2026高考数学复习必刷大题16 空间向量与立体几何

必刷大题16空间向量与立体几何

1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1

＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.

（1）证明：B1D⊥平面ABD；

（2）证明：平面EGF∥平面ABD.

证明：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间

直角坐标系，如图所示，

则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），

设BA＝a，则A（a，0，0），

所以＝（a，0，0），＝（0，2，2），＝（0，2，－2），

·��＝0，·＝0�＋�4－4＝0，�1�

即⊥，⊥，又∩＝，

�1�B1�D�BA�B11�D��BDBABDB

因此B1D⊥平面ABD.

（2）由（1）知，E（0，0，3），G（，1，4），F（0，1，4），

�

则＝（，1，1），＝（0，1，1）2，

�

��·＝20＋2－2＝0，��·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.

又∩＝，因此⊥平面

�1�EG��EFEB1�D1���EGF.

结合（1）可知平面EGF∥平面ABD.

2.如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段

AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

1/7

（1）求证：AP⊥BC；

（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

证明：（1）以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以方向为y轴正方向，以

的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；

z����

则O（0，0，0），A（0，－3，0），

B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4），

故＝（0，3，4），＝（－8，0，0），

∴��·＝0×（－8）�＋�3×0＋4×0＝0，

∴��⊥��，即AP⊥BC.

����

（2）∵PO⊥平面ABC，AO⊂平面ABC，∴PO⊥AO，

∵PO＝4，AO＝3，故AP＝5，∵M为AP上一点，且AM＝3，

∴M（0，－，），∴＝（0，，），＝（－4，－，），＝（4，－，）.

61291216121612

设平面BMC5的法5向量为�n�＝（a，b5，c5），��55��55

·，－－＋，

则即1612令b＝1，

·，－＋，

���=04�5�5�=0

1612

则n�＝�（�0=，01，）.4�5�5�=0

4

3·，＋，

设平面AMC的法向量为m＝（x，y，z），则即912令x＝

·，－＋，

���=05�5�=0

1612

5，���=04�5�5�=0

则m＝（5，4，－3）.

由n·m＝0×5＋1×4＋×（－3）＝0，

4

得n⊥m，即平面AMC3⊥平面BMC.

3.如图，在图①的等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝3，边AB，AC上的点E，F满足

��

＝＝，将△AEF沿EF翻折至△PEF处，得到图②中的四棱锥P-EFCB，且二面角P-E�F�-B

��2

的大��小3为60°.

2/7

（1）证明：平面PBC⊥平面EFCB；

（2）求直线BE与平面PFC所成角的正弦值.

解：（1）证明：因为＝＝，所以EF∥BC，

����2

因为等腰直角三角形A�B�C中��，3AB⊥BC，所以EF⊥AB，

在四棱锥P-EFCB中，EF⊥EB，EF⊥EP.

所以∠PEB为二面角P-EF-B的平面角，即∠PEB＝60°.

又PE＝2，BE＝1，所以PB

＝＋－··°＝，

22

满足�P�E2＝�B�E2＋2P�B�2.��cos603

即BE⊥PB，又BE⊥BC，且PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，

所以BE⊥平面PBC.

又BE⊂平面EFCB，所以平面PBC⊥平面EFCB.

（2）由EF⊥EB，EF⊥EP，且EB∩EP＝E，EB，EP⊂平面PBE，

故EF⊥平面PBE，则有EF⊥PB.

又EF∥BC，所以BC⊥PB，即PB，EB，CB两两垂直.以B为坐标原点，，，的方

向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

xyz.������

则有：B（0，0，0），E（0，1，0），C（3，0，0），P（0，0，），F（2，1，0）.

＝（，，）

010.3��

设平面PFC的法向量n＝（x，y，z），＝（3，0，－），＝（1，－1，0）.

·－，

令y＝1，得n＝�（�1，1，）.3��

·＝－，

���=3�3�=0

3｜·｜｜｜

设�所�求�角�的大�=小0为θ，则sinθ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝.

｜｜·｜｜·

���15

155

所以直线BE与平面PFC所成角的正弦�值�为.���

5

4.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆5心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝2，

是的中点，四边形为正方形

MPBOBCH.2

3/7

（1）设平面POH∩平面PBC＝l，证明：l∥BC；

（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求

MN的长.

