2022-2023学年北京市朝阳区某中学分校九年级（上）月考数学试卷（12月份）

2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校九年级（上）月考

数学试卷（12月份）

一、选择题（共8小题，每题2分）

1.（2分）在下列四个图案中，是中心对称图形的是（）

3.（2分）抛物线y=（x+3）2-1的顶点坐标是（）

A.（3,-1）B.（3,1）C.（-3,1）D.（-3,-1）

4.（2分）如图，将含有30"角的三角尺ABC（N8AC=3（T）,以点A为中心，顺时针方

向旋转，使得点C，A,B1在同一直线上，则旋转角的大小是（）

5.（2分）如图，在一块长30〃?，宽20〃?的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路,

剩余空地种植花苗，设道路的宽为皿?，若种植花苗的面积为522〃P,依题意列方程（）

B.20x+30X2x-?=600-522

C.(20-2x)(30-x)=522D.(20-x)(30-2x)=522

6.（2分）如图，已知46是。。的直径，CD是弦，若/8CQ=24°,则（）

D

B

C

A.54B.56°C.64°D.66°

7.（2分）投掷一枚质地均匀的硬币〃?次，正面向上〃次，下列表达正确的是（

A.1的值一定是』

m2

B.△的值一定不是工

m2

C.机越大，工的值越接近』

m2

D.随着/〃的增加，工的值会在』附近楔动，呈现出一定的稳定性

m2

8.（2分）已知二次函数y=aP+/?x+c中y与x的部分对应值如表：

X•••-2-1012•••

y•••-1232-1•••

关于此函数的图象和性质有如下判断：

①抛物线开口向下.②当x>0时，函数图象从左到右上升.

③方程av2+/?x+c=0的一个根在-2与-1之间.

其中正确的是（）

A.①②B.①@C.②③D.®®®

二、填空题（共8小题，每题2分）

9.（2分）一元二次方程9=0的根为.

10.（2分）点A（・5,3）关于原点的对称点H的坐标为.

11.2（分）把抛物线），=上乂？先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得

抛物线的函数表达式为.

12.（2分）抛物线尸/+以+c（〃W0）的部分图象如图所示，其与工轴的一个交点坐标为

（3,0）,对称轴为直线尸1,则当产0时，x的取值范围是.

13.2（分）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中一把锁，第三把钥

匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率

为.

14.（2分）如图，PA.PB分别切圆。于A、B,并与圆。的切线，分别相交于C、D,已

知△PCO的周长等于10。〃，则PA=cm.

15.（2分）已知：如图，半圆。的直径AB=12c〃?，点C,。是这个半圆的三等分点，则N

CAD的度数是,弦AC,AD和赤围成的图形（图中阴影部分）的面积S

是.

16.（2分）新年联欢，某公司为员工准备了A、8两种礼物，A礼物单价。元、重〃?千克,

8礼物单价（a+1）元，重（m-1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲

盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲

盒的总价钱相差元，通过称重其他盲盒，大家发现：

称重情况重量大于小林与小林的盲盒重量介于小林与小李的盲盒重量小于小李

的盲盒的一样重和小李之间的一样重的盲盒的

盲盒个数05094

若这些礼物共花费2018元，则。=元.

三、解答题（共12题，满分68分）

17.（8分）解方程.

（1）x2-8x-2=0；

（2）2?-x-3=0.

18.（4分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程.某

学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B,C,。四名志愿者中通过抽签

的方式确定两人.抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片

的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面.匕先从中随机抽取•张卡片，记下名

字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字.

（1）“A志愿者被选中”是事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）:

（2）用画树状图或列表的方法求出A,8两名志愿者同时被选中的概率.

19.（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.

己知:00.

求作：。。的内接等腰直角三角形人BC.

作法：如图，

①作直径AB；

②分别以点4,8为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M点；

2

③作直线M。交。。于点C,D；

④连接AC,BC.

所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.

根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

（1）使用直尺和圆规、补全图形：（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接MA,M8.

•・・MA=MB,0A=0B,

••・MO是A8的垂直平分线.

：.AC=________

,•SB是直径，

AZACB=（）（填写推理依据）.

