2024年高考数学试卷（新课标Ⅱ卷）解析卷

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标n卷）

数学

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3,填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

L|

1.已知Z=-1-1,则口=（）

A.OB.1C.J2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若则目=』_1）2+（一1）2=近

故选：C.

2.已知命题p：|x+l|>1；命题依$x>0,x3=x，则（）

A.p和q都是真命题B.0P和q都是真命题

C.p和0q都是真命题D.0P和0g都是真命题

【答案】B

【解析】

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=・l、x=1,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.

【详解】对于。而言，取工=-1,则有x+=0<1,故〃是假命题，0P是真命题，

对于g而言，取x=l,则有/=[3=]=-故q是真命题，0g是假命题,

综上，0P和q都是真命题.

故选：B.

3.已知向量/一满足=1,4+司=2,且（6Q）JL尻则耳=（）

A.；B.—C.—D.I

?2

【答案】B

【解析】

【分析】由他一24Jj得r=27九结合|。卜1，,+2可=2：得I+4/+4片=1+6/=4，由此即

可得解.

【详解】因为（人■加）~L力，所以（力.%）为二0，即方二加工，

又因为a=1,6/+2^|=2.

所以1+4〃,b+4i=1+=4,

从而w=等.

故选：B.

4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并

部分整理下表

亩产[900,[950,[1000,[1100,[1150,

量950)1000)1050)1150)1200)

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.10（）块稻田亩产量的平均值介于9（）0kg至1000kg之间

【答案】C

【解析】

【分析】计算出前三段频数即可判断A：计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B：根据极差计

算方法即可判断C；根据平均值L算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

100-34

所以低于1100kg的稻田占比为--------=66%;故B错误；

100

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200・900=300,最小为1150・950=200,故C正确；

对于D,由频数分布表可得，亩产量在［1050,1100)的频数为100-(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值为需x(6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175)=1067：故D错

误.

故迷；C.

5.已知曲线c£+/=16(y>0),从。上任意一点P向x轴作垂线段尸Rt,PC为垂足，则线段PRT

的中点M的轨迹方程为()

A.—+2L1(y>0)

=B(y>0

164168

22

C.^+―=1(歹>0)

D+—=1(y>0

16416R

【答案】A

【解析】

【分析】设点由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y),代入圆的方程即可求解.

【详解】设点M(xj),则P(x,y°),网(x,0),

因为M为PP(t的中点，所以此=2y,即P(x,2y),

又P在圆/+炉=16(y>0)上，

22

所以f+4y2=16(y>0),即誉+?=l(y>0),

77

即点"的轨迹方程为工+匕=l(y>0).

164

故选：A

6.设函明(x)=a(x+T，^(x)=cosx+2ax,当xW(T,1)时，曲线y=大丫)与y=虱x)恰有一个

交点，则。=()

A.-IB.-C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令"(x)=ax2+a-1,G(x)=cosx,分析亘"知曲线歹=F(x)与y=G(x)恰有一个交

点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得〃=2,并代入检验即可；解法二：令

"(x)=/(v)-g(A-),xG(-1,1),可知。(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知〃(X)的零点只能为

0,即可得a=2,并代入检验即可.

【详解】解法一：令人打二g(x)，即a(x+1):-1=cosx+2ax,可得ax1+a-\=cosx,

令产(x)=ax2+a-1,G(x)=cosx,

原题意等价于当x£(-l,1)时，曲线y=F(x)与)，=G(x)恰有一个交点，

注意到尸(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得M0)=G(0),即4・1=1,解得4=2,

若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2+1-cosx=0

因为x£(-1,1),则2?20,1-cosx20,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2%2+l・cosxN0,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2J2+1-COSX=0有且仅有一个实根0,即曲线歹二小㈤与y二G(x)恰有一个交点，

所以。:2符合题意；

综上所述：4=2.

