2026高考数学复习微专题：104.新高考背景下的概率填空压轴专题突破

104.新高考背景下的概率填空压轴

1.枚举法在新情境题目中的应用

例1．图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导

致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按2,2将导致1,2，2,1，2,2，2,3，3,2

改变状态．如果要求只改变1,1的状态，则需按开关的最少次数为________．

1,11,21,3

2,12,22,3

3,13,23,3

解析：根据题意可知，只有在1,1以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少.具体原因

如下：假设开始按动前所有开关闭合，要只改变1,1的状态，在按动（1,1）后，（1,2），（2,1）

也改变，下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动（2,2），但会导致周边的（2,3），

（3,2）也改变，因此会按动开关更多的次数，所以接下来逐一恢复，沿着周边的开关按动，

可以实现最少的开关次数．如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以）

1,11,21,32,12,22,33,13,23,3

按动1,1开开关开关关关关关

按动1,3开关开开关开关关关

按动2,3开关关开开关关关开

按动3,2开关关开开关开开关

按动3,1开关关关关关关关关

故答案为：5．

例2.（2020全国2卷）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2an满足

ai{0,1}(i1,2,)，且存在正整数m，使得aimai(i1,2,)成立，则称其为0-1周期序

列，并称满足aimai(i1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1

1m

序列a1a2an，C(k)aiaik(k1,2,,m1)是描述其性质的重要指标，下列周期为

mi1

1

5的0-1序列中，满足C(k)(k1,2,3,4)的序列是（）

5

A.11010B.11011C.10001D.11001

15

解析：由知，序列的周期为m，由已知，，

aimaiaim5C(k)aiaik,k1,2,3,4

5i1

对于选项A，

151111

C(1)aiai1(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6)(10000)

5i15555

15112

，不满足；

C(2)aiai2(a1a3a2a4a3a5a4a6a5a7)(01010)

5i1555

对于选项B，

15113

，不满足；

C(1)aiai1(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6)(10011)

5i1555

对于选项D，

15112

，不满足；

C(1)aiai1(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6)(10001)

5i1555

故选：C

例3（2016年全国三卷）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为，

{an}{an}2mm0

项为，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则则不

m1k2ma1,a2,,akm4

同的“规范01数列”共有

A.18个B.16个C.14个D.12个

解析：由题意可得，，，，…，中有个、个，且满足对任意

a10a81a2a3a73031k

≤，都有，，…，中的个数不少于的个数，利用列举法可得不同的“规范

8a1a2ak0101

数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,

00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共

14个．

例4（2020全国1卷）.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场

者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行

下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比

赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.

1

设每场比赛双方获胜的概率都为，

2

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

4

11

解析：（1）记事件M:甲连胜四场，则PM；

216

（2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为

4

11

PPABABPACACPBCBCPBABA4，所以，需要进行

24

3

第五场比赛的概率为P1P.

4

11

（3）①四场比赛丙获胜，丙在前四场获胜的概率为()3

28

111111111

②由下表可知：五场比赛丙获胜，P(B)，P(C)1，

2222162228

1111

P(D)1，

2228

1115

丙五场比赛丙获胜的概率为P(B)P(C)p(D)

168816

157

由于①②互斥，丙最终获胜的概率为.

81616

丙的12345事件

参赛轮空胜胜败胜B

情况轮空胜败轮空胜C

轮空败轮空胜胜D

注：第二问在处理时直接列举情况较复杂，此时可以采取正难则反的技巧.第三问则可直接

枚举出各种可能结果，这是我们在计算复杂事件时一个重要的技巧.

例5．近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大

街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某

水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.

（1）顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，

否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；

（2）顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若

当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率

解析：（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个

时抽到这个烂果，

C3

19

甲购买一盒猕猴桃的概率P10.240.96.

C20

（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：

第1周第2周第3周第4周第5周

√√√√√

√╳√√√

√√╳√√

√╳√╳√

√√√╳√

故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率

4

P0.80.20.80.80.80.20.80.20.20.80.80.20.8336.

例6.（2017年全国1卷12题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，

为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件

的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8，其中第一项是20，接下

来两项是20,21，再下来三项是20,21,22，以此类推，求满足如下条件的最小整数

N:N100，且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）

解析：由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验

13131

选项D:若N110,由91110,知第110项排在第14行,第19个

2

141914191015

SN213221221616221

由1015是奇数知不能写成整数幂;

221SN2

20201

选项C:若N220,由210220知,第220项排在第21行,第10个

2

21102110是大于的奇数,不能写成整数幂;

SN220221222312

25251

选项B,若N330,由325330知第330项排在第26行,第5个

2

2652624,同理,不能写成整数幂;

SN225221244212

nn1n1n2

选项A时,当N440时,由440,可解出n29

22

所以这前440和为:21122122912021222324230,符合

题意,故选A．

新试卷背景下排列组合问题的十大应用

本节主要介绍排列组合与二项式定理中的基本问题，新高考目前在该板块主要考察一道小

题，同时排列组合问题会和古典概型结合深度考察，但难度整体不大，属于基础题，读者

只需掌握常见的排列组合模型与二项式定理的基本性质便可轻松应考.

