2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷

2022.2023学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.（4分）空间向量赢-布+菽=（）

A.ABB.CBC.0CD.BC

2.（4分）圆/+伏-2y-3=0的半径是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（4分）抛物线/=盯的焦点到准线的距离是（）

A.1B.2C.4D.8

4.（4分）已知数列｛an｝的前〃项和Sn=n2,则02=（)

A.1B.2C.3D.4

5.（4分）若等差数列｛。〃｝满足。3=-1，44=1,则其前〃项和的最小值为（）

A.-9B.-8C.-7D.-6

6.（4分）设是各项不为0的无穷数列，",6/n+l|2=。〃4“+2”是“（如｝为等比数列

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

22

7.（4分）设尸1,正2是椭圆C：q-七-二1的两个焦点，点P在椭圆C上，|PFi|=4,贝乃尸（）

A.1B.2C.3D.4

8.（4分）如图，在三棱柱4BC-48I。中，CCi_L平面48C,AB=BC=AC=AA\=2.D,E,F

A.平行B.垂直

C.直线在平面内D.相交且不垂直

9.（4分）记S〃为等比数列｛板｝的前〃项和.已知m=-4,则数列｛8｝（）

2

A.无最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，无最小项D.有最大项，有最小项

10.（4分）已知M是圆（x-1）2+y2=\上的动点，则M到直线产船+1（依R）距离的最大值为（）

A.2B.V2+1C.3D.242+1

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

II.（5分）3与7的等差中项为.

12.（5分）直线y=x+l关于），轴对称的直线的方程为.

2外

13.（5分）已知双曲线三-y2=i（〃>o）的一条渐近线方程为x+2），=0,则〃=.

a

14.（5分）能说明“若等比数列｛“〃｝满足则等比数列｛〃“｝是递增数列”是假命题的一个等比数列

伍”｝的通项公式可以是.

15.（5分）平面内，动点M与点尸（1,0）的距离和M到直线x=-1的距离的乘积等于2,动点M的轨

迹为曲线C.给出下列四个结论：

①曲线C过坐标原点：

②曲线C关于X轴对称；

③曲线。与x轴有2个交点；

④点M与点〃（1,0）的距离都不小于«-1.

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（14分）已知点4（0,I）和点8（2,3）是圆C直径的两个端点.

（I）求线段48的中点坐标和圆C的方程；

（II）过点A作圆C的切线/.求切线/的方程.

17.（14分）已知等差数列｛.”｝满足41=1,02+43=5.

（I）求｛板｝的通项公式;

（II）设｛加｝是等比数列，b\=2f加=2历,求数列｛。〃+加｝的前〃项和7〃.

18,（14分）已知抛物线C：）?=4x的焦点为凡

（I）求F的坐标和抛物线C的准线方程；

(II)过点/的直线/与抛物线C交于两个不同点A,B,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个

作为已知，求依阴的长.

条件①：直线/的斜率为1；

条件②：线段A8的中点为M(3,2).

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.

19.(14分)如图，在长方体A4C。-A出中，AB=AD=\,A4i=2,£是棱。Qi的中点.

(I)求证：C1O〃平面人8|£；

(11)求平面ABiE与平面AIBICIOI夹角的余弦值；

(III)求点。到平面ABiE的距离.

20.(15分)已知椭圆C：々+5=1(。>0,b>0)过点夕(2,1),且〃=2爪

a2b2

(I)求椭圆C的方程和离心率；

(II)设。为原点，直线OP与直线/平行，直线/与椭圆。交于不同的两点/，N,直线PM,PN分

别与x轴交于点E,F.当E/都在)，轴右侧时，求证：IOEI+IOQ为定值.

21.(14分)已知｛〃“｝为无穷递增数列，且对于给定的正整数A总存在/,j,使得a£k,哈k,其中/

Wj.令以为满足&Wk的所有i中的最大值，ck为满足的2上的所有)中的最小值.

(I)若无穷递增数列｛〃”｝的前四项是1,2,3,5,求加和C4的值；

(II)若｛“〃｝是无穷等比数列，0=1,公比q是大于1的整数，b3Vb4=b5,C3=C4,求q的值；

(III)若｛。〃｝是无穷等差数列：山=1,公差为2，其中机为常数，且，〃>1,求证：bi,b2,

A，…和Cl,C2,…，Ck，…都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式.