解法二：令〃(X)=/X)-g(A)=ax2+a-1-cosx,xG(-1』)，

原题意等价于〃(工)有且仅有一个零点，

因为〃(-x)=a(-X)'+a-1-cos(-x)=ax2+a-\-co>x=h(x),

则/G)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知的零点只能为o,

即/i(0)=a-2=0,解得a=2,

若4=2,则〃(x)=Zv2+1-cosx,xG(-1,1),

又因为2?>0,1-cosxN0当且仅当x=0时，等号成立，

可得，G)NO,当且仅当x=0时，等号成立，

即力(。有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意；

故迷：D.

52

7.已知止三棱台48045G的体积为彳，AB=6,A]Bl=2,则4力与平面。明成角的止切值为

()

A.yB.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高人=9虫，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求

得4M二拽，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台卅G补成正三棱锥

P-ABC,//与平面力8c所成角即为04与平面48C所成角，根据比例关系可得%做=18,进而可

求正三棱锥P-48C的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取4C,与G的中点,则40=36,4。=6,

可知5“长=：x6x6x*=96,S.48£=：x2xVJ="

设正三棱台/8C・4出£的为人

则匕scY禺q=；(9百+G+J9&G卜号,解得力二半,

如图，分别过4,。作底面垂线，垂足为M,N,设力M=x,

则AA}=/力”+力也?二卜十个,DN=AD・AM・MN=2e・X、

可得DD、=qDN?+D\N?=

结合等腰梯形8℃向可得BB：=f—1+DD；.

即12+与=Q0r『+$+4解得人=华，

所以4,与平面如大?所成角的正切值为tan曰44。=整=1；

AM

解法二：将正三棱台43C・481G补成正三棱锥P-/18C,

则出力与平面48C所成角即为P4与平面48c所成角,

因为£1=坐1=1,则上业

PAAR3'VP_ARC27

iZ26IZ52

可知,ABC-AKi=^"p-ABC=,则Vp~ABC=18,

设正三棱锥尸-45C的高为d，则匕,/M=l"xLx6x6xY；=18：解得d=26,

P-ABC，)9

取底面力8c的中心为。，则。。八底面且40=2丁3,

P0

所以尸4与平面48c所成角的正切值tan/夕/。==1.

AO

故选：B.

8.设函数/)=a+a)ln(x+b),若危)NO,则标+〃的最小值为()

11

A.-B.一D.1

4

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由题意可知：/(X)的定义域为(-8，+8)，分类讨论-。与的大小关系，结合符

号分析判断，即可得6=。+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+3的符号，进而

可得x+a的符号，即可得6=。+1,代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：幺幻的定义域为(-6,+00),

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)-0解得x=1-Z)；

若-a<-h,当x£(-6,1-b｝时，可知x+>O,ln(x+h)<0,

此时/Xx)<0,不合题意；

若-6<-a<1-6,当x£(-a,l-1b)时，可知x+a>O,ln(x+方)<0,

此时/Xx)<0,不合题意；

若-a=\-b,当x£-b)时，可知x+a<0,ln(x+h)<0,此时J(x)>0；

迎g[l-6,+°°)时，可如+a>0,ln(x+b)>0,此时/(x)>0；

可知若-a=\-b,符合题意；

若・a>l・b,当x£(14・a)时，可知x+“0,ln(x+b))0,

此时/(x)<0,不合题意；

综上所述：-a=T-b,即力二。+1,

则/+尸=/+(〃+]『=2(Q+_[]+1>1:当且仅当口=一4/二)时，等号成立，

V7[2)2222

所以a?+b2的最小值为:；

解法二：由题意可知：的定义域为(-A+8),

令/+a=0解得x=-a；令ln(x+h)-0解得x=1-Z?；

则当工£(也1功)时，仙6+力)<0,故X+QWO,所以l-b+oWO；

x£(1-力,+8)时，ln(x+/?)>0,故x+aN0,所以1-/?+〃20；

故l-b+a=0,则/+〃=/+(〃+=2(〃+」+->-：

当且仅当4=-1/二」时，等号成立，

77

所以邪+6的最小值为!

