湖南省长郡中学2025-2026高二上学期期末考试数学（含答案）

高二数学期末

命题人：肖伟军审题人：师鑫龙

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页。时量120分钟。满分150分。

第I卷

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的)

1.(★)在数列{an}中，an+2=an+1-an,a₁=3,a₂=5,则a₄=

A.—3B.9C.—5D.13

2.抛物线的焦点坐标为

AB

C.(1,0)D.(0,1)

3.过函数的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围为

A.B.

C.D.

4.近二十年以来，中国载人航天飞速发展，特别是从2025年11月5日到25日，短短20天里，中国

航天科学家为国际航天领域应对突发事件树立了成功范例.2025年11月25日神舟二十二号应

急发射成功，神二十二与神二十乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神二十

和神二十二每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不

同的站法有

A.72种B.144种C.180种D.288种

5.(★)已知点Q(6,10,—1),平面α={P|n·PQ=0},其中n=(2,1,2),则点A(-1,0,1)到平面α

的距离是

AB.2CD.3

6.过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x²+y²—6y=0于A,B两点，则弦AB的长为

A.√10B.2√10C.2√2D.4√2

7.(★)已知,则a,b,c的大小关系为

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

高二数学试题(N)第1页(共6页)

8.已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3√3,则该

正四棱锥体积的取值范围是

A.B.

C.D.[18,27]

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知椭圆C:的两个焦点分别为F₁,F₂,P是椭圆C上任意一点，则

A.△PF₁F₂的面积最大值为8B.△PF₁F²的周长为12

C.|PF₁|的最小值为3D.|PF₁|·|PF₂|的最大值为16

10.(★)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左到右的数

字之和记为a,如a₁=1+1=2,a2=1+2+1=4,…,{an}的前n项和记为Sn,则下列说法正确

的是

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

::

第n行

A.在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120

B.S₉=2046

C.在“杨辉三角”中，从第2行开始到第n行，每一行从左到右的第3个数字之和为C³+1

D.的前n项和为

11.已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x²=2py(p>0)上，过点B(0,—1)的直线交抛物线C

于P,Q两点，则

A.抛物线C的焦点到准线的距离为-

B.直线AB与抛物线C有两个交点

C.|OP|·|OQ|>|OA|²

D.|BP|·|BQl>|BA|²

高二数学试题(N)第2页(共6页)

选择题答题卡

题号1234567891011得分

答案

第Ⅱ卷

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.(★)展开式中的常数项为_·

13.当直线ax+2y+2=0与直线x+(a—1)y+1=0平行时，a=

14.双曲线的光学性质为：如图1,从双曲线的右焦点F₂发出的光线经双曲线镜面反射后，反射光线

的反向延长线经过左焦点F¹.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个

光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2,其方程

F₁,F₂分别为双曲线的左、右焦点，若从右焦点F₂发出一对方向相反的光线分别经双曲线上的

点A和点B反射后，满足DA⊥AB,,则,该双曲线的离心率

为

图1图2

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，AD⊥平面PAB,PAl

PB,M为PB的中点.

(1)求证：EM//平面PCD;

(2)若AP=AD,AB=√2AD,求直线EM与平面PCE所成角的正弦值.

高二数学试题(N)第3页(共6页)

16.(本小题满分15分)

设函数,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处取得极值.

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)的极值点.

17.(本小题满分15分)

已知等比数列{an}(n∈N*)为递增数列，且a²=a6,5a₃=2a₂+2a4.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设(n∈N*),数列{b,}的前n项和为Sn,证明：S,<6.

高二数学试题(N)第4页(共6页)

18.(本小题满分17分)

如图，已知椭[,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁,F₂

为顶点的三角形的周长为4(√2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上

异于顶点的任一点，且点P不在椭圆上，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A,B和C,D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF₁,PF₂的斜率分别为k₁,k₂,证明：k₁·k₂=1;

(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在，求λ的值；若不存在，

请说明理由.

高二数学试题(N)第5页(共6页)

19.(本小题满分17分)

圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲

率”来刻画曲线在某处的弯曲程度.设函数f(x)的定义域为D,其导数为f'(x),f'(x)的导数为

f"(x),xo∈D,将称为曲线y=f(x)在xo处的曲率，曲率越大弯曲

程度越大.