2022・2023学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共1。小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

I.（4分）空间向量赢-而+菽=（）

A.ABB.CBC.ocD.BC

【分析】利用向量线性运算法则直接求解.

【解答】解：空间向量赢-丽+筱=就+筱=皮.

故选：D.

【点评】本题考查向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.（4分）圆,d+）2-2y-3=。的半径是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由题意，把圆的一般方程化为标准方程，从而得到它的半径.

【解答】解：圆"+）?-2y-3=（）,即.d+（y-1）2=4,

故它的半径为2,

故选：B.

【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题.

3.（4分）抛物线f=8〉，的焦点到准线的距离是（）

A.1B.2C.4D.8

【分析】直接利用抛物线的性质写出结果即可.

【解答】解：抛物线/=8y,所以〃=4,抛物线/=8丁的焦点到准线的距离是：4.

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.

4.（4分）已知数列｛〃〃｝的前〃项和S〃=〃2,则42=（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据题意，分别令〃=1,求〃=2,即可得出答案.

【解答】解：・・・S〃=〃2,

:.当n=I时，di=Si=1，

当〃=2时，52=«|+«2=22,解得42=3,

故选：C.

【点评】本题考杳数列的前〃项和求数列的通项，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于

基础题.

5.（4分）若等差数列｛〃〃｝满足43=-1，。4=1,则其前〃项和的最小值为（）

A.-9B.-8C.-7D.-6

【分析】根据已知条件，先求出等差数列｛“〃｝的公差为4再结合。3<（），«4>0,即可求解.

【解答】解：设等差数列仅〃｝的公差为由

则d=a4-a3=1-（-1）=2,

故。2=。3-d=-1-2=-3,。|=。2-d=-3-2=-5,

W/3<0,«4>0,

，其前n项和的最小值为ai+ai+a3=-5-3-1=-9.

故选：A.

【点评】本题主要考查等差数列的前〃项和，属于基础题.

6.（4分）设｛.｝是各项不为0的无穷数列，"V〃6N“，如+|2=GMH2”是“｛4〃）为等比数列”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】根据已知条件，结合充分条件与必要条件的定义，即可求解.

【解答】解：｛如｝是各项不为（）的无穷数列，

*O

V//GN,Cln+1=UnCln+2,

则仅〃｝为等比数列，充分性成立，

｛5｝为等比数列,

则V〃WN*,a〃+|2=a〃a〃+2,必要性成立，

2n

综上所述，“WWN*,an+i=anan+2是“｛〃〃｝为等比数列”的充分必要条件.

故选：C.

【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题.

22

7.（4分）设尸I,凡是椭圆C：号二］的两个焦点，点P在椭圆。上，|PFi|=4,则|P尸2|=（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据椭圆的定义可知「乃|+「阿=2，=6,代入|PFi|的值可得仍的值.

22

【解答】解：•・•椭圆方程为工4=1，点尸在椭圆上,

94

：,\PF\\+\PF2\=2a=6,

V|PFi|=4,

・・・|P户2|=2,

故选：B.

【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属于基础题.

8.（4分）如图，在三棱柱A8O481。中，CCi_L平面ABC,A8=8C=巡，AC=AA\=2.D,E,F

分别为A4i，A1C1,881的中点，则直线环与平面8CO的位置关系是（）

A.平行B.垂直

C.直线在平面内D.相交且不垂直

【分析】根据图形位置关系证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面8C。的法向量，直线

EF的方向向量，判断平面BCO的法向量是否与直线的法向量垂直，判断直线E尸与直线C。是否

垂直，能得到直线与平面的位置关系.

【解答】解：如图，取AC中点连接EM,BM,

,:AB=BC=近,D,E,尸分别为A4,AiCi,881的中点,

二在三棱柱4归1C中,CC1_L平面4BC,

:・EM〃CC\,

.•・£M_L平面ABC,・.・AC,M8u平面ABC,：.EM±AC,EMYMB,

,：AC=AAi=2.."M=4C=1,

・••以M为坐标原点，MA,MB,ME所成直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图,

则B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),£(0,0,2),F(0,2,1),

设平面BC。的法向量为「=（-y,z）,

则日.x+2y=0,令产…得£⑵7,-4),

n*BD=x-2y+z=0

•:而=2#0,EF-DC=1^0,

・•・直线EF与平面3C。相交，且不垂直于平面8C。.