20.（5分）已知关于x的方程/-2x+2Z-1=0有两个实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，求此时方程的解.

21.(5分)如图，ZkABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).

(1)请在图中作出△ABC绕点A逆时针方向旋转90°后得到的图形：

(2)求点C运动到点。所经过的路径的长(结果保留IT).

22.(5分)如图，已知抛物线y=f+bx+c经过A(-1,0),B(2,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标.

(2)直接写出当0Vx<2时，求)，的取值范围.

23.(5分)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧而，点。是而的圆心，E为而上一点,

OE±CD,垂足为F.已知C0=300w,EF=50m,求这段弯路的半径.

24.(5分)如图在R【Z\ABC中，NC=90°,BD是△ABC的角平分线，点。在4B上，以

点。为圆心，长为半径的圆经过点。，交BC于点E,交AB于点F.

(1)求证：AC.是OO的切线：

（2）若CE=2,CD=4,求半径的长.

A

25.（6分）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱

形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷

泉.安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点,

水柱距离湖面的高度为万米.

d（米）01.03.05.07.0

h（米）3.24.25.04.21.8

请解决以下问题：

（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接;

（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条人柱最高点距离湖面的高度：

（3）求所画图象对应的函数表达式；

（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一

条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于I米，请通过计算说明公园至少需要准备

多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）

26.(6分)已知抛物线)，=a1+2aM+3a2-4(〃N0).

(1)该抛物线的对称轴为:

(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；

(3)设点M(/n,户)，N(2,齐)在该抛物线上，若)，1>)明求〃?的取值范围.

27.(7分)如图，在等边△43C中点。在的延长线上，点夕是3c边上的一个动点(点

P不与点4重合)，将线段绕点P逆时针旋转6()，得到线段夕石，连接/法和QE.

(I)依据题意补全图形；

(2)比较/8DE与/BPE的大小，并证明；

(3)用等式表示线段BE、8〃与8。之间的数量关系，并证明.

28.(7分)如图，在平面直角坐标系M?)，中，C(0,2),OC的半径为I.如果将线段

绕原点。逆时针旋转a(0°<a<180°)后的对应线段AE所在的直线与OC相切，且

切点在线段4'B'上，那么线段AB就是。。的“关联线段”，其中满足题意的最小a

就是线段4B与。。的“关联角”.

(1)如图1,如果A(2,0),线段OA是。。的“关联线段”，那么它的“关联角”

为_________

(2)如图2,如果4(・3,3)、Bi(-2,3),Ai(1,I)、82(3,2),A3(3,0)、

明(3,-2).

那么OC的“关联线段”有(填序号，可多选).

①线段人1以

②线段A1B1

③线段A3B3

(3)如图3,如果3(1,0)、D(r,0),线段8。是OC的“关联线段”，那么/的取值

范闱是.

(4)如图4,如果点M的横坐标为〃?，且存在以M为端点，长度为勺叵的线段是OC的

“关联线段”，那么小的取值范围是.

3诈

图3图4

2022・2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校九年级（上）月考

数学试卷（12月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每题2分）

1.（2分）在下列四个图案中，是中心对称图形的是（）

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断.

【解答】解：A、绕圆心旋转180”,不能与自身重合，不是中心对称图形，不合题意；

8、绕圆心旋转180°,不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；

C、绕圆心旋转18（）。，不能与自身重合，不是中心对称图形，不合题意；

。、绕圆心旋转180°,能与自身重合，是中心对称图形，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与原图重合.

2.（2分）若方程9+h-6=0的一个根是-3,则k的值是（）

A.-1B.1C.2D.-2

【分析】把工=-3代入方程得出9-3左-6=0,求出4的值即可.

【解答】解：把x=-3代入方程履-6=0得：9-3k-6=0,

解得：％=1,

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解

此题的关键.

3.（2分）抛物线y=（x+3）2-1的顶点坐标是（）

A.（3,-I）B.（3,1）C.（-3,1）D.（-3,-1）

【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标.

【解答】解：•・•抛物线），=（X+3）2-1,

・••该抛物线的顶点坐标为（-3,-1）,

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会根据顶点式，直接写出顶点坐

标.

