2024-2025学年河南省郑州市二七区八年级（上）期末数学试卷

2024-2025学年河南省郑州市二七区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列各数中，是无理数的是（)

A.3.14B.-2c4D.V3

2.（3分）下列关于“二七塔”位置的描述,相对准确的是（)

A.丹尼斯•大卫城东南方向

B.二七路南段

C.解放路东段

D.二七路与解放路交叉口

3.（3分）△力8c的三边分别为办b,c,下列选项中不能判定△力8。是直角三角形的是（）

2

A.4=32,力=42,c=5B.ZJ+Z5=90°

C.a=6,b=8,c=10D.a=5,b=]2,c=13

4.（3分）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点。在”的延长线上，点C、尸分别为直角顶点,

且N/=6()°,ZE=45°,若AB〃CF,则NC4。的度数是（)

C.25°D.30°

5.（3分）下列四个命题中，是真命题的是()

A.有理数与数轴上的点是一一对应的

B.三角形的一个外角大于任何一个内角

C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

D.平面内点力（1,2）与点〃（-1,-2）关于X轴对称

6.（3分）面积为10的正方形的边长为a,则a的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

7.（3分）在一次考试中，某题（满分10分）的得分情况如下:

得分0246810

百分率5%10%25%30%15%15%

第1页（共27页）

则该题的平均得分（）

A.5.5分B.5.7分C.5.9分D.6.1分

8.（3分）若直线y=h+6经过第一、二、四象限，则函数丁=做-%的大致图象是（）

9.（3分）若关于x,y的二元一次方程组（x+y=3k的解也是二元一次方程2、+3y=6的解，则A•的值为

x-y=7k

（）

A.B.gC._2D.2

2233

10.（3分）在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹

簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示.则以下说法正确的是（）

A.当铁块下降3c加时，此时铁块在水里

B.当5W〃W10时，F（V）与/?（cm）之间的函数表达式为F=&h+20

5

C.当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5G〃

D.当铁块下降高度为6c〃?时，此时弹簧测力计的示数是1L5N

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）命题“如果。=瓦那么a+c=Z>+c”的逆命题为.

12.（3分）如图，直线y=-x+2与x轴交于点儿与），轴交于点&以点力为圆心，48长为半径画弧,

交x轴于点C,则点C的坐标为.

第2页（共27页）

13.（3分）如图，正方体的棱长为2c〃，4是正方体的一个顶点，8是侧面正方形对角线的交点.一只蚂

从点A爬到点B的最短路径是.cm.

14.（3分）如图，某电信公司提供了4,4两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关

系，若通讯费用为62元，则8方案比力方案的通话时间多.分钟.

15.（3分）如图，AB//CD,连接8。，E是线段8。上一动点，AF、CE分别平分N84E,ZDCE,若N

AEC=a,则N4R7的度数用含a的式子表示为

三、解答题（共8小题，共75分）

16.（8分）计算：

⑴V12-V48：

（2）（2V3-1）2+（V2+1）（V2-D-

17.（8分）随着互联网的发展和智能手机的普及，外卖行业得到迅速发展，郑州市豫味餐厅为了解线上外

第3页（共27页）

卖平台客户的需求，提高服务质量，随机抽取400名外卖用户进行问卷调查.调查问卷如下:

豫味餐厅外卖服务满意度调查1.您对本餐厅外卖服务的整体评价为（单选）

A.满意；B.一般；C.不满意；

如果您对本餐厅外卖服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题:

2.您认为本餐厅最需要改进的地方为（）（单选）

A.餐品味道；B.配送速度；C.包装质量；D.售后服务.

该餐厅外卖平台负责人将这400份调杳问卷的结果整理后，制成如下统计图表：

（1）如果将整体评价中满意、一般、不满意分别赋分为5分、3分、1分，则该餐厅此次调查中整体评

价分数的中位数是,平均数是:

（2）在此次调查中，你认为该餐厅需要在配送速度上进行改进的人数有多少？

（3）请你根据此次调查结果，对该餐厅外卖业务提出2条合理的建议.

整体评价条形统计图

人数最需要改进的地方扇形统计图

18.（9分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为I,点力（-4,5）,C（-1,3）,A\（4,5）,B\（2,

1）,△48c与△/旧关于某直线成轴对称.

（1）在网格内画出平面直角坐标系，并画出△出以。；

（2）设/是过点C且平行于X轴的直线，点力关于直线/的对称点，的坐标是:

（3）求△/BC的面积.