故选：D.

【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空

间思维能力，是中档题.

9.（4分）记S〃为等比数列｛“〃｝的前〃项和.已知m=-4,〃4=2，则数列｛8｝（）

2

A.无最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，无最小项D.有最大项，有最小项

【分析】由m=-4,a4=l,求出公比q,然后根据等比数列的前〃项和公式求出S〃，再分〃为奇数

2

和〃为偶数两种情况求出S的最值.

【解答】解：设等比数列｛板｝的公比为夕.

工

因为ai=-4,d4=X所以q3=：£=2=・所以g=・2，

2ai-482

所以叩32=一4”（［川一当备、

i-qi-（4）332

若〃为奇数，则s产・B・3x（1）”，

332

止匕时Si<S3V…<S〃，Si=-4,

若〃为偶数，则S产・且+旦X（2）〃，

332

此时S2>S4>…>S〃>・3,

3

所以Si最小，52最大.

故选：D.

【点评】本题考查等比数列的性质，考查了分类讨论思想，方程思想和转化思想，属于中档题.

10.（4分）已知“是圆（x・1）2+丁=1上的动点，则”到直饯）,=&•+1（KR）距离的最大值为（）

A.2B.V2+1C.3D.242+1

【分析】直线y=kx+\（.kER）经过定点P（0,I）,由圆（x-1）2+）2=］,可得圆心。（［,。），半径

r=I.可得圆心C到宜线的距离取得最大值时，CP与直线垂直，进而得出结论.

【解答】解：直线），=云+1awR）经过定点户（0,1）,

由圆（X-1）2+）?=%可得圆心c（i,0）,半径厂=1.

则圆心。到直线的距离取得最大值时，与直线垂直，

，M到直线y=lcx+1（.keR）距离的最大值/+（_］）2+r=J5+］.

故选：B.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线距离公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）3与7的等差中项为5.

【分析】根据已知条件，结合等差中项的定义，即可求解.

【解答】解：3与7的等差中项为出=5.

2

故答案为：5.

【点评】本题主要考查等差中项的定义，属于基础题.

12.（5分）直线），=八+1关于），粕对称的直线的方程为尸…1.

【分析】由已知结合直线关于直线对称的特点可求.

【解答】解：直线y=x+l关于），轴对称的直线的方程为），=-x+l.

故答案为：y=-x+\.

【点评】本题主要考查了直线关于直线的对称，属于基础题.

2°

13.（5分）已知双曲线9•-y2=i（〃>（））的一条渐近线方程为/2），=0,则♦=2.

【分析】利用双曲线的渐近线方程求解即可.

20

【解答】解：双曲线3-丫2=1«>0）的一条渐近线方程为x+2y=0,

a

则4=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题.

14.（5分）能说明“若等比数列｛〃〃）满足mVs,则等比数列｛〃“｝是递增数列”是假命题的一个等比数列

｛如｝的通项公式可以是。〃=（-1）〃（答案不唯♦）.

【分析】由已知结合等比数列的通项公式及数列单调性的性质即可求解.

【解答】解：例如等比数列幺=（-I）〃满足但等比数列｛〃〃｝不是递增数列.

故答案为：*=（-I）"（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查了等比数列的性质及数列的单调性，属于基础题.

15.（5分）平面内，动点M与点尸（1,0）的距离和M到直线x=-1的距离的乘枳等于2,动点M的轨

迹为曲线C.给出下列四个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于x轴对称；

③曲线。与x轴有2个交点；

④点M与点”(1,0)的距离都不小于次-1.

其中所有正确结论的序号为②③④.

【分析】将所求点用(x,)，)直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，令x=(),y=()

可判断①；根据-y代入可判断②；令)，=0可解x的值，进而可判断③；利用消元法，然后利用函数的

单调性求最值可判断④.

