2024沪科版七年级数学下册 第8章《整式乘法与因式分解》知识要点梳理

沪科版(2024)七年级下册数学第8章整式乘法与因式分解

知识要点梳理

一整式的乘法

1.同底数幕的乘法

一般有：。血・谟=6^+沱(犯九都是正整数).即同底数幕相乘，底数不变，指数相

加.

知识拓展

(1)这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数塞相乘，如Qm-QH.Qp=

am+n+p(rn,n,p都是正整数).

(2)在今后的计算中注意公式的逆用：Qm+"=aman

(3)基的底数Q可以是单项式，也可以是多项式，如Q.Q2=Q1+2=

a3,(x-y)3-(y-x)2=(x-y)5.

例14.1计算:(l)a2•(-a)3-(-a)4

(3)(x-2y)2.(2y-%)3.

解(1)原式=a2•(—a)3•a4=-a2-a3-a4=—a9;

(2)原式=”+"1+nT+i=%3"i；

(3)方法一：原式=(x-2y)2-[-(%-2y)]3=-(%-2y)5

方法二：原式=(2y-x)2-(2y-x)3=(2y-x)5

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2.累的乘方

一般有（amy=amn^m,n都是正整数）.即幕的乘方，底数不变，指数相乘.慕的

乘方法则的逆用：amn=（am）n（rn,n都是正整数）.

例14.2下列运算中正确的是（）

A.a2+a3=a5

B.Q2.Q3=Q6

C.cP+Q2=Q

D.（a2）3=a6

解析后与a3不是同类项，不能合并，A错误；Q2.a3=Q2+3=Q5HQ6,B

错误；a3与a2不是司类项，不能合并，C错误；（Q2）3=Q2X3=d,D正确.

答案D

3.积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的累相乘。即（ab）n=

a1lbn（n为正整数）。

知识拓展

⑴三个或三个以上的因数的积的乘方，也具备这一性质，如（abcy=an-bn-

cn（n为正整数）.

⑵此性质可逆用：Q九•〃=（ah尸

例14.3已知=4,QN=I。,求Q2m+n的值.

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解析将代数式a2m+n变形为含am,an的代数式，依据是鼎的运算法则.

解Q2m+n=a2m,“n=伍小)2。QM=42X10=160.

4.整式的乘法法则

⑴单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母

分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘以多项

式的每一项，再把所得的积相加。表示为a(b+c)=ab+aco

例14.4计算：⑴(-；x2y)3-3xy2-(2xy2)2;

(2)-6m2n•(x-y)3--mn2(y-x)2.

解(1)原式=--x6y3x3xy2x4x2y4=--x9y9.

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(2)原式=-6x^m3n3(x-y)5=-2m3n3(x-y)5.

关键提醒

单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为前面学过的单项式

乘以单项式的问题。计算时易出现符号错误，多项式中每一项都包括它前面的符号,

同时还要注意单项式的符号。单项式乘以多项式，结果仍是多项式，其项数与因式

中多项式的项数相同。对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果中

若有同类项时要合并，从而得出最简结果。

例14.5计算:⑴(―2ab)(3a2—2ab—4b2)

2

(2)5ax(a+2Q+1)-(2a+3)(a-5).

解(1)原式=-6a3b4-4a2/?24-8ab3.

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(2)原式=5a+10a2x+Sax—(2a2—10a+3a—15)=5a3x+

10a2x+5ax-2a2+7a+15.

⑶多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项

乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加I.表示为(a+b)(m+n)=am+

an+bm+bn.

例14.6计算:(1)(5mn2—4m2n)(—2mn)

(2)(x+7)(x-6)-(x-2)(x+l).

解⑴原式=-10m2n3+8m3n2.

(2)原式=%2—6x+7%—42—%2—%4-2%4-2=2%—40.

二乘法公式

1.平方差公式

平方差公式：(Q+b)(a-b}=a2-b2.即两个数的和与这两个数的差的积，等

于这两个数的平方差.这个公式叫作(乘法的)平方差公式.

关键提醒

公式中的字母Q和b可以是数，也可以是式子(包括单项式、多项式等)，只

要符合平方差的结构特征，就可以运用该公式.

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2.完全平方公式

(a+b)2=a24-2ab+b2,(a—b)2=a2—2ab+b2.即两数和(或差)的平方,

等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.

知识拓展

公式中的字母Q和b可以是数，也可以是式子(包括单项式、多项式等).完全

平方公式有如下变形：a?+/=®+b)2-2ab或a2+b2=(a-b)2+2ab

或(Q+b)2—(a—bp=4ab.

3.添括号法则

a+b+c=a+(b+c);CL—b—c=CL—(b+c).即：添括号时，如果括号前面

是正号，添括号后，括号中的各项都不变符号；如果括号前面是负号，添括号后，

括号中的各项都改变符号.

三因式分解

1.因式分解的概念

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这

个多项式分解因式.

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关键提醒

因式分解时应注意以下几点：结果一定是积的形式，分解的对象是多项式。每个因

式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原多项式的次数。分解因式必须分解

到不能分解为止。

例14.7下列式子中，从左到右变形属于因式分解的是()

A.彦+4。—21=a(a+4)-21

B.a24-4a-21=(a-3)(a4-7)

C.(Q-3)(Q+7)=Q2+4Q-2I

D.M+4。-21=g+2产—25

解析根据因式分解的概念，只有B选项满足：等号左边是多项式，等号右边是几

个整式的积的形式，并旦经检验运算过程正确，故选B.

答案B

2.因式分解的方法

(1)提公因式法.

①公因式：我们看多项式ma+mb+me,它的各项都有一个公共的因式m,

我们把因式m叫作这个多项式各项的公因式.

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关键提醒

公因式m既可表示单项式，也可表示多项式.常用的变形：-a+b=-缶-

力（b一厂（。一人尸5为奇数），

6），（力-。）-匕—），6为偶数）.

②提公因式法：把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公

因式，另一个因式是多项式除以公因式所得的商，像这种分解因式的方法叫作提公

因式法.

关键提醒

提取公因式后，括号内的各项是用公因式去除这个多项式的各项得到的商，特别注

意不漏掉1.在因式分解的过程中，常常把含有相同字母且字母次数相同的多项式

作为公因式提出来，此时要特别注意字母的排列顺序的变化和其指数的奇偶性.

例14.8若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析因为代数式x2+ax可以分解因式，所以常数a不可以取0.

答案B

⑵公式法.

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①平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个

数的和与这两个数的差的积.

关键提醒

能用平方差公式分解因式的多项式的特点：①应是二项式或视作二项式的多项式，

②一项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方.③一项异号.

②完全平方公式法：a24-2ab4-/?2=(a4-b)2,a2—2ab4-b2=(a—b)2

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)

的平方.

关键提醒

①运用完全平方公式分解因式的条件：a.应是三项式；b.其中两项同号，且各为一

整式的平方；c.还有一项可正可负，且它是前两项窑的底数乘积的2倍.

②分解因式时首先考虑有无公因式，之后再考虑用运用公式法分解.

例14.9下面分解因式正确的是()

A.%2+2%4-1=%(%+2)+1

B.(%2-4)x=x3-4x

C.ax4-bx=(a4-b)x

D.m2—2mn+n2=(m+n)2

解析根据因式分解的概念，A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式;

D项虽是分解因式，但错误，应是m2-2mn+n2=(m-n)2

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答案c

3.因式分解的步骤

(1)先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式.(2)再看能否使用公式

法.(3)用分组分解法，即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目

的.(4)因式分解的最后结果，必须是几个整式的积(5)因式分解的结果必须进行到

每个因