湘赣粤名校2026届高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析

湘赣粤名校2026届高一数学第二学期期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆面积为（）A． B． C． D．2．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos2的图象()A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．定义运算:.若不等式的解集是空集，则实数的取值范围是()A． B．C． D．4．如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任一点，则下列关系中不正确的是（）A． B．平面 C． D．5．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件，则的对立事件是（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品6．已知平行四边形对角线与交于点，设，，则（）A． B． C． D．7．若，则函数的最小值是（）A． B． C． D．8．若圆上有且仅有两点到直线的距离等于1，则实数r的取值范围为（）A． B． C． D．9．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-310．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角=（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.12．若各项均为正数的等比数列，，则它的前项和为______.13．已知，则的值为_____________14．数列满足：（且为常数），，当时，则数列的前项的和为________.15．已知角的终边上一点P落在直线上，则______.16．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，，为中点．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的大小．18．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高，所在直线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.19．已知两个不共线的向量a，b满足，，．（1）若，求角θ的值；（2）若与垂直，求的值；（3）当时，存在两个不同的θ使得成立，求正数m的取值范围.20．已知，且，向量，.（1）求函数的解析式，并求当时，的单调递增区间；（2）当时，的最大值为5，求的值；（3）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.21．在中,为上的点,为上的点,且.（1）求的长;（2）若,求的余弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

先化简得，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得的外接圆面积.【详解】由题得，所以，所以，所以,所以.由正弦定理得,所以的外接圆面积为.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】∵，∴要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位．选B．3、B【解析】

根据定义可得的解集是空集，即恒成立，再对分类讨论可得结果.【详解】由题意得的解集是空集，即恒成立.当时，不等式即为，不等式恒成立；当时，若不等式恒成立，则即解得.综上可知:.故选：B【点睛】本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于基础题.4、C【解析】

由平面，得，再由，得到平面，进而得到，即可判断出结果.【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面，即平面，得，A正确；又为圆上异于的任一点，所以，平面，，B，D均正确.故选C.【点睛】本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.5、D【解析】

由对立事件的概念可知，直接写出其对立事件即可.【详解】“至少抽到2件次品”的对立事件为“至多抽到1件次品”，故选D【点睛】本题主要考查对立事件的概念，熟记对立事件的概念即可求解，属于基础题型.6、B【解析】

根据向量减法的三角形法则和数乘运算直接可得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的减法和数乘运算的应用，属于基础题.7、B【解析】

直接用均值不等式求最小值.【详解】当且仅当,即时，取等号.故选：B【点睛】本题考查利用均值不等式求函数最小值,属于基础题.8、B【解析】因为圆心(5,1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则4<r<6.选B.点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．9、D【解析】

因为错将其中一个数据105输入为15,所以此时求出的数比实际的数差是,因此平均数之间的差是.故答案为D10、A【解析】

由正弦定理可解得，利用大边对大角可得范围，从而解得A的值．【详解】，由正弦定理可得：，，由大边对大角可得：，解得：．故选A．【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，可得，．因为为直角三角形，可得，所以，因此，结合几何关系，可求得外接球的半径，，代入公式即可求球的表面积．【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，，，，．因为为直角三角形，因此或（舍）．所以只可能是，此时，因此，所以平面所在小圆的半径即为，又因为，所以外接球的半径，所以球的表面积为．【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．12、【解析】

利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出它的前项和.【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，由，得，且，解得，它的前项和为.故答案：.【点睛】本题考查等比数列的前项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．13、【解析】

利用和差化积公式将两式化简，然后两式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【详解】由得，，，两式相除得，，则．【点睛】本题主要考查和差化积公式以及二倍角公式的应用．14、【解析】

直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和.【详解】数列满足：（且为常数），，当时，则，所以（常数），故，所以数列的前项为首项为，公差为的等差数列.从项开始，由于，所以奇数项为、偶数项为，所以，故答案为：【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.15、【解析】

由于角的终边上一点P落在直线上，可得，根据二倍角公式以及三角函数基本关系，可得，代入，可求得结果.【详解】因为角的终边上一点P落在直线上，所以，.故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，巧用“1”是解决本题的关键.16、相交【解析】

根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，即，，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，，，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）．【解析】

（1）连交于，连，则点为中点，为中点，得，即可证明结论；（1）为正三角形，为中点，可得，再由底面，得底面，得，可证平面，有，为的平面角，解，即可求出结论.【详解】（1）连交于，连，三棱柱，侧面为平行四边形，所以点为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面；（2）为正三角形，为中点，可得，三棱柱，所以，底面，所以底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，为的平面角，在中，，，所以，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查线面平行的证明，用几何法求二面角的平面角，做出二面角的平面角是解题的关键，属于中档题.18、（1）；（2）【解析】

（1）根据边上的高所在直线方程求出的斜率，由点斜式可得的方程，与所在直线方程联立即可得结果；（2）设则，代入中，可求得点坐标，利用两点式可得结果.【详解】（1）由边上的高所在直线方程为得，所以直线AB所在的直线方程为，即联立解得所以顶点的坐标为（4,3）（2）因为在直线上，所以设则，代入中，得所以则直线的方程为，即【点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.19、（1）（2）（3）【解析】

（1）由题得，再写出方程的解即得解；（2）先求出，再利用向量的模的公式求出；（3）等价于在有两解，结合三角函数分析得解.【详解】（1）由题得所以角的集合为.（2）由条件知，，又与垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有两解，结合三角函数图象可得，，即，又因为，所以.即m的范围.【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.20、（1），单调增区间为；（2）或；（3）.【解析】试题分析：（Ⅰ）化简，解不等式求得的范围即得增区间（2）讨论a的正负，确定最大值，求a；（3）化简绝对值不等式，转化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.试题解析：（1）∵∴∴单调增区间为（2）当时，若，，∴若，，∴∴综上，或.（3）在上恒成立，即在上恒成立，∴在上最大值2，最小值，∴∴的取值范围.点睛:本题考查了平面向量的数量积的