【解答】解：设动点的坐标为M(x,y),

因为曲线C是平面内与定点F(1,0)和定直线x=-1的距离的积等于2的点的轨迹，

所以J(xT)2+y2,|x+l|=2,

因为当x=0时，y=0,7(0-l)2+02,l°+1l^2,所以曲线。不过坐标原点，故①错误；

因为将；([.1)2+丫2・卜+||=2中的)，用-)，代入,该等式不变，所以曲线。关于x轴对称，故②正确；

令y=()时，个(._])2十丫2・[*+1|=2=>|犬-1||x+l|=2=>x=土故曲线Cyx轴有2个交点，故③正

确；

因为｛(x-l)2+y2・k+"=2,所以——(x-l)解得-

(x+1)2

所以若点M在曲线C上，则|〃Q=J(x_])2+y2=।产^^■=«-],故④正确.

故答案为：②③④.

【点评】本题主要考查轨迹方程，考查运算求解能力，属于本档题.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(14分)已知点A(0,1)和点8(2,3)是圆C直径的两个端点.

(I)求线段A8的中点坐标和圆C的方程；

(II)过点A作圆C的切线/.求切线I的方程.

【分析】(I)由4,6的坐标可得中点C的坐标，进而可得以A4为直径的圆的半径/■的大小，求出圆

的方程；

(II)由(I)可得直线AC的斜率，进而可得过A点的切线的斜率，求出过A点的切线方程.

【解答】解：(I)由题意可得的中点C(1,2),且圆心C(1,2),半径r=|AC|=d心+(27)2

=近,

所以圆C的方程为：(x-1)2+(y-2)2=2；

(11)因为以。=号=1,所以过A定点的切线方程为y=-x+l,

即切线/的方程为：y=-x+1.

【点评】本题考查圆的方程的求法及过一点与圆相切的直线方程的求法，属于基础题.

17.(14分)已知等差数列｛“〃｝满足41=1,42+43=5.

(I)求伍"｝的通项公式；

(II)设｛加｝是等比数列，bi=2,加=2历，求数列｛的+加｝的前〃项和

【分析】(1)由题意解得d=l,代入等差数列的通项公式即可求解；

(II)由题意解得。/=2,代入等比数列的通项公式求得d=2〃，利用等差数列和等比数列的求和公式

即可求解.

【解答】解:(I)•・•等差数列3｝满足小=1，42+43=5,

・・・2m+3d=5,解得d=L

，a〃=l+(n-1)•!=??；

(II);｛加｝是等比数列，b\=2,加=2历,

••・2/=2・2必解得夕=2,

••・瓦=2・2”~1=2〃，

：.(ln+bn=〃+2",

：.Tn=(1+2+3+・・・+〃)+(2+22+-+2N)

=n(l出2(1-2”)

~2

=n(n+1).2“+i_2

【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.

18.(14分)已知抛物线C：)2=4X的焦点为兄

(I)求产的坐标和抛物线C的准线方程；

(H)过点尸的直线/与抛物线C交于两个不同点48,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个

作为已知，求的长.

条件①：直线/的斜率为1；

条件②：线段AB的中点为M(3,2).

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.

【分析】(I)由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程；

(H)若选条件①，可得直线/的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和，由抛物线的性质可得弦

长I人说的值；若选条件②，由中点坐标，可得A,B的横坐标之和，由抛物线的性质可得的值.

【解答】解：（I）由抛物线C：），2=4x的方程可得焦点尸（1,0）,准线方程为x=-1；

（H）由（I）可得产（1,0）,

若选条件①：直线/的斜率为1,则直线/的方程为y=x-1,设A（%［,y］）,3（x2,>,2）,

y=X-1

联立.，整理可得：f・6x・1=0,

y2=4x

显然A>0成立，且XI+X2=6,

由抛物线的性质可得|A用=川+4+〃=6+2=8；

若选条件②：线段4B的中点为M（3,2）,设A（xi,y］）,B（X2,”），

则21+二」=3,+14=2,即XI+X2=6,

22

因为直线I过焦点F的弦长b48|=xi+x2+p=6+2=8,

所以弦长|A8|=8.

【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于中档题.

19.（14分）如图，在长方体ABC。-AIBICIDI中，AB=AD=\t44=2,E是棱力。的中点.

（I）求证：Ci。〃平面AB1E；

（II）求平面AB1E与平面AiBiCDi夹角的余弦值;

（IH）求点。到平面的距禽.