一．基本原理

考点1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1.分类计数原理定义：

做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有

nm1m2

种不同的方法在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有方法数：

nmn

Nm1m2mn

2.分步计数原理定义：

做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有

nm1m2

种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有方法数：

nmn

Nm1m2mn

考点2.排列

1.排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出m个元素(mn,n,mN*)，按照一定的顺序排成一列，叫

做从n个不同元素中取m个元素的一个排列．

2.排列数

（1）排列数定义

（2）排列数公式

n(n1)(n2)(nm1)(nm)21n!

Amn(n1)(n2)(nm1)

n(nm)(nm1)21(nm)!

（1）全排列

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中mn，即有

n

Ann(n1)(n2)21．

1.组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(mn,n,mN*)个元素合成一组，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的一个组合，也就是说，组合是从n个不同的元素中取出m(mn,n,mN*)

个元素，不分次序构成一组.

2.组合数

3.组合数公式

Amn(n1)(nm1)

mn，

Cnm

Amm!

n!

Cm，规定：Cn1,C01.

nm!(nm)!nn

4.组合数的性质

mnm

（1）性质1：CnCn

mmm1

（2）性质2:Cn1CnCn

考点4.常见的一些排列问题及其解决方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

优先法优先安排特殊元素或特殊位置

捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元

插空法

素排列的空当中

定序问题

对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法处理

间接法正难则反，等价转化的方法

4.分组分配问题

4.1（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：

将个不同元素分成组，且每组的元素个数分别为，

nmm1,m2,m3,,mm

记NCm1Cm2Cm3Cmm.

nnm1n(m1m2)n(m1m2mm1)

（1）非均匀不编号分组：n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组

间的顺序，其分法种数为N.

（2）均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号（即无序）的m组，每组元素数目相等，

N

其分法种数为

m.

Am

（3）部分均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，其中有r组元素个数相等，

N

其分法种数为，如果再有组均匀分组，应再除以k.

rkAk

Ar

4.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．

二．典例分析

★1.排列，组合公式及应用

例1．若m，n为正整数且nm1，则（）

12nnmm1m1

A．CnCnCn2B．CnCn1Cn

mm1mm1m

C．mCn(n1)Cn1D．AnmAnAn1

nn01n0

解析：对A：211CnCnCn，又Cn1，故A错误；

m1m1n1!n!

对B：Cn1Cn

m1!nm!m1!nm1!

n1!nmn!n1nmn!n!m

Cn，故B正确；

m1m!nm!m1m!nm!m1m!nm!m!nm!

m1n1!mn1!mn1!

对C：Cn1，

m1!nm!mm1!nm!m!nm!

mmn!mm1

mCn，即mC(n1)C，故C错误；

m!nm!nn1

mm1n!mn!nm1mn!n1!

对D：AnmAn，

nm!nm1!nm1!nm1!

mn1!mm1m

An1，即AmAA，故D正确.故选：BD.

nm1!nnn1

★2.排列组合中的特殊优先原则

例2．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这

样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如

121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）

A．100个B．125个C．225个D．250个

解析：依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与

十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：

112

最多1个0，取奇数字有A5种，取能重复的偶数字有A4种，它们排入数位有A2种，取偶

11121

数字占百位有A5种，不同“回文数”的个数是A5A4A2A5200个，

11

最少2个0，取奇数字有A5种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有A5

种，

11

不同“回文数”的个数是A5A525个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且

仅有两位数字是奇数的“回文数”共有20025225个.故选：C

例2．为确保马拉松赛事在某市顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮

水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站.由含甲､乙在内的13支志愿者服务队负责这

13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务，则甲队和乙队在不同类

型的站点服务且不相邻的概率为（）

2345

A．B．C．D．

13131313

2

解析：由题意可知甲队和乙队共有A131312种不同安排方法，

甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻，分以下三种情况，

1、从2个端点饮水点任选一个安排甲，再从与该饮水点不相邻的5个服务站选一个安排乙；

2、从中间5个饮水点任选一个安排甲，再从不与该饮水点相邻的4个服务站选一个安排乙；

3、从6个服务站任选一个安排甲，再从不与该服务站相邻的5个饮水站选一个安排乙；

111111

共有C2C5C5C4C6C560种不同安排方法，所以甲队和乙队在不同类型的站点服务且不

605

相邻的概率为P.故选：D.

