb与曲线fxeax的图象相切时，

axax2ax

由fxe，求导fxae，设f(x)aeax02，解得eax0，且fxe0，

0a0

axax0

当fxe的切线斜率为2时，切点坐标为x0,e，

21b

故eax02xb，所以x，

0a0a2

1bab

a212ab2ln42lna

即ea2e21ln2lnab，

aa2a

b2ln42lna2ln42lna

所以，令ha,a0，

aa2a2

2

a22a(2ln42lna)

求导24ln24lna，

haa

a4a3

1

1

令ha0，得lnaln2，即2，

2a2e

1

当a0,2e2,ha0，函数ha单调递增，

1

当ae2,,ha0，函数ha单调递减，

1

2

12ln42ln2e

1

21e

所以当2，函数ha取到最大值，且h2e.

a2e121

4e4

2e2

be

故的最大值为．

a4

7.已知函数f(x)lnxaxa(a0).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

b

(2)当a>0时，若关于x的不等式f(x)b2a恒成立，证明：2.

a

解析：

11ax

(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，则f(x)a，

xx

①当a＜0时，1ax0，f(x)0恒成立，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，

11

②当a＞0时，由f(x)0，得0x，由f(x)0得x，

aa

11

故函数f(x)在区间(0,)递增，在(,)上递减；

aa

11

(2)由（1）知：欲使f(x)b2a恒成立，只需f(x)f()b2a，即ln1ab，

maxaa

b1111

∴ln1，若t，令g(t)tlntt1，则g(t)lnt，由g(t)0，得t1，由

aaaaa

，

g(t)0，得0t1，故g(t)在01递减，在(1,)上递增，故g(t)ming(1)2，故g(t)2，

b

即2．

a

8.已知函数fxexax2bx，a,bR．当x0，a0时，若fx0恒成立，求ab的

最大值．

解析：

ex

当x0时，若fx0恒成立，则exax2bx0恒成立，即axb0恒成立

x

exx1ex

令gxaxbx0，则gxa

xx2

x1exx22x2

令mxax0，则mxex0，所以mx，即gx单调递增

x2x3

x

2e

当a0时，由（1）可知，当a1，x0时，FxF214e0，即1

x2

a1

ae

因此ga12aaa0，又g1a0，故存在唯一的x1,a1

a10

x1ex0

0

使得gx00，则a2，因此，gx在xx0处取得最小值

x0

x0x0x0x0x0

eex01e2x0e2x0e

故gx0ax0bbb0，即b．

x0x0x0x0x0

22x

x0x00

x01e2x0ex03x02e

ab23，

x0x0x0

22x22x

x3x2e2x37x210x62x3x2x2e

2x

设Hxx0，则Hx4e4

x3xx

3

易知当0x时，Hx0，Hx单调递增

2

332e3

当x时，Hx0，Hx单调递减，则Hx的最大值为H．

2227

2e3

所以ab的最大值为．

27

9.已知函数fx2alnx2a1xx2a0.若在函数fx的定义域内，总有

fxx22axb成立，试求ab的最大值.

解析：

法一、猜最值构造表达式求，fxx22axb，即2alnx2xb0.

令gx2alnx2xb，由题意知“ge0”是“gx0”的必要条件，

即ab2e，则ab的最大值可能是2e.

ex

取abe，则gx2elnx2xe，从而gx2.

x

当0xe时，gx0，gx单调递增；

当xe时，gx0，gx单调递减.

从而当x0时，gxge0，符合题意.

综上可知：ab的最大值为2e.

原创法二、分离b,另一边用a表示最值，构造a+b的不等式求解

2

fxx2axb，-2alnx+2x≥b,令g(x)=-2alnx+2x,g(x)≥g(a)=-2alna+2a

-2alna+3a≥a+b令h(x)=-2alna+3a,h(x)≥h(e)=2e

b

10.已知函数fxlnxa，gxaxb1，若x0，fxgx，求的最小值

a

解析：

由题意可得lnxaaxb1在0,恒成立，由题意可知，a0.