解：（1）证明：∵四边形OBCH为正方形，∴BC∥OH，

∵BC平面POH，OH⊂平面POH，

∴∥平面

BC⊄POH.

∵BC⊂平面PBC，平面POH∩平面PBC＝l，∴l∥BC.

（2）∵圆锥的母线长为2，AB＝4，∴OB＝2，OP＝2，

以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角

OOHOBOP2xyz

坐标系，则P（0，0，2），B（0，2，0），D（1，0，0），C（2，2，0），M（0，1，1），

设＝λ＝（λ，2λ，0）（0≤λ≤1），＝＋＝（1＋λ，2λ，0），

�＝��－�＝（1＋λ，2λ－1，－1），��＝（��1，0�，�0）为平面PAB的一个法向量，

设与平面所成的角为，

��MN����PAB�

（，－）·（，，）

则sinθ＝＝

1+（�2�）1＋,−（1－1）00

22

1+�2�1+1

，令1＋λ＝t∈[1，2]，

1－+�

2

5�

则sin2θ�+＝3＝＝

－�－1

2

2121

5，�12�+105�+10�

－1＋

1327

∴10当�＝5时5，即λ＝时，sinθ最大，θ亦最大，此时＝，，

13251

�53��33,−1

∴MN＝｜｜＝＋＋）＝.

5212235

��33(−13

5.如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB.以DE为

折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°.

（1）求证：平面BFC⊥平面BCDE；

4/7

（2）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求点C到平面DEF的距离.

15

解：（1）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF5，

∵EB∩EF＝E，∴DE⊥平面BEF，

∵BF⊂平面BEF，∴DE⊥BF，

∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，

∵∠FEB＝60°，

∴BF＝＋－＝，

22

∴EF2＝E�B�2＋B�F�2，∴2F�B�⊥×E�B�，×cos∠���3

∵DE∩BE＝E，∴BF⊥平面BCDE，

∵BF⊂平面BFC，∴平面BFC⊥平面BCDE.

（2）以B为原点，BA所在直线为y轴，在平面ABCD中过B作AB的垂线为x轴，BF所

在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设DE＝a，

则D（a，1，0），E（0，1，0），F（0，0，），

＝－－

（a，1，），3

�∵�直线DF与平面BC3DE所成角的正切值为，

15

∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为5，

6

平面BCDE的法向量n＝（0，0，1），4

｜·｜

∴｜cos＜n，＞｜＝＝＝，解得a＝2，∴D（2，1，0），C（2，－2，

｜｜·｜｜

���36

2

0），�����4+�4

∴＝（2，0，0），＝（－2，－1，），＝（0，－3，0），

设平面的法向量＝（，，），

��EDFm��xyz3��

·，

则取z＝1，得m＝（0，，1），

·＝－－＋，

���=2�=0

｜｜3

∴点到平面的距离＝·＝

�C��2D�EF�3�=d0｜｜.

���33

6.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边�形ABC2D是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平

面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为.

23

3

（1）若E为棱SB的中点，求证：PE∥平面SCD；

5/7

（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？

23

若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.5

解：（1）证明：取SC中点F，连接EF，FD，

∵E，F分别为SB，SC的中点，

∴EF∥BC，EF＝BC，

1

∵底面四边形ABC2D是矩形，P为棱AD的中点，

∴PD∥BC，PD＝BC.

1

∴EF∥PD，EF＝P2D，

故四边形PEFD是平行四边形，∴PE∥FD.

又∵FD⊂平面SCD，PE平面SCD，∴PE∥平面SCD.

⊄

（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，

在等边△SAD中，P为AD的中点，∴SP⊥AD，

又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SP⊂平面SAD，

∴SP⊥平面ABCD，则SP是四棱锥S-ABCD的高.

设AD＝m（m＞0），则SP＝m，S矩形ABCD＝m，

3

2

∴V四棱锥S-ABCD＝S矩形ABCD·SP＝m×m＝，∴m＝2.

11323

以点P为原点，3，的方向3分别2为x，z3轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

����

则P（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），S（0，0，），

故＝（1，0，0），＝（1，1，0），＝（－1，0，