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19.（9分）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功.为庆祝这•喜讯，郑州市新湖社区举办了名

为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关又化项目集中亮相.图图和涵涵在市集上买

了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测最风筝的垂直高度.以下是他们测量高度

的过程：

①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米：

③牵线放风筝的手离地面的距离48为1.5米.

已知4、8、C、。点在同一平面内.

（1）求风筝离地面的垂直高度CQ；

（2）在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射

线。。方向再上升9米，8。长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题.

C

20.（10分）2024年10月30日，神舟十九号教人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开

启了中国航天事业的新篇章.二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴

趣社团，计划购进力、4两种航模.据了解购买1件力型航模和2件8型航模需800元；购买2件力

型航模和3件B型航模需13（）0元.

（1）求力、8两种航模每件分别多少元？

（2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采

购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？

第5页（共27页）

21.（10分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装

有筋尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，筋尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计

算时间.某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如卜实验探究:

【实验观察】

实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表：

供水时间X（小时）01234

筋尺读数y（厘米）412202836

【探索发现】

（1）建立平面直角坐标系，如图2,横轴表示供水时间X,纵轴表示筋尺读数门描出以表格中数据为

坐标的各点.

（2）观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可

能是（填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式

（自变量取值范围不写）.

【结论应用】

（3）应用上述发现的规律估算:

①供水时间达到9小时时，带尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午9：00,那当箭尺读数为92厘米时是几点钟？（箭尺最大读数

为100厘米）.

M厘米）

36

32

浮箭漏示意图28

24

20

供水壶

16

12

8

4

OI23456工（小时）

22.（10分）求证：全等三角形对应边上的中线相等.

在证明几何文字命题时，通常会经历：”画示意图一写已知、求证一写证明过程”这三个步骤，请按照

以上步骤完善下面相应内容.

（1）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示:

第6页（共27页）

（2）结合（1）中的示意图，请完善已知、求证：

己知：如图，,线段力。，4。分别是边8C,夕。上的中线.

求证：.

（3）写出证明过程.

23.（11分）【模型呈现】如图1,在△力BC中，Z5JC=90°,AB=AC,直线〃［经过点力，过点8作8。

_L〃?于点。，过点C作CEJ_m于点E,试说明：AABD/MAE.

【模型应用】如图2,一次函数y=2x+2的图象与x轴交于点儿与y轴交于点8,过点,4作线段AC

LAB^AC=AB,直线4。交x轴于点O.

①点4的坐标为;点C的坐标为：

②求直线8c的函数表达式.

【模型迁移】如图3,在平面直角坐标系中，点。是点C关于y轴的对称点，点。是x轴上一个动点,

点P是直线片。上一个动点，若△（7尸。是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点。的坐

标.

第7页（共27页）

2024-2025学年河南省郑州市二七区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DDAADCBBBC

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列各数中，是无理数的是（）

A.3.14B.-2C.1D.V3

2

【分析】根据无限不循环小数是无理数即可判断求解.

【解答】解：A.3.14是有理数，不合题意；

8、-2是整数，是有理数，不合题意：

C、工是分数，是有理数，不合题意；

2

D、百是无理数，符合题意；

故选：D,

【点评】本题考查了无理数，掌握无理数的定义是解题的关健.

2.（3分）下列关于“二七塔”位置的描述，相对准确的是（）

A.丹尼斯•大卫城东南方向

B.二七路南段

C.解放路东段

D.二七路与解放路交叉口

【分析】根据题意和各个选项中的说法，可以写出相对准确的说法，从而可以解答本题.

【解答】解：由题意可得，

关于“二七塔”位置的描述，相对准确的是二七路与解放路交叉口，

故选：D.

【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确如何确定一个位置.

3.（3分）△/18C的三边分别为办b,c,下列选项中不能判定△力8c是直角三角形的是（）

〃

A.4=32,6=42,C=52B.N4+N=90°

第8页（共27页）

C.a=6,b=S,c=10D.a=5,b=12,c=13

【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理判断即可.

【解答】解：A.V(32)2+(42)2工(52)2,

・••三边分别为a,b,c的△力8c不是直角三角形，符合题意；

B、VZJ+Z5=90°,N4+N〃+NC=180°,

AZC=90°,

・•・△NBC是直角三角形，不符合题意；

C、Va2+/?2=62+82=100,c2=102=l00,

：,a2+b2=c2,

三边分别为〃，b,。的是直角三角形，不符合题意；

D、Va2+Z>2=52+122=169,c:=132=169,

a2+b2=c2,

・••三边分别为4,乩C的△4与。是直角三角形，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长4,b,C满足。2+乂=02,那么这个三

角形就是直角三角形.