即axlnxb1a0在0,上恒成立，

1ax1

令hxaxlnxb1a，x0,，hxa.

xx

①当a0时，hx0对任意的x0恒成立，故函数hx在0,上单调递减，

heb1aaeb1a0，此时hx0在0,上不恒成立；

1

②当a0时，由hx0，可得x，

a

1

当0x时，hx0，此时函数hx单调递减，

a

1

当x时，hx0，此时函数hx单调递增，

a

1

所以，hxhlnaa2b0，

mina

blna2

可得balna2，所以，1a0，

aaa

lna21lna

令ta1，其中a0，则ta.

aa2

1

当0a时，ta0，此时函数ta单调递减，

e

1

当a时，ta0，此时函数ta单调递增，

e

1b

所以，tat1e，因此的最小值为1e.

minea

题型二构造参数的几何意义

名师导航

充分利用参数结构的几何意义，如斜率、截距、距离等，建立数学模型

【典例3】（2022年高考天津）已知a，bR，函数fxexasinx,gxbx

(1)求函数yfx在0,f0处的切线方程；

(2)若yfx和ygx有公共点，

（i）当a0时，求b的取值范围；（ii）求证：a2b2e．

【分析】（1）求出f(0)可求切线方程；（2）（i）当a0时，曲线yf(x)和yg(x)有公共

2

点即为stetbt,t0在0,上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求

b[2e,).

x0

（ii）曲线yf(x)和yg(x)有公共点即asinx0bx0e0，利用点到直线的距离得到

x02x

22ee

ab，利用导数可证，从而可得不等式成立

22>e.

sinx0x0sinxx

解析：

（1）f(x)exacosx，故f(0)1a，而f(0)1

曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y1ax01即y1ax1

（2）（i）当a0时，因为曲线yf(x)和yg(x)有公共点，故exbx有解

2

设tx，故xt2，故etbt在0,上有解

22

设stetbt,t0，故st在0,上有零点，而st2tetb,t0

2

若b0，则stet0恒成立，此时st在0,上无零点

若b0，则st0在0,上恒成立，故st在0,上为增函数

而s010，sts01，故st在0,上无零点，故b0

22

设ut2tetb,t0，则ut24t2et0，故ut在0,上为增函数

2

b

而u0b0，ubb2e10，故ut在0,上存在唯一零点t0

且0tt0时，ut0；tt0时，ut0

故0tt0时，st0；tt0时，st0

所以st在0,t0上为减函数，在t0,上为增函数，故stminst0

22

t0t0

因为st在0,上有零点，故st00，故ebt00，而2t0eb0

222

故et02t2et00即t

002

22

设vt2tet,t0，则vt24t2et0，故vt在0,上为增函数

21

t0

而，故2

b2t0eb2e2e.

（ii）因为曲线yf(x)和yg(x)有公共点

x

所以easinxbx有解x0，其中x00，

若x00，则1a0b0，该式不成立，故x00.

x0x0

故asinx0bx0e0，考虑直线asinx0bx0e0

22x0

ab表示原点与直线asinx0bx0e0上的动点a,b之间的距离，

x

02x0

22ee

故ab，所以a2b2

22

sinx0x0sinx0x0

下证：对任意x0，总有sinxx

证明：当x时，有sinx1x，故sinxx成立.

22

当0x时，即证sinxx

2

设pxsinxx，则pxcosx10（不恒为零）

故pxsinxx在0,上为减函数，故pxp00即sinx成立.

综上，sinxx成立.

xx

下证：当x0时，exx1恒成立，qxe1x,x0，则qxe10

故qx在0,上为增函数，故qxq00即exx1恒成立.

e2x

下证：>e在0,上恒成立，即证：e2x1sin2xx

sin2xx

2

即证：2x11sin2xx，即证：xsin2x，而xsinxsinx，故xsin2x成立.

ex0

e22

故2，即abe成立.

sinx0x0

【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，

而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目

标不等式.

b

【典例4】已知关于x的不等式eaxxb对任意xR恒成立，则的最大值．

a

b1lna

【分析】讨论a的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数

aa2

1lna

g(a),a0，利用导数求出函数的最值，进而得解.

a2

解析：

设fxeax，gxxb

若eaxxb，对任意xR恒成立，则fxgx，对任意xR恒成立

当a0时，在同一坐标系中作出函数fx,gx的图象

显然，由图可知eaxxb，对任意xR不恒成立

当a0时，在同一坐标系中作出函数fx,gx的图象

由图可知，临界条件是直线gxxb与曲线fxeax的图象相切时

由fxeax，求导fxaeex

ax1ax

设fxae01，解得eax0，且fxe0

0a0

axax0

∴当fxe的切线斜率为1时，切点坐标为x0,e

11

故eax0xb，所以xb

0a0a

1

ab11

即eae1ab1ablna1lnaab

aa

b1lna1lna

两边同除以a2，，令g(a),a0

aa2a2

1

a22a(1lna)

求导12(1lna)12lna

g(a)a

a4a3a3

1

1

令g(a)0，得lna，即2

2ae

1

当a0,e2，g(a)0，函数g(a)单调递增

1

当ae2,，g(a)0，函数g(a)单调递减

1

1

1

1lne2e

122

g(e)