7•

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+o=0、lna+/，)=O的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨

论，结合符号性分析判断.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.对于函数/**)=sin2x和g(x)=sin(2x-=).下列正确的有()

4

A.#x)与g(x)有相同零点B.〃x)与g(x)有相同最大值

C.M与g(x)有相同的最小正周期D.J[x)与g(x)的图像有相同的对称轴

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

Ljr

【详解】A选项，47(X)=sin2.v=0,解得x=丝,AeZ,即为零点，

?

7Tkn7T

令g(x)=sin(2x--)=0,解得x=—+-,4£Z,即为g(x)零点，

42X

显然/(x),g(x)零点不同,A选项错误；

B选项,显然儿¥)必=g(x)max=1,B选项正确；

C选项，根据周期公式，ZW,g(x)的周期均为@=兀，C选项正确；

2

D选项，根据正弦函数的性质.心)的对称轴满足2X=E+3OX=^+：,A£Z：

7TTTKTT47r

g。)的对称轴满足2/-%依+=m+

显然/(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故迷：BC

10.抛物线C："=4x的准线为/,。为。上的动点，过。作。/+(y-4)2=1的一条切线，。为切点,

过。作/的垂线，垂足为从则()

A.l^eA相切

B.当P,A,4三点共线时，|P0|二昭

C.当|尸6|=2时，PAA.AB

D.满足|PA\=\PB|的点尸有且仅有2个

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，抛物线准线为工=-1,根据圆心到准线的距离来判断：B选项，P,43三点共线时，先

求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据|P8|=2先算出P的坐标，然后验证心/48=T是否成立；

D选项，根据抛物线的定义，=\PF\,于是问题转化成=际|的尸点的存在性问题，此时考察/尸

的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设尸点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线产二4x的准线为尸-1,

eA的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和e4相切，A选项正确；

B选项，P,43三点共线时，即尸/_|_/,则尸的纵坐标处二4,

由第=4巧,,得到.=4,故尸(4,4),

此时切线长|尸@二小尸川2一〉二J42二］2二后,E选项正确；

C选项，当"目=2时，xP=此时耳=4巧，=4,故0(1,2)或P(l,2),

4-24-2

当尸(1,2)时，J(0,4),Z?(-l,2),^=-=-2,kAB=——=2

0—1U-(-l)

不满足生此3二T；

当户(1,・2)时，/(0,4),8(—1,2),^=^^=-64-(-2)

-=6,

0—10-(-1)

不满足心=-1：

于是产力_1_48不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，卜目二卜同，这里项,0),

于是p/1|二时尸点的存在性问题转化成同I=\PF\时尸点的存在性问题,

（\>I1

J(0,4),F(1,0),4口中点八，2,%“中垂线的斜率为一厂=7,

12）kAF4

2A-+15

于是力厂的中垂线方程为：y=—--,与抛物线y二4工联立可得y2・16y+30=0,

△=162-4X30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,

即存在两个P点，使得=\PF,D选项正确.

方法二：（设点直接求解）

、

设P—，由尸B_L/可得又4（0,4）,又回二卜用，

、4）

根据两点间的距离公式，］匚+（1-4）2=匕+1整理得尸・16/+30=0,

V164

△=162-4X30=136>0,则关于f的方程有两个解,

即存在两个这样的尸点,D选项正确.

故选:ABD

11.设函=2V・3依2+1,则（）

A.当4>1时，山）有三个零点

B.当。<0时，x=0是如）的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=J{x）的对称轴

D.存在a,使得点（1,/。））为曲线y二小）的对称中心

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=〃，根据零点存在定理和极值的符号判断出.小）在

（-1,0）,（（）,4,（d2〃）上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存

在这样的使得x=b为如)的对称轴，则/(x)=/(28・x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存

在这样的。，使得(1,3・3。)为加)的对称中心，则/(、)+/(2-x)=6-6tz,据此进行计算判断，亦可利

用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，/'(X)=6x2-6ax=6x(x-a),由于。>1,

