2026高考数学复习微专题：102.概率统计中决策应用问题的五大类型

102.概率统计中决策应用问题的五大类型

一．基本原理

考点1.数字特征的主要性质：

1.主要分布的期望（方差公式）

如果X~B(n,p)，那么E(X)np,D(X)np(1p)

如果X~N(,2)，那么E(X),D(X)2

2.E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X).

3.数字特征的含义：反映了随机变量取值的平均水平，方差则反映了随机变量取值的离散程

度，方差越小，随机变量取值越集中，反之亦然.

考点2.期望与方程做决策的理论依据

数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附

近的离散程度．

（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量1,2的期望，当E1E2时，

不应认为它们一定一样好，还需要用D1,D2来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏

离程度．

（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．

（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．

4.题干定义的判据

这种问题，题干会给出一个具体的判别式子或者方法，通过运算与论证几何题干给的标准

判断，具体见例子.

二．典例分析

类型1.依托数学期望做决策

类型2.依托方差做决策

类型3.利用概率的最值来做决策

类型4.构造决策目标的随机变量来进行决策

类型5.依托某个具体问题判定

类型1.依托具体问题做决策应用

例1．2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者

的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样

本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a，将该指标小于a的人判定为阳性，大于

或等于a的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(a)；

误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(a)．假设数据在组内均匀分布，用频率估

计概率．

（1）当临界值a20时，求漏诊率p(a)和误诊率q(a)；

（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X为未患病者的人数，求X的

分布列和数学期望；

（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记f(a)为该地诊断结果不符合真实情况的

解析：（1）由频率分布直方图可知p(20)0.0250.1，q(20)0.0150.05．

（2）样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252，未患病者在指标为区间

[20,25]的人数是200.0353，总人数为5人．X可能的取值为0，1，2．

C2C01C1C13C0C23

232323

P(X0)2，P(X1)2，P(X2)2．随机变量X的分布列为

C510C55C510

X012

133

P

10510

1336

随机变量X的期望为E(X)012．

105105

（3）由题，faqa95%pa5%，a[20,25]时，令at20,t0,1,2,3,4,5

tt

qa50.010.03,pa50.020.02

55

tt

所以fagt50.010.0395%50.020.025%，关于t的一次函数系

55

数为50.0319%0.021%0，故gt单调递增，则t0即a20时f(a)取最小值

例2．近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁．多项技术已经“遥遥

领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片

生产商用某国产光刻机生产的Q型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯

片的某项指标的频率分布如图所示：

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的产品应用于A型手机，

小于或等于c的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相

应事件发生的概率．

（1）求Q型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数；

（2）当临界值c65时，求Q型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率；

（3）已知c50,60，现有足够多的Q型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型于机、B型

手机各1万部的生产：

方案一：直接将Q型芯片Ⅰ级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导

致芯片生产商每部手机损失700元；直接将Q型芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大

于临界值c的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300元；

方案二：重新检测Q型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要

101万元；请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．

解析：（1）设Q型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为a，则该指标在80以下的榞率为

0.55，该指标在90以下的概率为0.8，因此该项指标的第70百分位数为a一定在80,90内，

0.002100.005100.023100.025100.025a800.7，得a86，所以Q型芯片

Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为86；

（2）当临界值c65时，Q型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率为0.0170650.05；

（3）设直接将Q型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品应用于A型、B型手机时，该生产商支出为y（万元）

y7000.002100.005c503000.01100.0360c4095.5c

c50,60，所以当50c56时，y101，当c56时，y101，当56c60时，y101，

综上：为降低芯片生产商的成本，当临界值c50,56时，选择方案二；当临界值c56时，

选择方案一和方案二均可；当临界值c56,60时，选择方案一．

类型2.依托期望做决策应用

例3．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，

放入一个金蛋，再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖

人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此箱子

里，抽奖人得到50元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭

三个箱子，等待下一个抽奖人。

(1)求前3位抽奖人抽中金蛋人数X的分布列和方差；

(2)为了增加节目效果，改变游戏规则.当抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打

开一个空箱子.与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择后，

抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉

择呢？

1

解析：（1）由题意知：抽中金蛋人数X服从于二项分布，即XB3,，即X所有可

3

32

能的取值为，28；112124；

0,1,2,3PX0PX1C3

32733279

23

22162；11；

PX2C3PX3

33279327

X的分布列为：

X0123

8421

P

279927

122

中奖人数的方差DX3.