131213

例3．为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一

个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，

可以设置的密码共有（）

A．72B．120C．216D．240

解析：从左到右的6个位置分别为A,B,C,D,E,F，若两个0之间有一个数字，此时两个0

的位置有A,C或B,D或C,E或D,F四种情况，在把剩余的4个数进行全排列，此时共有

4

4A496种，若两个0之间有两个数字，此时两个0的位置有A,D或B,E或C,E三种情况，

4

剩余的4个数进行全排列，此时有3A472种，若两个0之间有三个数字，此时两个0的

4

位置有A,E或B,F两种情况，剩余的4个数进行全排列，此时有2A448种，综上，可以

设置的密码共有967248216个.故选：C

★3.相邻问题

例4.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同

排列方式有多少种（）

A．12种B．24种C．36种D．48种

231

解析：先利用捆绑法排乙丙丁戊四人，再用插空法选甲的位置，则有A2A3C2=24种．选B.

例5．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，

则教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率为（）

2311

A．B．C．D．

510510

52

解析：教师和4名学生站成一排一共有A5120种方法，将甲和乙看成一个元素，有A2种

3

方法，这样就有4个不同的元素，教师不站两端，则教师有2种方法，其余3个元素有A3

23

种方法，则满足条件的站法有2A2A324种，所以教师不站两端，且甲、乙相邻的概率

241

P.故选：C

1205

★4.不相邻问题

例6．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

1224

A．B．C．D．

3535

解析：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，

则有1种排法，若个不相邻，则有2种排法，所以个不相邻的概率为

C5520C51020

102

．故选：C．

5103

例7.已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则

不同的排法共有（）

A．336种B．284种C．264种D．186种

24

解析：当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，共有A2A42432148

种排法；当有1名女生排在一端，另一端排男生时，共有

1113

2A2A3A3A32233321216种排法；当男生排在两端时，共有

2222

C3A2A2A33223272种排法；故不同的排法共有4821672336（种），故选：

A

★5.定序问题

例8．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新

笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子

净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共

有（）

A．72种B．36种C．12种D．6种

4

解析：由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种，即有A4种放法，又茄

4

A4

子净肉放在鸡脯肉后，则有212种放法.故选：C

A2

例9.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有

________种(用数字作答).

解析：先不考虑的顺序限制任意排列这个字母共有6个不

A,B,C,A,B,C,D,E,F6,A6

同排列其中当的位置固定时任意交换这个字母的位置共有3种

.,D,E,F,A,B,C3,A3

不同的排列而符合均在的同侧这一条件的排列有12个

,A,BCC2A2.

C1A2

在所有的6种排列方法中符合顺序要求的排法所占比例为22所以不同的排法共

A6,3.,

A3

C1A2

622种

A63480.

A3

★6.涂色问题

例10．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个

区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（）

A．48B．56C．72D．256

解析：将四个区域标记为A,B,C,D，如图所示：

第一步涂A:4种涂法，第二步涂B:3种涂法，第三步涂C:2种涂法，第四步涂D:2种涂法，

根据分步乘法计数原理可知，一共有432248种着色方法.故选：A.

例11．已知正四棱锥PABCD，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点

只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（）

A．240B．420C．336D．120

3

解析：当只用三种颜色时，A,C同色且B,D同色，5种颜色选择3种，且有A560种选择，

当只用四种颜色时，A,C同色或B,D同色，从5种颜色中选择4种，再从A,C和B,D中二

414

选一，涂相同颜色，故有C5C2A4240种选择，当用五种颜色时，每个顶点用1种颜色，

5

故有A5120种选择，综上，共有60240120420种选择.故选：B

★7.分组分配问题

例12．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中

一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率

为（）

5698

A．B．C．D．

1825259

解析：先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配

3122

C5C2C5C33

到三项活动中，总方法数为22A3150，因甲、乙、丙三位同学所报活动各

A2A2

不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活动中

311

选择，其方法数为A3C3C354.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为

549

P．故选:C．

15025

例13．将甲、乙、丙等7名志愿者分到A,B,C三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、

乙、丙分到同一个地区的概率为（）

1111

A．B．C．D．

48247035

解析：将甲、乙、丙等7名志愿者分到A,B,C三个地区，每个地区至少分配2人，

C3C2

743

则有3人分到一个地区，分配方法共有2A3种，其中甲、乙、丙分到同一个地区的分

A2

C2

4A3

C2A2311

432

配方法有2A3，故所求的概率为323，故选：D

A2C7C43C735

2A3

A2

例14.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培

训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共

有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

解析：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先

从名志愿者中任选人，组成一个小组，有2种选法；然后连同其余三人，看成四个元

52C5

素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！

种，根据乘法原理，完成这件事，共有2种不同的分配方案，故选：

C54!240C.