所以当，函数g(a)取到最大值，且121

ae2e2

e2

be

故的最大值为

a2

能力达标训练

x

11.设函数fxeax1b在区间[0,1]上存在零点，则a2b2的最小值为（）

2

A．eB．C．7D．3e

2

解析：

设t为f(x)在[0,1]上的零点，则eta(t1)b0

所以(t1)abet0，即点(a,b)在直线(t1)xyet0

又a2b2表示点(a,b)到原点距离的平方

t

ee2t

2222

则ab，即ab2

(t1)21(t1)1

e2t2e2t(t222t)e2t(2t2)2e2t(t23t3)

令g(t)，可得g(t)，

(t1)21(t222t)2(t222t)2

因为e2t0,t23t30，所以g(t)0，得g(t)在[0,1]上为单调递增函数，

22

所以当t=0是，g(t)g(0)，所以a2b2的最小值为.故选：B.

min22

12.已知a,bR，函数f(x)x22axb，若其在区间[3,4]上至少有一个零点，则

4a2b2的最小值是________.

解析：

2

由题意可知存在t3,4使t22atb0，整理为：t2abt0

设2am,bn，整理为关于m,n的直线tmnt20

那么4a2b2m2n2，表示直线上的点到原点的距离的平方

那么距离的最小值就是原点到直线的距离

2

t21

所以m2n2()2t21

t21t21

2

181

当t3,4时，t21是单调递增函数，当t3是取得最小值.

t2110

81

即4a2b2m2n2的最小值是.

10

1

13.若存在aR，使得对于任意x,e，不等式lnxax2bxe22elnxe恒成立，

e

求实数b的最小值．

解析：

lnx11lnx

令fx，其中x,e，则fx

xex2

11

当xe时，f¢(x)>0，则函数fx在,e上单调递增，且f10

ee

e22elnxe2ee2lnxe23e

令gx，则gx

xx2

1

因为函数y2ee2lnxe23e在,e上单调递增

e

12211

ge2e5e0，ge0，所以，存在x0,e，使得gx00

eee

1

当xx时，gx0，此时函数gx单调递增

e0

当x0xe时，gx0，此时函数gx单调递减，如下图所示：

2

lnxe2elnxe

由题意得axb

xx

直线yaxb恒位于yfx的图象上方，ygx的图象下方

b代表直线yaxb在y轴上的截距

lnx

当直线变化时观察得当直线过Me,e1且与曲线y相切时，b最小．

x

lnx

lnx0e1

x,0x1lnx

设切点为0，则00

x02

x0ex0

2

整理可得e1x0x02x0elnx0e0

令hxe1x2x2xelnxe，则h10

ee

hx2e1x121lnx2e1x12lnx

xx

1e

而当x,e时，2e1x22ee13，12lnx3，

ex

e

所以2e1x12lnx0

x

11

所以当x,e时，hx0，则函数hx在,e上单调递增

ee

所以hx有唯一的零点1

所以x01，此时直线方程为yx1，故bmin1.

14.已知函数满足，若，求

11

的最大值.'�−122

����=�1�−�0�+2���≥2�+��+�(�+1)�

解析：

易得，则

�1212�

即��=的�图−象�在+2���≥2的�上+方��，+设�曲⇔线�与≥直�线+相1切�于+�

�

00

则切�:线�=方�程为�=�+1�+��，则��(�,�)

�0�0�0�0�0�0

000

所以��=��−�+�=��+�(1−�)�+1=�,�1−�≥�

�0�02�0

�+1�≤�×�1−�0=�1−�0

令，则，易得.

2�'2�1�

��=�1−���=�1−2���≥�2=2

当时，取到最大值.

��

�=�−1,�=2(�+1)�2

a

15.已知函数fxalnxabxab4a0，对于定义域内的任意x恒有

exa

b

fx0，求的最大值.

a

解析：

a

不等式可化为alnxaabbx4a

exa

1b

因为a0，将不等式两边同时除以a得lnxabx4

exaa

b1

令txa，原不等式等价于：t4lnt

aet

1b11

设g(t)lnt，ktt4，对g(t)求导可得g(t)0

etaet2t

1b1

则函数g(t)lnt单调递减且下凸，要使t4lnt恒成立

etaet

则直线kt与曲线g(t)相切时取最值，如图

当直线kt与曲线g(t)相切时，设切点为(x0,y0)

11bb1

则2，且t04lnt0

et0t0aaet0

2

1b

整理可得，3lnt0，解得：t0，此时2e.

et0ea

题型三不等式放缩

名师导航

不等式放缩也是处理双变量问题的一个重要分析方法

【典例5】已知x0,，且axsinxbx恒成立，求ba的最小值.

2