333

22

（2）若改变选择，记获得奖金数为Y，则Y可能的取值为0,400，则PY4001，

33

1

PY01PY400，改变选择时，获得奖金数的数学期望

3

12800

EY0400；若不改变选择，记获得奖金数为Z，则Z可能的取值为50,200，

333

21

则PZ50，PZ200，不改变选择时，获得奖金数的数学期望

33

21

EZ50200100；EYEZ，抽奖人应改变选择.

33

类型3.依托方差做决策

例4.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客

从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾

客所获的奖励额.

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求

（ⅰ）顾客所获的奖励额为60元的概率

（ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;

（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和

50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽

可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一

个合适的设计，并说明理由.

解析：

1

（1）顾客所获得的奖励额为60元的概率为

2

1C21

（）依题意，得的所有可能取值为，，3，

ⅱX2060,P(X60)P(X20)2

2C42

即X的分布列为

X2060

P0.50.5

所以顾客所获得奖励额的期望为E(X)200.5600.540（元）

（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元。所以，先寻找期望为60元的可能

方案，对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为

60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择（50，50，50，10）的方案，

因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，

50，50），记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）

和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2.

以下是对两个方案的分析：

对于方案，即方案（，，，），设顾客所获的奖励额为，则的分布列为

110105050X1X1

X12060100

121

P

636

121

X的期望为E(X)206010060，

11636

1211600

X的方差为D(X)(2060)2(6060)2(10060)2

116363

对于方案，即方案（，，，），设顾客所获的奖励额为，则的分布列为

220204040X2X2

X2406080

121

P

636

121

X的期望为E(X)40608060，

22636

121400

X的方差为D(X)(4060)2(6060)2(8060)2

226363

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应

该选择方案2.

类型4.利用概率的最值来做决策

例5．社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学

科.其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨；将人口行为作为引起社会体系

特征变动的若干因素中的一个因素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子

（仅考虑不超过3个孩子家庭）的概率分布列为：

1230

m

概率mm1pm(1p)2

p

其中m0,0p1，每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为1且相互独立，记表示

2A

事件“一个家庭有i个孩子(i0,1,2,3)”，B表示事件“一个家庭的男孩比女孩多（若一个

家庭只有一个孩子且恰为男孩，则该家庭男孩多）”

1

（1）若p，求P(B)；

2

（2）参数p受到各种因素的影响（如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等），通过改

变参数p的值来调控未来人口结构.若希望P(2)增大，如何调控p的值？

n

∣P(MN)∣

参考公式：P(MN),P(M)PMNkPNk

P(N)k1

m211

解析：（1）由题意得：mm1pm(1p)2mmmm1，

p24

412

解得，又，1，∣21，

mPB|A00PB|A1C1PBA2C2

1522

33

2131，且，由全概率公式，得

PB|A3C3C3BBA0BA1BA2BA3

22

233

31m111

∣C2mC2C3m1p

P(B)PBAiPAi233

i02p222

mm112

m(1p)由p，得PB；

2p4225

m2

（2）由题意得：P2m，考虑m的变化即可，由mm1pm(1p)1，得

p

32

121212p3p1

p3p3，设fpp3p3,0p1，则fp，

mppp2

记gp2p33p21，则gp6p26p6pp10，

故gp在0,1上单调递减，g01，gp0，fp0，fp在0,1上单调

1

递减，因此，增加p的取值，会减小，m会增大，即P2增大.

m

类型5.构造决策随机变量来进行决策

这类问题中，可根据实际需求构造相关的目标随机变量，这样我们可以通过分析目标随机

变量的均值或者方差来进行决策.