板£(-8,0)乳凡+8)时再(外>0,故.Ax)在(-8,0),(凡+9)上单调递增，

xG(0,。)时，.再(x)<0,单调递减，

则危)在x=0处取到极大值，在不=a处取到极小值，

山40)=1>0,f[a}=I-a3<0,则火0)/(。)<0,

根据零点存在定理上)在(0,。)上有一个零点，

X/(-l)=-1-3«<0,f(2a)=4«3+1>0,则/(7)/(0)<0,大。式2。)<0,

则危)在(-1,0),3,2a)上各有一个零点，于是。>1时，段)有三个零点，A选项正确；

B选项，*(x)=6x(x-a),a<0时，x£(a,0)j4(x)<0,小)单调递减，

Xe(O,+OO)时再a)>0,危)单调递增，

此时9)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项,假设存在这样的。，这使得x=b为小)的对称轴，

即存在这样的凡6使得/5)=f(2b-x),

即2/・3。/+1=2(2b-x)y-3a(2b-x)2+1,

根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有X，的项为2c(2b)°(・x)3=-2x3,

于是等式左右两边一的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的db,使得x=b为Ax)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

Al)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3a)为上)的对称中心，

则(丫)+12-x)=6-6a,事实上，

X-r)+大2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6。二(12-6a*+(12tz-24)x+I8-12a

12-6a=0

即12"24=0,解得〃=2,即存在4=2使得是/㈤的对称中心，D选项正确.

18-12。=6-6〃

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

322

j[x)=2X-3ax+1,_再(幻=6x-6ax,,/4(t(x)=\2x-6af

由/'(x)=0ox=T：于是该三次函数的对称中心为aa

—J-

由题意也是对称中心，故£=10〃=2,

即存在a=2使得(1，/⑴)是Ax)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：(1)/⑸的对称轴为x=60/(x)=八2力-x)；(2)小)关于(*/))对称

0f(x)+j｛2a-x)=2b\(3)任何三次函数/(x)=ax2+bx1+ex+d都有对称中心，对称中心是三次

徵(bJbX

函数的拐点，对称中心的横坐标是/⑺⑶=0的解，即一丁，/一丁।是三次函数的对称中心

I3〃[3a))

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S”为等差数列｛凡｝的前〃项和，若。3+4=7,3叼+%=5,则5,0=.

【答案】95

【解析】

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出。“d,再利,书等差数列的求和公式节即可得到答案.

。1+2d+4+3d=7q=-4

【详解】因为数列斯为等差数列，则由题意得J

3(q+d)+q+4d=5‘解得'd=3'

贝崎0=10q+二尸1=10x(-4)+45x3=95

故答案为:95.

13.己知a为第一象限角，0为第三象限角，tana+tan6=4,tanatan6=JJ+l则si«a+6)=

【答案】一汉1

【解析】

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan(a+6)=-2及再缩小a+。的范围，最后结合同角

的平方和关系即可得到答案：法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

【详解】法-：由题意得tan(。+6)=-an0‘an才|.(④+1)=R2，

因为a2内1,2依+4[2加兀+兀,2〃1兀+」,k,mwZ

\2)[2)

则a+6£((2w+2k)冗+7i,(2m+2k)n+2兀),k.mGZ,

又因为tan(a+8)=-272<0;

,3\

则a+3E|(2〃7+2A)兀+-^-,(2〃7+2A)兀+2兀,k,mwZ.则sin(a+0)<。,

则si焉n(a+得6\7万r-联立

sin2(a+夕+cos2(a+6)=1,解得sin(a+6)=

法二：因为a为第一象限角,B为第三象限角，贝Ucosa>0,cos/3<0,

cosa1cos6

cosa-i,=/、=cos8=

Vsin2tz+cos2avl+tan2aJsin?6+cos?8Jl十tan28

则sin(a+jB)=sinacos6+cosasinB=cosacos0(tana+tanjB)

-4-4-42>/2

=4cosacosB=

Vl+tan2tt^/14-tan2BJ(tana+tan8y+(tanatan6—1>+23

故答案为：一也

14.在如图的4x4方格表中选4人方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法,

在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是^

II213140

12223342

13223343

15243444

【答案】©.240.112

【解析】

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果,

即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42).(15,22,33,40),

所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用

列举法写出所有的可能结果.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记△/BC的内角B,。的对边分别为a,b,c,已知sinA+JJcos/=2.