(1)求y=e在x=0处的曲率K(O);

(2)用半圆y=√r²-x²(r>0)的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理；

(3)设若存在x₁,x₂(0<x₁<x2),使y=f(x)在x1,x2处的曲

率为0,求证：3a(2x₁+x2)>8.

高二数学试题(N)第6页(共6页)

高二数学期末参考答案

一、二、选择题

题号1234567891011

答案ADBBCDBCBDACDACD

1.A【解析】由an+2=an+1—an,a₁=3,a2=5,可得a₃=a2—a1=2,a₄=as—a2=2—5=-3.故选A.

2.D【解析】由,得x²=4y,焦点坐标为(0,1),故选D.

3.B【解析】设切线的倾斜角为a,则a∈(0,π),因为f'(x)=x²—2x=(x—1)²-1≥-1,所以切线的斜率k=tana≥-1,

则.故选B.

4.B【解析】因为第一排的站法有C₃CA²=18(种),第二排的站法有A³AA=8(种),所以不同的站法有18×8=144(种).故

选B.

5.C【解析】由平面a={P|n·PQ=0},得n=(2,1,2)是平面α的法向量，点Q(6,10,一1)在平面a内，易知所

以点A(-1,0,1)到平面α的距离.故选C.

6.D【解析】过点(0,1)且倾斜角为-的直线l的方程为y-1=√3x,即√3x-y+1=0.

因为圆x²+y²—6y=0,即x²+(y—3)²=9,所以圆心坐标为(0,3),半径r=3,圆心到直线L的距离

所以直线被圆截得的弦长|AB|=2×√3²-1²=4√2.故选D.

7.B【解析】因为,构造函数,则

由,得0<x<e,由,得x>e,所以在区间(e,+∞)上单调递减，

,又9>6>e,所以b>a>c,故选B.

8.C【解析】如图，设该球的球心为O,半径为R,正四棱锥的底面边长为a,高为h,正四棱锥的侧棱与高所成

的角为θ,依题意，得,解得R=3,所以正四棱锥的底面边长a=√2Isinθ,高h=Lcosθ.

在△OPC中，作OE⊥PC,垂足为E,则,所以l=6cosθ,

所以正四棱锥的体积

设sinθ=t,易得

令y=sinθcos²θ=t(1—t²)=t—t³,则y=1-3t²,令y'=0,得

所以当时，y'>0;当时，y'<0,

所以函数y=t—t³上单调递增，在(上单调递减.

又当时;当时，;当时,所

所以该正四棱锥的体积的取值范围是.故选C.

9.BD【解析】由,所以a=4,b=2√3,c=2,令F₁(-2,0),F₂(2,0),

对于A,点P在上、下顶点时，△PF₁F₂的面积最大，最大值为-,A错误；

对于B,△PF₁F₂的周长为2a+2c=12,B正确；

对于C,|PF₁|的最小值为a-c=2,C错误；

对于D,2a=8=|PF₁I+|PF₂I≥2√IPF₁·PF₂T,即|PF₁I·|PF₂|≤16,当且仅当|PF₁I=|PF₂|时等号成立，D正确.

故选BD.

10.ACD【解析】从第1行开始，第n行的数依次对应(a+b)”的二项式系数，

高二数学参考答案(N)-1

对于A,在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是C1o=C³o=120,故A正确；

对于B,aπ=(1+1)”=2",则{an}是首项为2,公比为2的等比数列，所以

则Sg=2¹⁰—2=1022,故B错误；

对于C,根据题意，从第2行开始，每一行从左到右的第3个数字之和为C²+C³+…+C²=C³+C²+…+C²=C+C+…+C

=…=C³+1,故C正确；

所以的前n项和为；,故D正确.故选ACD.

11.ACD【解析】将点A(1,1)的坐标代入x²=2py(p>0),解得,所以抛物线C:x²=y,

对于A,焦点到准线的距离为-,所以A正确；

对于B,由A(1,1),B(0,-1),得直线AB的方程为y=2x—1,联立得(x—1)²=0,得x=1,故直线AB与x²=y相

切，只有一个公共点，所以B错误；

对于C,设直线PQ:y=kx-1,P(x₁,z²),Q(x₂,x2).将PQ:y=kax-1与C:x²=y联立，得a²—kx+1=0,所以△=k²—4>0,xi

十x₂=k,zix₂=1,所以|OP|·10QI=√x²+x·√x²+x2=|x₁x₂l√1+z²·√1+zz=√2+z²+z²>√2+2|zx₁x2T=

2=|OA|²,所以C正确；

对于D,因为|BP|·|BQI=√1+k²|x₁|·√1+k²|x₂l=1+k²>5=|BA|²,所以D正确.故选ACD.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.375【解析】通项

令3r—12=0,解得r=4,故常数项为(一1)⁴C·5²=375.