4.(3分)如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、尸分别为直角顶点,

且N4=6O°,Z£=45°,^AB//CF,则NC8。的度数是()

E

K\BA

FDC

A.15°B.20°C.25°D.30°

【分析】由48〃。凡利用“两直线平行，内错角相等”可求出N8CO=30°,再利用三角形的外角性

质，即可求出NC8Z)的度数.

【解答】解：•：AB〃CF,

:,NBCD=NABC=30°.

•・•ZBDF是△AC。的外角，

；・/CBD=NEDF-NBCD=45°-30°=15°.

故选：A.

第9页(共27页)

【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的

两个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关健.

5.（3分）下列四个命题中，是真命题的是（）

A.有理数与数轴上的点是一一对应的

B.三角形的一个外角大于任何一个内角

C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

D.平面内点/（-1,2）与点8（-1,-2）关于x轴对称

【分析】根据三角形外角性质，对称的性质，平行线的性质，实数判断即可.

【解答】解：A.实数与数轴上的点是一一对应的，是假命题；

B.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，原俞题是假命题；

C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题；

D.平面内点/（-I,2）与点8（-1,-2）关于x轴对称，是真命题；

故选：

【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外角性质，对称的性质，平行线的性质，

实数等相关知识，难度不大.

6.（3分）面积为10的正方形的边长为a,则a的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【分析】先根据题意表示出〃的值，再利用夹逼法估算即可.

【解答】解：•・•面积为10的E方形的边长为。，

：•02=10,

,a=V10，

VV9<V10<A/16,

.\3<V10<4,

・・・。的值在3和4之间，

故选：C.

【点评】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法.

7.（3分）在一次考试中，某题（满分10分）的得分情况如下:

得分0246810

百分率5%10%25%30%15%15%

第10页（共27页）

则该题的平均得分（）

A.5.5分B.5.7分C.5.9分D.6.1分

【分析】根据加权平均数的算法即可求解.

【解答】解：由题意得：

0X5%+2X10%+4X25%+6X3O%+8X15%+10X15%=5.7（分），

答：该题的平均得分为5.7分.

故选：B.

【点评】本题考查了加权平均数这一概念.关键掌握加权平均数的算法.

8.（3分）若直线y=h+b经过第一、二、四象限，则函数歹=云-左的大致图象是（）

【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到人和。的正负，然后根据一次

函数的性质，即可得到一次函数夕=云-上图象经过哪几个象限，从而可以解答本题.

【解答】解：•・•一次函数y=h+b的图象经过第一、二、四象限，

：.k<0,b>0,

・・・b>0,-k>0,

，一次函数图象经过第一、二、三象限，

故选：B.

【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确邈意，利用一次函数的性质解答.

9.（3分）若关于x,y的二元一次方程组1'+丫=3上的解也是二元一次方程2什3y=6的解，则上的值为

x-y=7k

（）

A.B.gC._2D.2

2233

【分析】先解方程组，用含斤的代数式表示小y,再把小）的值代入二元一次方程中，求出

【解答】解：卜+内吧

（xy=7k②

第11页（共27页）

①+②，得2x=l0匕

，x=5左.

①-②，得2y=-4匕

：,y=-2k.

•・•二元一次方程组卜+尸我的解也是二元一次方程2x+3尸6的解,

x-y=7k

A2X5A+3X(-2k)=6.

即4k=6,

・,/=S.

2

故选：B.

【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，题目难度不大，掌握解二元一次方程组的方

法是解决本题的关键.

10.(3分)在测浮力的实验中，洛一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹

簧测力计的示数"(N)与铁块下降的高度力(C/H)之间的关系如图所示.则以下说法正确的是()

A.当铁块下降3cm时，此时铁块在水里

B.当5WAW10时，F(.V)与hCem)之间的函数表达式为F=&h+20

5

C.当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5°〃

D.当铁块下降高度为6a〃时，此时弹簧测力计的示数是11.5N

【分析1根据函数图象待定系数法求得线段48的解析式，进而逐项分析判断即可求解.