【分析】（I）利用线面平行的判定定理即可证明；

（II）用向最数量积计算两平面所成角余弦值；

（III）用向量数量积点。到平面的距离.

【解答】（I）证明：因为A4CO-4/3iCiQi是长方体,

所以81C1=8C且B\C\//BCf

可得四边形B1C1BC是平行四边形，

所以C\D//AB\t

又CiOU平面48iE,

48iu平面AB\E,

所以〃平面AHiE；

([I)解：建系如图，A(0,0,0),E(0,1,1),Bi(1,0,2),

AE=(0，l，1)»AB；=(1，0，2),

令7=(2,1,-1),

因为前・彳=0，AB；.1=3所以7是平面的法向量，

平面AIBCIQI的法向量是；=(0,0,1),

所以平面石与平面AiBCQi夹角的余弦值为|1n・♦|=」=渔.

ImI•InIV66

(III)解：Ci(1,1,2),而=(1,1,2),

点Ci到平面AB\E的距离"=」AC^jm|,=|2+公21=亚,

【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角计算问题，考查了直线与平面成角问题,

属于中档题.

22

20.(15分)已知椭圆C：三邑=1(。>°，b>0)过点尸(2,1),且。=2尻

a2b2

(I)求椭圆C的方程和离心率；

(II)设。为原点，直线。户与直线/平行，直线/与椭圆。交于不同的两点M,N,直线PM,PN分

别与x轴交于点E,F.当E,尸都在)，轴右侧时，求证：|0目+|0川为定值.

22

【分析】(I)由已知可得工^'=1,椭圆过点P(2,1),可求力，进而可求椭圆C的方程和离心

4b2b2

率；

(II)设直线/的方程为y=L+〃?，M(xi>vi),N(X2,”)，联立方程组可得xi+x2=-2〃?，.•.xix2

'2

l-y1

=2m2-4,直线MP的方程为y-1=——^(x-2),可得E点的坐标，同理可得尸的坐标，进而计算

2-X]

可得I0E1+I0A为定值.

22

【解答】解：(I)由椭圆C：%三=1(〃>(),b>0)以及〃=24

a2b2

工+<=1,又椭圆过点尸(2,1),

4b2b2

—^―+-^-=I»解得户=2,/.a2=8,,:a=2yn，c=V6

4b2b2

••・椭圆C的方程为式+2=1,离心率《=返:

822

(II),,"OP=1,又直线。尸与直线/平行,・，・设直线/的方程为y=/+m,M(xi>yi)>N(0”),

2

_1

y=yx+m

由,消去y得21+4〃d+4〃--8=0,

x2+4y2=8

l-y1

^.x\+x2=-2m,：.x\xi=2nr-4,直线MP的方程为y-\=-----(x-2),

2-x]

2~x

令y=0得x=2-------

5

2一x2一x

故点七(2------0),同理可得尸(2-——0),

1-V11-^2

•・•£尸都在y轴右侧,

2-X12-Xn2-X12-X-n

：.\OE\+\OF]=\2-----|+|2-----|=2----U2-----

1-Yil-y21-Yil-y2

_(2-X1)(l-y2)+(2-x2)(l-yp_(2-X1)(l-m-yx2)+(2-x2)(l-m-yX1)

(1-yP(l-y2)(1-yp(l-y2)

+

4(1-m)-(1-m)(x1+x2)-(x1+x2)x1X2

(l-yP(l-y2)

4(1-m)—(1-m)(-2m)+2m+2m2-4

=4-=4(定值).

(1-Yi)(l-y2)

【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力,

属中档题.

21.（14分）已知｛斯｝为无穷递增数列，且对于给定的正整数总存在i,，，使得sW"aj，k,其中i

WJ.令以为满足aWA的所有i中的最大值，ck为满足勾2A的所有/中的最小值.

（I）若无穷递增数列｛〃〃｝的前四项是1,2,3,5,求〃4和。4的值；

（II）若｛如｝是无穷等比数列，。1=1,公比q是大于I的整数，b3cb4=b5,C3=C4,求q的值；

（III）若｛〃“｝是无穷等差数列，m=l,公差为2，其中〃?为常数，且，〃>1,〃?6N”,求证：bi,历，

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"…和ci,