4.（2分）如图，将含有30°角的三角尺ABC（N8AC=30°）,以点人为中心，顺时针方

向旋转，使得点C，人，夕在同一直线上，则旋转角的大小是（）

A.30°B.60°C.120'D.150°

【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解.

【解答】解：旋转角是NBA），ZBABf=180°-30°=150°.

故选：D.

【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角

是解题的关键.

5.（2分）如图，在一块长30〃?，宽20〃?的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路,

*〃，若种植花苗的面积为522〃P,依题意列方程（）

B.20x4-30X2x-?=600-522

C.(20-2x)(30-x)=522D.(20-%)(30-2x)=522

【分析】设道路的宽为用小则种植花苗的部分可合成K（30-x）m,宽（20・2力，〃的

矩形，根据种植花苗的面积为522〃?2,即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解:设道路的宽为R〃，则种植花苗的部分可合成长（30-x）〃?，宽（20-2D

m的矩形，

依题意得：（30-x）（20-2x）=522,

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

6.（2分）如图，已知是。。的直径，CO是弦，若/BCD=24°,贝ijNABD=（)

【分析】根据圆周角定理得到NAQ3=90°,ZA=ZBCD=24°,然后利用互余计算N

人B。的度数.

【解答】解：・・・AB是00的直径，

AZADB=90°,

VZA=ZBCD=24°,

AZABD=90u・NA=90“-24“=66'.

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角

所对的弦是直径.

7.（2分）投掷一枚质地均匀的硬币〃?次，正面向上〃次，下列表达正确的是（）

A.二的值一定是』

m2

B.二的值一定不是工

m2

C./〃越大，△的值越接近」

m2

D.随着机的增加I,二的值会在工附近摆动，呈现出一定的稳定性

m2

【分析】利用频率估计概率求解即可.

【解答】解：投掷一枚质地均匀的硬币加次，正面向上〃次，随着机的增加I,二的值会

m

在工附近摆动，呈现出一定的稳定性，

2

故选：D.

【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固

定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的

集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

8.（2分）已知二次函数.尸0?+以+°中），与x的部分对应值如表:

X•••-2-1012

y•••一］232-1♦・♦

关于此函数的图象和性质有如下判断：

①抛物线开口向下.②当*>0时，函数图象从左到右上升.

③方程。，+云+°=0的一个根在-2与-I之间.

其中正确的是（）

A.①②B.®®C.②③D.®@®

【分析】根据表格数据求出顶点坐标，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；x

=-2时，y=-1；x=-I时，y=2即可判断③.

【解答】解：.・”=-I和x=l时的函数值相同，都是2,

・••抛物线的对称轴为直线产士1=0,

2

・••抛物线的顶点为（0,3）,

，y=3是函数的最大值，

・•・抛物线的开口向下，当xVO时，y随x的增大而增大，即当xVO时，函数图象从左到

右上升，

所以①正确，②错误；

Vx=-2时，y=-1：x=-1时，y=2,

，方程a>r+bx+c=O的一个根在・2与・1之间，

所以③正确.

综上所述：其中正确佗结论有①③.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标

特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质.

二、填空题（共8小题，每题2分）

9.（2分）一元二次方程9=0的根为XI=3，X2=・3.

【分析】利用直接开平方法求解即可得到答案.

【解答】解：x2-9=0,

.J=9,

.*.xi=3>X2=-3,

故答案为：xi=3>.r2=~3.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

10.(2分)点4(-5,3)关于原点的对称点A的坐标为(5,-3).

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案.

【解答】解：点4(-5,3)关于原点对称的点的坐标是A(5,-3),

故答案为：(5,-3).

【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们

的坐标符号相反，即点。(x,y)关于原点。的对称点是产(-X,-)，).

11.(2分)把抛物线旷=上乂2先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得

,2

抛物线的函数表达式为_y」(x_6)2+3_.

2

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解.

【解答】解：将抛物线丫=1乂2先向右平移6个单位长度，得：y」(x-6)2；再向上平

22

2

移3个单位长度,得：y=l(x_6)+3.

故答案为:y=^-(x-6)2+3-

【点评】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下

减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.