★8.正难则反

例11.甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A,B,C三个小区可

供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区

的概率为（）

19310025

A.B.C.D.

24324339

解析：首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有35243种情况，再计算5个人去3

个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情

C2

况数为33当人被分为时，情况数为143；所以共有

C5A360;52,2,1C52A390

A2

6090150.由于所求甲不去A，情况数较多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用

总数减即可，当人被分为时，且甲去，甲若为，则32，甲若为，则

53,1,1A1C4A283

22，共计种，

C4A21281220

C2

当人被分为时，且甲去，甲若为，则42，甲若为，则112，

52,2,1A12A262C4C3A224

A2

1502030100

共计62430种，所以甲不在A小区的概率为，故选：B.

243243

9.★不定方程与挡板问题

挡板法

讨论不定方程的非负整数解

x1x2xnr.

（）方程的正整数解为n1个

1x1x2xnrCr1.

（）方程的非负整数解为n1个

2x1x2xnrCnr1.

例12．不定方程xyz12的非负整数解的个数为（）

A．55B．60C．91D．540

解析：不定方程xyz12的非负整数解的个数将12个相同小球放入三个盒子，允

许有空盒的放法种数.

现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有

空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，

因此，不定方程的非负整数解的个数为2故选：

xyz12C1491.C.

例13.方程x1x2x3x412的正整数解共有（）组

A．165B．120C．38D．35

解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，

在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球

的数目依次是x1、x2、x3、x4，显然满足x1x2x3x412，故x1,x2,x3,x4是方程

x1x2x3x412的一组解，

反之，方程x1x2x3x412的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，

11109

故方程xxxx12的正整数解的数目为：C3165，

123411321

故选：A.

10.★排列组合综合应用（新情境）

n1*

例14．若数列an的通项公式为an(1)n，记在数列an的前n2nN项中任取两

数都是正数的概率为Pn，则（）

2

A．PB．P9P10C．PPD．PP

1310111112

n3n3

解析：n为奇数时，前n2项中有个奇数项，即有个正数，

22

C2n3n1

n31

2n3n1n3，，故错误；

P22P1A

n23

Cn2n2n14n2n14n2

n2n2

n为偶数时，前n2项中有个奇数项，即有个正数，

22

2n2n

Cn2121010

22n2nn，，PP，故

2P9,P10910

Pn24441144

Cn2n2n14n2n14n1

147123

B错误；PP，故C正确；PP，故D错误.故选：C.

114132610124131311

例15．通信工程中常用n元数组a1,a2,a3,,an表示信息，其中ai0或

*

1i,nN,1in．设ua1,a2,a3,,an,vb1,b2,b3,,bn,du,v表示u和v中相对应

的元素（ai对应bi，i1,2,,n）不同的个数，则下列结论正确的是（）

A．若u0,0,0,0,0，则存在5个5元数组v，使得du,v1

B．若u1,1,1,1,1，则存在12个5元数组v，使得du,v3

．若n元数组w0,0,,0，则du,wdv,wdu,v

C

n个0

．若n元数组w1,1,,1，则du,wdv,wdu,v

D

n个1

1

解析：选项A：由题意，5个位置选则1个位置安排1即可，满足条件的数组共有C55个，

故A正确；

3

选项B：由题意5个位置选则3个位置安排0即可，满足条件的数组共有C510个，故B

错误；

选项C：设u,v中对应项同时为0的共有m0mn个，同时为1的共有s0snm个，

从而对应项一项为1与另一项为0的共有nms个，这里nms，

从而du,vnms，而du,wdv,w2snmsdu,v2sdu,v，故C正

确，同理D正确．故选：ACD

例16（24届合肥高三第一次质检）．“q数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零

*n1

实数，对任意nN，定义“q数”(n)q1qq利用“q数”可定义“q阶

且*

乘”n!q(1)q(2)q(n)q,0!q1.和“q组合数”，即对任意kN,nN,kn，

nn!q

kqk!qnk!q

5

（1）计算：；

32

nn1kn1

（）证明：对于任意k,n*,k1n，q

2N

kqk1qkq

m

nm1nnkini

（）证明：对于任意k,m,n*,k1n，q.

3NN

k1qk1qi0kq