13.—1【解析】直线ax+2y+2=0与直线x+(a-1)y+1=0平行，则a(a-1)-2=0,解得a=-1或a=2,

当a=2时，两直线重合，所以a=-1.

14.√5-2√3(第1空2分，第2空3分)【解析】由题可知F₁,A,D三点共线，F₁,B,C三点共线，

如图，连接F₁A,F₁B,设|AF₁|=m,则|AF₂I=m-2a,因为,所以tan∠ABF₁=

,又AF₁⊥AB,所以|AB|=2|AF₁|=2m,|BF₁|=√5m,所以|BF₂|=m+2a,|BF₁|=m+4a,

所以m+4a=√5m,得m=(√5+1)a=|AF₁|,则

又|F₁F₂|=2c,且AF₁⊥AF₂,所以4c²=(√5+1)²a²+(√5-1)²a²,化简得c²=3a²,所以双曲线

的离心率

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.【解析】(1)证明：如图，取PC的中点F,连接MF,DF,

则MF//BC//DE,且

所以四边形DEMF是平行四边形，所以DF//EM,………分

因为DFC平面PCD,EM平面PCD,所以EM//平面PCD.………6分

(2)因为AD⊥平面PAB,PA,PBC平面PAB,所以AD⊥PA,AD⊥PB.

以A为原点，以在平面PAB内垂直于AB的直线为x轴，AB,AD所在直线分别为y轴、z轴，建立空一

间直角坐标系Axyz,如图所示，

设AD=2,则AP=2,AB=2√2,因为PA⊥PB,所以∠PAB=45°,

所以P(√2,√2,0),D(0,0,2),B(0,2√2,0),E(0,0,1),C(0,2√2,2),】

所以EC=(0,2√2,1),PC=(一√2,√2,2)

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则即

不妨令y=-1,得z=2√2,x=3,所以n=(3,-1,2√2),………………10分

设直线EM与平面PCE所成的角为θ,

则

高二数学参考答案(N)-2

所以直线EM与平面PCE所成角的正弦值为………………13分

16.【解析】(1)函数的定义域为(0,十∞),导函数

因为y=f(x)在点(2,f(2))处取得极值，

所以f(2)=0,所以2a-10=0,解得a=5,……………4分

当a=5时，

当-时，f(x)>0,当x>2时，f'(x)<0,f(2)=0,

所以2为函数y=f(x)的极值点，满足条件，

所以a=5.………………7分

(2)由(1)可知，f(x)=51n则

当时，f(x)<0,函数y=f(x)在区间上单调递减；

当时，f(x)>0,函数y=f(x)在区间上单调递增；

当x>2时，f'(x)<0,函数y=f(x)在区间(2,+∞)上单调递减，

故f(x)的极大值点为2,极小值点为…………………………15分

17.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),

由题意，解得或…………4分

因为等比数列{a}为递增数列，所以

所以an=2×2”-¹=2”.……………7分

(2)证明：由(1)

则数列{bn}的前n项和

两式相减可得

所以………………………13分

又因为n∈N*,所,所以

18.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知

所以a=2√2,c=2.又a²=b²+c²,所以b=2.

故椭圆的标准方程为…………………2分

由题意设等轴双曲线的标准方程为

因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2,

因此双曲线的标准方程为……………4分

(2)由(1)得F₁(-2,0),F₂(2,0),设A(x₁,y₁),B(x₂,y2),P(xo,yo),

则

因为点P在双曲线x²—y²=4上，所以xỏ—yỏ=4.

,即k₁·k2=1.…………8分

(3)设直线PF₁的方程为y=k₁(x+2),

代入椭圆方程得(2k²+1)x²+8k}x+8k²—8=0,显然2k²+1≠0,△>0.

高二数学参考答案(N)-3

由根与系数的关系得2,…………10分

同理可得

,………………………14分