山西省临汾市侯马市502中学2026届数学高一下期末监测试题含解析

山西省临汾市侯马市502中学2026届数学高一下期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（）A． B． C． D．2．已知圆经过点，且圆心为，则圆的方程为A． B．C． D．3．中，，则是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝an+1﹣1（n∈N*），则首项a1为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中一定不成立的是（）A．① B．②③ C．①④ D．④6．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A． B．C． D．7．角的终边在直线上，则（）A． B． C． D．8．在区间上随机地取一个数.则的值介于0到之间的概率为（）.A． B． C． D．9．下列说法错误的是（）A．若样本的平均数为5，标准差为1，则样本的平均数为11，标准差为2B．身高和体重具有相关关系C．现有高一学生30名，高二学生40名，高三学生30名，若按分层抽样从中抽取20名学生，则抽取高三学生6名D．两个变量间的线性相关性越强，则相关系数的值越大10．若圆上有且仅有两点到直线的距离等于1，则实数r的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．12．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌粒种子中抽取粒进行检测，现将这粒种子编号如下，，，，若从随机数表第行第列的数开始向右读，则所抽取的第粒种子的编号是．（下表是随机数表第行至第行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795413．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.14．定义运算，如果，并且不等式对任意实数x恒成立，则实数m的范围是______.15．两平行直线与之间的距离为_______．16．设数列满足，，且，用表示不超过的最大整数，如，，则的值用表示为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，与的夹角为.（1）若，求；（2）若与垂直，求.18．如图，四面体中，分别是的中点，，.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．19．设是一个公比为q的等比数列，且，，成等差数列.（1）求q；（2）若数列前4项的和，令（），求数列的前n项和.20．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.（Ⅲ）证明：直线DF平面BEG21．设数列的前项和为，若且求若数列满足，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据条件可得，，，然后进行数量积的运算即可.【详解】根据条件，，，，当时，取最小值.故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的运算，同时考查了二次函数的最值，属于基础题.2、D【解析】

先计算圆半径，然后得到圆方程.【详解】因为圆经过，且圆心为所以圆的半径为，则圆的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了圆方程，先计算半径是解题的关键.3、C【解析】

由平面向量数量积运算可得，即，得解.【详解】解：在中，，则，即，则为钝角，所以为钝角三角形，故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.4、A【解析】

等比数列的公比设为，分别令，结合等比数列的定义和通项公式，解方程可得所求首项.【详解】等比数列的公比设为，由，令，可得，，两式相减可得，即，又所以.故选：A.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5、D【解析】

先判断出函数的单调性，分两种情况讨论：①；②．结合零点存在定理进行判断．【详解】在上单调减，值域为，又．（1）若，由知，③成立；（2）若，此时，①②③成立．综上，一定不成立的是④，故选D．【点睛】本题考查零点存在定理的应用，考查自变量大小的比较，解题时要充分考查函数的单调性，对函数值符号不确定的，要进行分类讨论，结合零点存在定理来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．6、A【解析】

先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】

先由直线的斜率得出，再利用诱导公式将分式化为弦的一次分式齐次式，并在分子分母中同时除以，利用弦化切的思想求出所求代数式的值．【详解】角的终边在直线上，，则，故选C．【点睛】本题考查诱导公式化简求值，考查弦化切思想的应用，弦化切一般适用于以下两个方面：（1）分式为角弦的次分式齐次式，在分子分母中同时除以，可以弦化切；（2）代数式为角的二次整式，先除以，转化为角弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同时除以，可以实现弦化切．8、D【解析】

由，得.由函数的图像知，使的值介于0到之间的落在和之内.于是，所求概率为.故答案为D9、D【解析】

利用平均数和方差的定义，根据线性回归的有关知识和分层抽样原理，即可判断出答案．【详解】对于A：若样本的平均数为5，标准差为1，则样本的平均数2×5+1＝11，标准差为2×1＝2，故正确对于B：身高和体重具有相关关系，故正确对于C：高三学生占总人数的比例为：所以抽取20名学生中高三学生有名，故正确对于D：两个变量间的线性相关性越强，应是相关系数的绝对值越大，故错误故选：D【点睛】本题考查了线性回归的有关知识，以及平均数和方差、分层抽样原理的应用问题，是基础题．10、B【解析】因为圆心(5,1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则4<r<6.选B.点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】

利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值.【详解】在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，解得，故答案为：.【点睛】本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.12、1【解析】试题分析：依据随机数表，抽取的编号依次为785,567,199，1．第四粒编号为1．考点：随机数表．13、【解析】

根据左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1求解即可.【详解】因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1所以，左边的式子为，故答案为.【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.14、【解析】

先由题意得到，根据题意求出的最大值，即可得出结果.【详解】由题意得到，其中，因为，所以，又不等式对任意实数x恒成立，所以.故答案【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.15、【解析】

先根据两直线平行求出，再根据平行直线间的距离公式即可求出．【详解】因为直线的斜率为，所以直线的斜率存在，，即，解得或．当时，，即，故两平行直线的距离为．当时，，，两直线重合，不符合题意，应舍去．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行直线间的距离公式的应用，以及根据两直线平行求参数，属于基础题．16、【解析】

由题设可得知该函数的最小正周期是，令，则由等差数列的定义可知数列是首项为，公差为的等差数列，即，由此可得，将以上个等式两边相加可得，即，所以，故，应填答案．点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的数列递推关系式，先求出数列的通项公式，然后再运用列项相消法求出，最后借助题设中提供的新信息，求出使得问题获解．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）根据向量共线，对向量的夹角分类讨论，利用数量积公式即可完成求解；（2）根据向量垂直得到数量积为，再根据已知条件并借助数量积公式即可计算出的值.【详解】（1）∵，∴与的夹角为或，当时，，当时，，综上所述，；（2）∵，∴，即，∵，∴，∴∵向量的夹角的范围是，∴【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直求解向量的夹角以及向量数量积公式的运用，难度较易.注意共线向量的夹角为或.18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）连接，由等腰三角形三线合一，可得，，再勾股定理可得，进而根据线面垂直的判定定理得到平面；（2）根据等积法可得，结合（1）中结论，可得即为棱锥的高，代入棱锥的体积公式，可得答案．【详解】证明：（1）连接．，，．，为中点，，，为中点，，,在中，，，，，，即．又，，平面平面.（2）等边的面积为,为中点而，.【点睛】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积公式，熟练掌握空间直线与直线垂直、直线与平面垂直之间的转化关系是解答的关键，属于中档题.19、（1），（2）或【解析】

（1）根据，，成等差数列，得到，解得答案.（2）讨论和两种情况，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）因为是一个公比为q的等比数列，所以.因为，，成等差数列，所以即.解得，.（2）①若，又它的前4和，得，解得所以，因为，（），∴，，∴，∴②若，又它的前4和，即，因为，（），所以.【点睛】本题考查了等比数列的计算，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20、（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】

（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH.证明如下因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH于是BCEH为平行四边形所以BE∥CH又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE∥平面ACH同理BG∥平面ACH又BE∩BG＝B所以平面BEG∥平面ACH（Ⅲ）连接FH因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD又DF平面BFDH，所以DF⊥EG同理DF⊥BG又EG∩BG＝G所以DF⊥平面BEG.