(1)求4

(2：若"2,而sinC=csin2B：求a/BC的周长.

【答案】(1)A=^

n

⑵2+几+30

【解析】

【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin4+J5cos/二说行叱简处理即可求解，常规方法还可利用同角

三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；

（2）先根据正弦定理边角互化算出“，然后根据正弦定理算出方,c即可得出周长.

【小问1详解】

方法一：常规方法（辅助角公式）

由sinZ+JJcos%=2可得~!"sin4+@cos/l=1>即sin（4+：）=1,

?93

由于4w（0,兀）=>/+：£（^,手）故4+解得力=?

6

方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）

由sin/+J3COSA=2又sin?A+cos24=1,消去sinA得到:

4cos24-4/3cos4+3=0U（2cos/l-V3）2=0.解得cos.4=3，

又,4£（0,兀），故<?

n

方法三：利用极值点求解

设/（x）=sinx+Gcosx（0<x<兀），则/（x）=2sin^+―（0<J<7T）.

显然x=2时，/（工）2=2,注意到/（^）=sinJ+V3cosJ=2=2sin（^+-）,

/（X）max=j{A）,在开区间（0,兀）上取到最大值，于是x=力必定是极值点，

即r（/）=0=cos4-gsin/L即tan/=4，

又,4£（0,兀），故/=?

6

方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）

设〃=（l,JJ）［=（sin4cos/）：由题意，a/=sin4+Gcos/=2，

根据向量的数量积公式,a-b=\a\bcos（G,£）=2cos（l3）

则2cosa,/尸=20cosa,b~=I,此时a,/>=0,即a,b同向共线,

根据向量共线条件，Leos力=-J3-sinAUtanA=

4

,兀

又,4£（0,兀），故力

n

方法五：利用万能公式求解

设，=tanH根据万能公式，sin/+gcos/=2=3+'"(J「

)1+/21+/2

整理可得，/2_2(2—豆)/+(2—KF=0=〃—(2—")>

解得tanW=/=2—根据二倍角公式，tan4=三二3

,Il3

又,4£(0㈤，故4=3

6

【小问2详解】

由题设条件和正弦定理

xf2bsin。=。sin2802sin4sinC=2sinCsin3cos3,

5^,CG(0,7C),则sinBsinCHO,进而cosB=也得到6二：,

24

于是。=兀一/一8二'

1?

V2+V6

sinC=sin(7i-A-B)=sin(J+6)=sinAcosB十sinBcosA=

d

,2bc

由正弦定理可得，==即.兀一.兀一.7兀

qin4sin"Sin—Sin—Sin—

A41?

解得b=2五,c="+&：

故"BC的周长为2+后+3

16.已知函数/(x)=e*-or-/.

（1）当。=1时，求曲线y=/（x）在点（1处的切线方程;

（2）若.危）有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

【答案】（1）（e・l）》■歹・1=0

(2)(1,+8)

【解析】

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析GWO和。>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得

/+ln〃・I>0,构建函数解不等式即可：解法二：求导，可知/@(x)=e'-a有零点，可得〃>0,进而

利用导数求/Q)的单调性和极值，分析可得"+hw-1>0,构建函数解不等式即可.

【小问1详解】

当a=1时,则/(x)=ev-x-1,/4(x)=eA-1,

可得/(1)=c-2,/4(1)=e-1,

即切点坐标为(l,e・2),切线斜率〃=e-1,

所以切线方程为(e-2)=(e-l)(x-l),即(e-l)x-^-l=0.