【解答】解：力、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项力错误;

B、当5WxWl()时，设4?所在直线的函数表达式为：F=kh+b(k于()),

则(5k+b=12,

ll0k+b=4

fk=-S

解得5,

b=20

第12页(共27页)

:,F=-%+20,故选项B错误；

5

。、当/=8/丫时，-%+20=8,

5

解得分=7.5,

J16-7.5=8.5Cem）,

・••当弹簧测力计的示数为8N时，铁块底面距离水底8.5c”?，故C正确：

D、当石块下降的高度为6。〃?时，即〃=6时，

F=-^-X6+20=10.4（N）,

5

・•・当铁块下降高度为6c小时，此时弹簧测力计的示数是10.4M故。错误.

故选：C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象和一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）命题“如果那么a+c=Z?+c”的逆命题为如果a+c=/H~c,那么a=Z?.

【分析】将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题.

【解答】解：逆命题为：如果a+c=b+c,那么。=6.

故答案为：如果a+c=b+c,那么。=6.

【点评】本题考查根据原命题写逆命题，熟练掌握逆命题与原命题的关系是解题的关键.

12.（3分）如图，直线y=-x+2与x轴交于点4与y轴交于点A.以点力为圆心，力“长为半径画弧，

交x轴于点C,则点C的坐标为（2-2后，0）.

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点48的坐标，利用勾股定理求出48的长度，再

结合点A的坐标即可找出点C的坐标.

【解答】解：当x=0时，y=-x+2=2,

，点8的坐标为（0,2）,08=2；

当歹=0时，-x+2=0,

解得x=2,

第13页（共27页）

・••点4的坐标为（2,0）,OA=2.

AABW0A2-K）B2=2V2-

・••点。的坐标为（2-2点，0）.

故答案为：（2・2点，0）.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征求

出点片,£的坐标是解题的关键.

13.（3分）如图，正方体的棱长为左用，力是正方体的一个顶点，8是侧面正方形对角线的交点.一只蚂

蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是cm.

【分析】将正方体的右侧面与前面展开，构成一个长方形，川勾股定理即可求出最短路径.

【解答】解：如图，将正方体的右侧面与前面展开，构成一个长方形，过8作8C_L4C于C,

由题意得：AC=2+\=3（cm）,BC=2-r2=1（cw）,

由勾股定理，得hC2用。吗也2+12=^^，

故答案为：Vlo.

【点评】本题考查平面展开-最短路径问题，解答中涉及勾段定理，二次根式的化简，解题的关键是将

平面展开，构造一个直角三角形.

14.（3分）如图，某电信公司提供了48两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关

系,若通讯费用为62元，则B方案比力方案的通话时间多分钟.

第14页（共27页）

【分析】求出通讯费用为62元时，两种方案的通话时间，即可得到答案.

【解答】解：当x2120时，设力方案的移动通讯费用y（元）与通话时间元）之间的关系为），=履+6,

把（120,30）,（170,50）代入得：（120k+b=30,

ll70k+b=50

解得（k=0.4,

lb=-18

：.y=0Ax-18,

令,y=62得62=0.4.L18,

解得x=200,

・•・通讯费用为62元，A方案通话时间是200分钟；

当x2200时，设8方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系为），=〃状+〃，

把（200,50）,（250,70）代入得：（200Mn=50,

[250m+n=70

解得（m=0.4,

ln=-30

，y=0.4x・30,

令y=62得62=0.4x・30,

解得x=230,

・•・通讯费用为62元，B方案通话时间是230分钟；

:・B方案比力方案的通话时间多3（）分钟；

故答案为：30.

【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用.

15.（3分）如图，AB//CD,连接8。，E是线段8。上一动点，AF、分别平分/历IE,ZDCE,若/

AEC=a,则N/R7的度数用含a的式子表示为_4_.

第15页（共27页）

A

B

DF

【分析】通过作辅助线，得到NB4E+NECD=N4EC=a,同理可得N氏//+NO3=NUC,结合角

平分线，得到结果.

【解答】解：过E点作EM〃,46,过广点作广N〃/16,

A

VAB//CD,

：.AB//CD//EM//FN,

AZBAE=ZAEM,4ECD=/MEC,

NAEC=a,

/.NBAE+NECD=ZAEC=a.

同理，NBAF=NAFN,4DCF=NCFN,

JNBAF+/DCF=NAFC,

'：AF.CT分别平分N8/E,tDCE,

；・NB4F=L/BAE,NDCF=LNECD,

22

••・NB/iF+NDCF=L(NB4E+NECD),

2

JZAFC=^a.

2

故答案为：Lx.