12.(2分)抛物线y=a/+以+c(aWO)的部分图象如图所示，其与入轴的一个交点坐标为

(3,())，对称轴为直线x=l,则当yVO时，，的取信范围是-1VXV3.

【分析】根据抛物线与X轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与X

轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，X的取值范围.

【解答】解：•・•抛物线y=o?+/u-+c（。*0）与k轴的一个交点坐标为（3,0）,对称轴

为直线X—1»

・••抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0）,

由图象可知，当1y<0时，x的取值范围是-l<x<3.

故答案为：-IVx<3.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴

的另一个交点.

13.（2分）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中•把锁，第三把钥

匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为

1

3-

【分析】让对的1除以总钥匙数3即为所求的概率.

【解答】解：第一次打开锁的概率为2.

3

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，

其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）=且.

n

M.（2分）如图，PA.。"分别切圆O于4、B,并与圆O的切线，分别相交于C、D,已

知△PCO的周长等于10。〃，则PA=5cm.

【分析】由于。A、DC、BC都是OO的切线，可根据切线长定理，将△PC。的周长转换

为布、PB的长，然后再进行求解.

【解答】解:：如图，设。C与OO的切点为E：

「BA、PB分别是OO的切线，且切点为4、B；

・・・以=尸8；

同理，可得：DE=DA,CE=CB；

则△PCQW=PD-DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=R\+PB=10Cem）；

：,PA=PB=5cm,

故答案为：5.

【点评】此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△尸C。的周长转换为切线网、PB

的长是解答此题的关键.

15.（2分）已知：如图，半圆。的直径4B=12c〃?，点C,。是这个半圆的三等分点，则N

CAD的度数是一30°，弦AC,AD和后围成的图形（图中阴影部分）的面积S是

2

6Tle〃广

【分析】由题意知，NCOD=60",得出NCAO的度数为：30°,进而得出△COO是等

边三角形，故阴影部分的面积等于扇形OC'O的面积.

【解答】解：连接CO、OD,CD,

VC.。是这个半圆的三等分点，

J.CD//AB,NCOO=60°,

・・・NC4D的度数为：30°,

•：OC=OD,

•••△OCD是等边三角形，。。=0。=［工8=6°〃,

2

•••△08与△CD4是等底等高的三角形，

.122

S阴影=S扇形oc£）=-nX6〜=6irtv〃〜.

6

故答案为：30°,Gw/.

OB

【点评】本题主要考查了扇形面积公式应用，关键是判断出△0C。与△CD4是等底等高

的三角形，且△OCD是等边三角形，利用扇形的面积公式求解.

16.（2分）新年联欢，某公司为员工准备了A、8两种礼物，A礼物单价。元、重机千克,

8礼物单价（〃+1）元，重（加-1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲

盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲

盒的总价钱相差1元,通过称重其他盲盒，大家发现：

称重情况重量大于小林与小林的盲盒重量介于小林与小李的盲盒重量小于小李

的盲盒的一样重和小李之间的一样重的盲盒的

盲盒个数05094

若这些礼物共花费2018元，则〃=50元.

【分析】根据小林的盲盒比小李的盲盒重I千克可判断两个盲盒的总价钱相差I元，再

根据重量小于小李的盲盒的为4盒可以得出结论：小李的盲盒中为1件礼物和1件B

礼物，小林的盲盒中为2件4礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可.，

【解答】解：TA礼物重m千克,8礼物重Cm-1）千克，

礼物比8礼物重1千克，

•・•每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，

・••小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件4礼物；或小李的盲

盒中为2件B礼物，小林的盲盒中为1件A礼物和I件B礼物；

・•・不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差。+1-。=1（元），

由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中为1件A礼物和1

件8礼物，不可能为2件B礼物，

，小李的盲盒中为1件A礼物和1件8礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，

.•.重量小于小李的盲盒为2件B礼物，

•••与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李

的盲盒有4盒，

・•・2件B礼物的有4盒，1件A礼物和1件B礼物有10盒，2件4礼物有6盒，

/.2X4（。+1）+10XoM0（«+1）+2X64=2018,

解得。=50,

故答案为：1,50.