【小问2详解】

解法一：因为火幻的定义域为R,且二炉-a,

若aW0,则、再(x)>0对任意xER恒成立，

可知危)在R上单调递增，无极值，不合题意：

若a>0,令/@(x)>0,解得x>Ina；令/<t(x)<0,解得x<Ina；

可知公)在(8,卜a)内单调递减，在(【na,+8)内单调递增，

贝”x)有极小值/'(hi。)=a-a\na-a3,无极大值，

由题意可得：/'(ina)=a-alna-a}<0,即稼+Ina・1>0，

构建g(a)=a2+\na-\,a>0,则g'(〃)=2a+—>0,

可知g(a)在(0,+8)内单调递增，且g(l)=0,

不等式犀+ln^-1>0等价于g(a)>g(l),解得〃>1,

所以a的取值范围为(1,+8)；

解法二：因为小)的定义域为R,且./4(工)=e、・〃，

若.〃)有极小值，则/H(x)=e"■□有零点,

令/4(x)=ex-a=0,可得ev=a

可知y=er与y=。有交点，则a>0,

若a>0,令/(t(x)>0,解得x>Intz；令/<t(x)<0,解得x<Ina；

可知心)在(-8,InQ)内单调递减，在(in。,+8)内单调递增，

贝iJ/M有极小值/(ln〃)=Q-oln。-/,无极大值，符合题意，

由题意可得：/(in=a-a\na-a3<0,即/+历4-1>(),

构建g(a)=a2+\na-\,a>0,

因为则》二/)二皿。-1在(0,+8)内单调递增，

可知g(q)在(0,+8)内单调递增，且g⑴二0,

不等式/+lna-1>0等价丁g(a)>g⑴,解得a>1,

所以a的取值范围为(1,+oo).

17.如图，平面四边形/4C。中，48=8,CD=3,AD=5G，±ADC=90°,±BAD=30°,点E,

产满足前5，14F=^AB.将△力石/沿E厂对■折至！户£尸，使得PC=4内.

(1)证明：EF工PD；

(2)求面PCO与面以步•所成的二面角的正弦值.

【答案】(I)证明见解析

085/65

65

【解析】

【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得族二2,利用勾股定理的逆定理可证得石夕工力。，则

EF±PE,EF±DE,结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明FEJ-EO,建立如图空间直角坐标系石-史，利

用空间向量法求解面面角即可.

【小问1详解】

由1B=8,40=5瓜AE=-AD,4F=-AB.

S9

得花=2y/3AF=4f又±^AD=30°,在△力中，

由余弦定理得防=JAE2+AF2-2AE-AFcosZBAD=J16+I2-242G•日=2：

所以力方+£尸=力尸，则北」£尸，即E尸上力。，

所以EF_LPE,EF_LDE,又PECDE=E,PE、DEi平面PQE,

所以以71.平面0QE,又PQi平面尸QE,

WEF_LPD；

【小问2详解】

连接CE,由上J£)C=90°产二入万,。。=3,则。今=E£P+C。=36,

在APEC中，PC=4GPE=2jjEC=6,得EC+PE2=P。,

所以PE_LEC,由(1)PE_LEF,又ECT\EF=E,EC、EFi平面力BCD,

所以PEJ_平面力BCD,又EQi平面45CQ,

所以尸E_LEQ,则P£EEEQ两两垂直，建立如图空间直角坐标系£--上，

则£(0,0,0),P(0,0,2拘,0(0,33,0),C(3,3.3,0),尸(2,0,0),J(0,-2--3,0),

由尸是N5的中点,得6(4,2国),

所以正二(3,3A-2A/3),PD=(0,3氐-2石),而=(4,2>/1-2豆),麻=(2,0,-273)

设平面尸CO和平面尸8尸的一个法向量分别为3=（芯,y,=J,m二（八,%,二,）,

斤•正=3%+3。弘一2VLi=0而•丽=49+2G匕-2心2=0

则

小丽二3同-2底=0而•所=2占-2日=0

令乂二2,4=x/3，得七=0,2)=3/=-1/2=

所以"二（0,2,3）,加二（6,-1,1）,

所以"个懦=而/=等

设平面"CO和平面八?”所成角为夕，则sin，=J[=嬴"二娅5

65

即平面尸CZ)和平面尸3歹所成角的正弦值为见竺.