2

【点评】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

三、解答题(共8小题，共75分)

16.(8分)计算:

⑴氏+3祗-康；

(2)(2V3-1)2+(V2+1)(V2-D-

【分析】(I)根据二次根式的加减法法则可以解答本题；

第16页(共27页)

（2）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题.

【解答】解:(1)

A/12+3需-V48

=2A/3W3-473

=-V3：

（2）（2V3-1）2+（V2+1）（V2-1）

=12-4A/3+1+2-1

=14-4百.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的计算法则.

17.（8分）随着互联网的发展和智能手机的普及，外卖行业得到迅速发展，郑州市豫味餐厅为了解线上外

卖平台客户的需求，提高服务质量，随机抽取400名外卖用户进行问卷调杳.调查问卷如下：

豫味餐厅外卖服务满意度调查1.您对本餐厅外卖服务的整体评价为（单选）

A.满意；B.一般；C.不满意；

如果您对本餐厅外卖服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题：

2.您认为本餐厅最需要改进的地方为（）（单选）

A.餐品味道：B.配送速度：C.包装质量；D.售后服务.

该餐厅外卖平台负责人将这400份调查问卷的结果整理后，制成如卜统计图表：

（I）如果将整体评价中满意、一般、不满意分别赋分为5分、3分、1分，则该餐厅此次调查中整体评

价分数的中位数是5分,平均数是4.63分；

（2）在此次调查中，你认为该餐厅需要在配送速度上进行改进的人数有多少？

（3）请你根据此次调查结果，对该餐厅外卖业务提出2条合理的建议.

整体评价条形统计图

【分析】（1）根据加权平均数解答即可;

第17页（共27页）

（2）用样本中不满意所占百分百乘总人数即可；

（3）根据统计图的数据解答即可.

【解答】解♦：（1）中位数为5分，

此次调查中关于整体评价的平均数为（340X5+46X3+14X1）・40（）=4.63（分），

故答案为：5分、4.63分；

（2）回答第2个问题的人数为46+14=60（人），

选择出60X15%=9（人），

选择C60X丝耳一=21（人），

360

选择。：60X5%=3（人），

选择8：60-9-21-3=27（人）；

（3）①该餐厅需要在配送方面进行优化，提高配送速度：

②该餐厅需要对包装形式进行优化升级，提高包装质量（答案不唯一）.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂条形统计图和利用统计图获取信息是解题

的关键.

18.（9分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,点/（-4,5）,C（-1,3）,Ai（4,5）,B\（2,

1）,4ABC与AAiBiCi关于某直线成轴对称.

（1）在网格内画出平面直角坐标系，并画出△小EiG；

（2）设/是过点。且平行于工轴的直线，点彳关于直线/的对称点才的坐标是一（・4,1）:

【分析】（1）根据点4C的坐标建立平面直角坐标系即可.由题意知。与△48cl关于y轴对称,

根据轴对称的性质画图即可.

第18页（共27页）

（2）结合轴对称的性质可得答案.

（3）利用割补法求三角形的面积即可.

【解答】解：（1）画出平面直角坐标系如图所示,

可知△HBC与△小阴。关于y轴对称.

故答案为：（-4,1）.

（3）△力3C的面积为工又（2+4）X31X1X2-—X2X4=9-1-4=4.

222

【点评】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.

19.（9分）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功.为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名

为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关叉化项目集中亮相.图图和涵涵在市集上买

了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度.以下是他们测量高度

的过程：

①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米：

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米：

③牵线放风筝的手离地面的距离Z8为1.5米.

已知力、8、C、。点在同一平面内.

（1）求风筝离地面的垂直高度CQ；

（2）在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射

线。C方向再上升9米，8。长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题.

第19页（共27页）

c

---------°D

【分析】（1）过点4作4£_LCO于点£,在RtZ\4EC中，根据勾股定理即可求解；

（2）假设能上升9旭，作图RtA4E凡根据勾股定理可得力尸=15⑶再根据题意，10+7.517.5<17

即可求解.

【解答】解：（1）如图1所示，过点力作力EJ_CO于点E,

则力£=8。=8米，AB=CD=\.5ZAEC=90°,

=22=6

-C^7AC-AE（米），

ACD=CE+CD=6+1.5=7.5（米）；

（2）能成功，理由如下：

假设能上升9m,如图所示，延长。。至点尸，连接4",

：.EF,=CE+CF=6+9=\5（米）.

22

AF=VAE+EF=17（米

•・7C=10米,余线仅剩7.5米,

/.10+7.5=17.5>17,

第20页（共27页）

・•・能上升9M即能成功.