【点评】本题主要考查数据的收集与整理，能根据一直数据准确判断小李与小林的盲盒

中的礼物时解答此题的关键.

三、解答题（共12题，满分68分）

17.（8分）解方程.

（1）/・8x-2=0；

（2）2A2-X-3=0.

【分析】（1）方程整理后，利用配方法求出解即可；

（2）方程利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：（1）?-8x-2=0,

?-8.v=2,

?-8A+16=2+16,即（x-4）2=18,

r-4=±3A/2.

/.XI=4+3A/2»X2=4-3^2：

（2）Zr2-*-3=0,

（2x-3）（x+1）=0,

A2x-3=0或x+l=0,

3

/•Al=^»XL="1>

2

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成

一元一次方程，难度适中.

18.（4分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程.某

学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A,B,C,。四名志愿者中通过抽签

的方式确定两人.抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片

的正面•，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名

字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字.

（1）“A志愿者被选中“是随机事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；

（2）用画树状图或列表的方法求出44两名志愿者同时被选中的概率.

【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A,B两名志愿者同时被选中的结果有2

种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件,

故答案为：随机；

（2）画树状图如下：

开始

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中八，8两名志愿者同时被选中的结果有2种，

・・・4,B两名志愿者同时被选中的概率为

126

【点评】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念.树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放I可

试验还是不放【可试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.

已知：OO.

求作：的内接等腰直角三角形

作法：如图，

①作直径4B；

②分别以点4B为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧交于M点;

2

③作直线M。交。0于点C,D；

④连接AC,BC.

所以AABC就是所求的等腰直角三角形.

根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

（1）使用直尺和圆规、补全图形：（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接MA,MB.

OA=OB,

・・・M。是48的垂直平分线.

：,AC=BC

••SB是直径,

AZACB=90°（宜径所对的圆周角是宜角）（填写推理依据）.

（2）根据圆周角定理求解即可.

（2）证明：连接M4,MB.

OA=OB,

•••MO是A8的垂直平分线.

又•・,直线MO交OO于点C,

：.AC=BC.

〈AB是直径，

AZACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

・•・△ABC是等腰更角三角形.

故答案为：BC、90°,直径所对的圆周角是直角.

【点评】本题主要考查作图一夏杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图

和圆周角定理.

20.（5分）已知关于x的方程/-2r+2A-1=0有两个实数根.

(1)求上的取值范围；

(2)若k为正整数，求此时方程的解.

【分析】(I)由方程有两个实数根可得(-2)2-4Xl・(2k-I)20,解不等式即可求

出2的取值范围；

(2)由於为正整数和上W1可得女=1,从而可得原方程为--左+1=0,解方程即可求出

方程的解.

【解答】解：(1)・・•/-2什22-1=0有两个实数根，

:.A20,

:.(-2)2-4X1•⑵-1)20,

解得kW1；

(2)由(1)知KL

•.Z为正整数，

・”=1,

，原方程为：x2-2x+l=0,

:.(X-1)2=(),

.*.X1=X2=I.

【点评】此题考查了根I内判别式和一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程/+法+C

=0(a于0)的根与△:庐-4ac的关系：当A>0时，方程有两个不相等的熨数根；当

△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程无实数根是解本题的关键.

21.(5分)如图，/XABC三个顶点的坐标分别为A(I,I),B(4,2),C(3,4).

(1)请在图中作出6c绕点A逆时针方向旋转90。后得到的图形△4/ICI：

(2)求点。运动到点Ci所经过的路径的长(结果保留n).

【分析】（1）根据旋转的性质得出点8、C的对应点加、。的位置.，顺次连接即可;

（2）根据勾股定理求出AC,再利用弧长公式计算即可.

【解答】解：（1）△4归|。如图所示；

⑵7AC=722+32=V13»

・••点C运动到点CI所经过的路径的长为：9°兀二山3.皿£兀.

1802

【点评】本题考查了作图一旋转变换，勾股定理以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质,

找出对应点的位置是解题的关键.

22.（5分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1,0）,B（2,0）两点.

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标.