6S

18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名

队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶

段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总

和.某参赛队山甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为小乙每次投中的概率为％各次投中与否相

互独立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

(2)假设0<p<q,

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

【答案】(1)0.686

(2)G)由甲参加第一阶段比赛；G)由甲参加第一阶段比赛；

【解析】

【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；

(2)G)首先各自计算出=[l-d-p)3/»产乙=[1-(1-夕)[./，再作差因式分解即可判断：(ii)

首先得到X和V的所有可能取值，再按步骤列出分布列,计算H各自期望，再次作差比较大小即可;

【小问1详解】

甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，

:比赛成绩不少于5分的概率尸二(1-0.63)(10.53)=0.686.

【小问2详解】

(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为4=[l-(l-p)3]q3.

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为攵-

Q0<〃<夕，

:尸甲-尸乙=4,・(夕・pqt・p'+(p・pq)’

二(夕一0(丁+pg+02)+(p-q).[(p-的)2+(q-pq『十(p-pq)(q-pq,

:(P・q)(3p2q2・3p，q・3pq]

=3Pq(p-q)(pq-p-q)=2>pq(p-q)[(\-p)(\-q)-\]>0,

:P甲>尸乙，应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

333

P(X=0)=(l-p)+[l-(l-p)].(l-9),

32

P(%=5)=[1-(1-P)]C^.(I-(7)

P(X=10)=[l-(l-p)3]・CW("q),

产(¥=15)=[l-(l-p)3].八

£(X)=15[l-(l-p)3]q=15(p3-3p2+3p).q

记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩丫的所有可能取值为()，5,io,15,

同理E(r)=15G3・3q2+3G.p

:颐X)-E(Y)=151pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)}

='5(p-q)pq(p+q-3),

因为0<p<q,则〃-夕<0,〃+g-3<1+1-3<0,

则(p-q)pq(p+q-3)>o，

:应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大

小关系，最后得到结论.

19.已知双曲线C:f二〃7(相>0),点名(5,4)在。上，4为常数，0<%<1.按照如下方式依次构

造点匕(〃=2,3,...),过户田作斜率为人的直线与。的左支交于点。川，令P”为关于〉轴的对称点，

记尸”的坐标为（x“,必）.

（1：若4=g求X242；

（2）证明：数列｛x“・y〃｝是公比为坐的等比数列；

l-k

（3）设S“为△P/"+//2的面积，证明：对任意的正整数〃，5“二Sg.

【答案】（1）$=3,必=0

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出八的坐标即可；

（2）根据等比数列的定义即可验证结论；

（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S,的取值为与〃无关的定值即可.思路二：使用

等差数列工具，证明S”的取值为与〃无关的定值即可.

【小问1详解】

由已知有〃？=52-42=9,故C的方程为炉一4=9.

当k=:时，过E（5,4）且斜率为;的直线为歹=彳，与£-炉二9联立得到/一（言）=9.

解得x=-3或x=5,所以该直线与。的不同于尸।的交点为。--3,0）,该点显然在。的左支上.

故尸2（3,0），从而当=3,%=0.

【小问2详解】

由于过匕（瑞,”）且斜率为女的直线为y=％6・&）+乂，与x2•炉=9联立，得到方程

^-^（X-XJ+K）2=9.

展开即得（11,2Mx）-9=0,由于忆（X”,用）已经是直线

y=%6-工）+”和犬-jJ=9的公共点，故方程必有一根x=无,.

从而根据韦达定理，另一根x=21（"一，〃）x=2kyn-xn-k'xn相应的

\-k2n\-k:

y.+k2ys

…卜-乙）+”=

\-k2

2y

’2*f-k%nyn+kyn-lkxn

所以该直线与。的不同于P〃的交点为0