2024沪科版七年级数学下册 第6章《实数》知识要点梳理

沪科版（2024）七年级下册数学第6章实数知识要点梳理

一平方根

1.有关概念

（1）算术平方根：如果一个正数X的平方等于Q,即/=Q,那么这个正数

工叫作a的算术平方根.Q的算术平方根记为历，读作“根号Q”，其中Q

叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0.

关键提醒

①负数没有算术平方根.②具有双重非负性，即伤之0且.

（2）平方根：如果一个数的平方等于a,那么这人数就叫作a的平方根或二次

方根。即如果x2=a,那么x叫作a的平方根，记作±碗,读作"正、负

根号a”。

（3）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方.

例6.1下列说法中，正确的是（）

A.一4是（一4y的算术平方根

B.25的平方根是±5

C.绝对值是2的数一定为2

D.8的平方根是±2

解析-4是（-4）2=16的平方根，而不是算术平方根，A错误；绝对值是2的

数有2和一2,C错误；8的平方根是±我=±2&,I）错误；而25的平方根是

±5»B正确.

答案B

2.平方根的性质

（1）正数有两个平方根，它们互为相反数

（2）0的平方根是0.

⑶负数没有平方根.

关键提醒

①正数a的算术平方根可以用m表示；正数a的负的平方根可以用符号

“”表示；正数Q的平方根可以用符号“士VE”表示，读作“正、负根

号Q”。

②平方根等于它本身的数只有0,算术平方根等于它本身的数是0和L

例6.2下列说法正确的是（）

A.任何数的平方根都有两个

B.只有正数才有平方根

C.负数既没有平方根，也没有立方根

D.一个非负数的平方根的平方就是它本身

解析0的平方根只有一个即0,A错误；0也有平方根，B错误；负数是有立方

根的，比如-1的立方艰为-1,C错误；非负数的平方根的平方是其本身，D正

确.

答案D

二立方根

1.有关概念

(1)立方根：如果一个数的立方等于Q,那么这人数就叫作Q的立方根或三次

方根.即如果无3=。，那么x叫作Q的立方根.Q的立方根(或三次方根)表

示为正，其中Q为被开方数，“S二”符号中的3为根指数(这个数不能省

略)；VH读作“三次根号Q”或“Q的立方根”.

关键提醒

①在正中，被开方数Q可为正数、零，也可为负数.

②两个公式：V—a=—\[a;(Va)3—Va^=a

⑵开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.

例6.3求下列各数的立方根

(1)729;

(2)-0.064

⑶-2号；

(4)V64.

解(1)因为93=729,所以729的立方根是9,即V729=9

(2)因为(-0.4)2=-0.064,所以一0.064的立方根是一0.4,即

V-0.064=-0.4.

⑶因为—2号=—9，且(―：y=—称，所以—2号的立方根是一：，即

2727\3/27273

(4)因为V64=8,且23=8,所以V64的立方根是2.

2.立方根的性质

⑴正数的立方根是正数.

(2)负数的立方根是负数.

(3)0的立方根是0.

关键提醒

正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，零的立方根是零.

3.立方根与平方根的联系及区别

立方根与平方根的联系及区别见表6-1.

表6—1

①在用符号表示平方根时,根指数2可省略;而用符号表示立方根时,根指数

区3不能省略.②只有非负数才有平方根，而任何数都有立方根.③正数的平方

别根有两个，而正数的立方根只有一个

联①都与相应的乘方运算互为逆运算.②零的立方根和平方根都是它本身

系

例6.4下列说法中，正确的是()

A.5是25的算术平方根

B.-9的平方根是-3

C.±4是64的立方根

D.9的立方根是3

解析5是25的算术平方根，A正确；一9没有平方根，B错误；4是64的立方根,

C错误；9的立方根是V9,D错误.

答案A

三实数

1.无理数的概念

很多数的平方根、立方艰都是无限不循环小数，无限不循环小数就叫作无理数.

关键提醒

我们目前所接触的无理数有以下三种：

(1)开方开不尽的数，如V2,-V3,V9,-

(2)圆周率7T,它是圆周长与该圆直径的比值，是无限不循环小数；

(3)类似0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0)这样的小数也是无

理数，

例6.5在实数晨,0,祗一3.14,“中，无理数有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析"=2,所给数据中无理数有TT,V3，共2个.

答案B

2.实数的概念及分类

概念：有理数和无理数统称为实数

分类：

⑴按定义分类

有理数：可分为整数和分数，也可分为有限小数和无限循环小数实数无理数：即无

限不循环小数

⑵按正负分类

（正整数

正有理数［正分数

（正实数

正无理数

实数，零

/（负整数

负有理数

〔负实数I负分数

负无理数

3.实数与数轴

任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应，数轴上的点和实数是

一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一

个点都表示一个实数.

例6.6实数Q在数轴上对应的点的位置如图6-1所示，化简|a+3|的结果是

().

」I11a

-3。03

图6-1

A.a十3

B.a—3

C.—Q+3

D.-a-3

解析由数轴上a的位置可知，因为一3Va<O,|a|<3,所以a4-3>0,所

以|Q+3|=Q+3故&C,D错误，A正确.

答案A

4.实数范围内的有关概念

在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和求法与有理数范围内的相反数、绝

对值、倒数的意义和求法完全相同，在有理数范围内的一切方法完全可以在实数范

围内运用.

5.实数的运算

在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而有理数的

运算法则和运算性质在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序与有理数的

运算顺序基本相同.

例6.7计算下列各式的值.

(1)3(V2+V5)+3(企-2V3)

(2)|V3-A/5|+3V3.

解(1)原式=3V24-3V34-3A/2-6V3=6V2-3V3

(2)原式=V5—V3+3V3=V5+2V3.

6.比较实数大小的几种常用的方法

⑴数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a,b是实数，a-b>Ooa>b;a-b=O^a=b;

a—bvO=aVb.

(3)求商比较：设a,b是两正实数，三>1oa〉b,?=1<=>a=b,三<1<=>a<

b.

(4)绝对值比较：设a,b是两负实数，贝ij\a\>\b\<^a<b.

(5)平方法比较：设a.b是两负实数，则a?>产oQvb.

例6.8比较下列各对实数的大小，

(D-V10和-3.1(2)兀和3.14;

⑵正