（2）直接写出当0Vx（2时，求），的取值范围.

y

^4\(?/Bx

【分析】(1)由题意抛物线)，=/+版+。经过A(-I,()),B(2,0)两点，代入函数的

解析式，根据待定系数法求出函数的解析式：把求得的解析式化为顶点式，从而求出其

顶点坐标.

(2)根据3的坐标和顶点坐标，结合二次函数的性质即可求得.

【解答】解：(1)•••抛物线>=『+区+c经过4(-1,0),B(2,0)两点，

：(l-b+c=0

14+2b+c=0

解得：产T,

c=-2

，抛物线的解析式为尸』-x-2,

:产/-x-2=(J-—)2--,

24

・•・抛物线的顶点坐标为(工，-1).

24

(2)•••抛物线的顶点坐标为(2，-9).

24

，函数有最小值,=,

4

•・3=2时，y=0,

:.当0<x<2时，y的取值范围-

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求函

数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用.

23.(5分)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧而，点O是面的圆心，E为面上一点，

OELCD,垂足为F.已知CQ=300m,EF=50nh求这段弯路的半径.

【分析】设这段弯路的半径为R米，可得OF=OE-EF=(R-50)m.由垂径定理得

CF=ACD=AX3(X)=I5O(/H).由勾股定理可得0d=CF2+0广，解得R的值.

22

【解答】解：连接OC设这段弯路的半径为R，〃，

则OF=OE-EF=(R-50)m,

•・・OE_LCO,

ACF=AcD=Ax300=150(加).

22

根据勾股定理，得oc?=c产+。产，

即/?2=1502+(R-50)2,

解得R=250,

所以这段弯路的半径为25(》〃.

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要

善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.

24.(5分)如图在中，ZC=90°,8。是△八8C的角平分线，点。在4B上，以

点。为圆心，08长为半径的圆经过点。，交BC于点E,交A8于点上

(1)求证：AC是。。的切线；

【分析】(1)连接O。，证明OO〃BC,则NOD4=/C=90°,再根据圆的切线的判定

定理证明AC是。。的切线；

(2)设。0的半径为「，则O8=OG=r,作。G_L8E于点G,证明四边形OOCG是矩

形，在RtA^G中根据勾股定理列方程即可求出r的值.

【解答】(I)证明：如图，连接O。，

•：OD=OB,

；・NODB=/OBD,

〈BD是△ABC的角平分线，

：・/OBD=/DBC,

：,/ODB=/DBC,

：.OD//BC,

・・・NOD4=NC=90°,

••・AC经过。为的半径OD的端点D,且4C_LO。,

JAC是。。的切线.

(2)如图，设。。的半径为广，则08=0。=/，

作OGJ_8E于点G,则8G=EG,ZOGB=90°,

VZODC=ZC=ZOGC=90°,

••・四边形OQCG是矩形，

,:CE=2,CD=4,

：・OG=CD=4,CG=OD=r,

：,BG=EG=r-2,

,：OB2=OG2+BG2.

・,•储-42+(r-2)2,

解得r=5,

・・・OO的半径长为5.

【点评】此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的

关键是正确的作出所需要的辅助线，再利用平行线的性质、矩形的性质、垂径定理等知

识解题.

25.（6分）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱

形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷

泉.安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为，米的地点,

水柱距离湖面的高度为〃米.

d（米）01.03.05.07.0

h（米）3.24.25.04.21.8

请解决以下问题：

（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条K柱最高点距离湖面的高度；

（3）求所画图象对应的函数表达式；

（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一

条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小丁・I米，请通过计算说明公园至少需要准备

多少米的炉栏（不考虑接头等其他因素）

《-------1------1------1------1------------1-------1------1------1------1

1111111111

1111111111

1111111111

1111111111

1111111111

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L_____1____J_____1_____L_____-___1_____1_____L_____1_____」

1111111111

1111111111

1111111111

1111111111

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1_______1____J_____1_____u__________1_____1_____L____1_______1

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1______1____J_____1_____L__________1_____1_____U_____1______1

【分析】（1）根据对应点画图象即可；

（2）由图象可得答案;

（3）利用待定系数法可得关系式；

（4）求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的

周长.

【解答】解：⑴如图，

当d=3时，〃