【点评】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题.

20,（10分）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开

启了中国航天事业的新篇章.二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴

趣社团，计划购进44两种航模.据了解购买1件力型航模和2件〃型航模需800元；购买2件力

型航模和3件8型航模需130D元.

（I）求4、8两种航模每件分别多少元？

（2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采

购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？

【分析】（1）设每件力型航模x元，每件4型航模y元，根据“购买1件力型航模和2件Z?型航模需

8（）0元；购买2件力型航模和3件5型航模需130（）元“，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即

可得出结论；

（2）设购买机件4型航模，〃件8型航模，利用总价=单价X数量，可列出关于加，〃的二元一次方

程，结合小，〃均为正整数，即可得出各购买方案.

【解答】解：（1）设每件4型航模x元，每件8型航模y元，

根据题意得：卜+2y=80°,

（2x+3y=1300

解得：0=200

ly=300

答：每件Z型航模200元，每件8型航模300元；

（2）设购买加件4型航模，〃件8型航模，

根据题意得：200X0.9w+300X0.9〃=990,

..._ll-3n

••Hl

2

又•・•/»,〃均为正整数,

，张老师共有2种购买方案，

方案1：购买4件力型航模，I件8型航模；

方案2：购买1件力型航模，3件〃型航模.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一

次方程组（或二元一次方程）是解题的关键.

第21页（共27页）

21.（10分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装

有筋尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计

算时间.某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如卜.实验探究：

【实验观察】

实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表：

供水时间X（小时）01234

筋尺读数y（厘米）412202836

【探索发现】

（1）建立平面直角坐标系，如图2,横轴表示供水时间X,纵轴表示筋尺读数门描出以表格中数据为

坐标的各点.

（2）观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可

能是一次函数（填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式

（自变量取值范围不写）.

【结论应用】

（3）应用上述发现的规律估算:

①供水时间达到9小时时，带尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午9：00,那当箭尺读数为92厘米时是几点钟？（箭尺最大读数

为100厘米）.

厘米）

36一・厂一广丁

32'''

浮箭漏示意图28

24

20

16

12

8

4

o\I23456r（小时）

图2

（2）根据图象特征判断对应的函数类型，并用待定系数法求其函数表达式即可；

（3）①将x=9代入y关于x的函数表达式，求出对应y的值即可；

②将x=92代入y关于x的函数表达式，求出对应x的值，再根据本次实验记录的开始时间计算当箭

第22页（共27页）

尺读数为92厘米时是几点钟即可.

【解答】解：（1）描点如图所示：

y（厘米）

36-

32-

28-

24-

20--

16--

12-

8-

4.--

1234561（小时）

图2

（2）・・•这些点基本上分布在同一条直线上,

・•・这个函数的类型最有可能是•次函数.

设该一次函数的表达式为y=h+hIk、匕为常数，且左尹0）,

将坐标（0,4）和（1,12）分别代入

得上,

lk+b=12

解得卜=8,

Ib=4

・•・该一次函数的表达式为y=8x+4.

故答案为：一次函数.

（3）①当x=9时，y=8X9-4=76.

答：供水时间达到9小时时，箭尺的读数为76厘米.

②当y=92时，得8/4=92,

解得x=11♦

答：当箭尺读数为92厘米时是下午8：00.

【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征和待定系数法求一次函数的表达式是解题

的关健.

22.（10分）求证：全等三角形对应边上的中线相等.

在证明几何文字命题时，通常会经历：”画示意图一写已知、求证一写证明过程”这三个步躲，请按照

以上步骤完善下面相应内容.

（1）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示：

<2）结合（1）中的示意图，清完善已知、求证：

第23页（共27页）

己知：如图，△-8cg△4'B'C,线段4。，40分别是边8C,9。上的中线.

求证：AD=A'».

（3）写出证明过程.

【分析】(2)由条件和图形即可得到答案；

(3)由S/S即可判定△48。刍△/'B'D'(S力S),推出4。=/'D'.

【解答】解：(2)已知：如图，△48cg△/'B'C,线段力。，4。分别是边8C,9。上的中线.

求证：AD=A'D'.

故答案为：△HBSAA'B'C1,AD=A'D'：

(3)证明：•・•△/力CgZX/T8'C,

：.AB=A'B',BC=B'C',/B=NB',

9：AD,4。分别是边BC,9C上的中线，

:,BD=%C,B'D'=L'C'