2025-2026学年广东省广州六中等学校高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州六中等学校高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在数列{an}中，a1=2，aA.−1 B.12 C.2 D.2.如图，在四面体OABC中，AG=4GB.设OA=aA.14a+34b−c

B.3.一束光线从点P(−2,−1)射出，与直线l：x−y=0相交于点Q(1,1).经直线l反射，则反射光线所在直线的方程为(

)A.3x−2y−1=0 B.2x−3y+1=0 C.3x+2y−5=0 D.2x+3y−5=04.已知方程kx2+y2−2=0(k∈R)A.当k=0时，曲线C表示一条直线 B.当k>0时，曲线C表示椭圆

C.当k<0时，曲线C表示双曲线 D.存在实数k，使得曲线C为抛物线5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍.则该塔中间层(即第四层)悬挂灯的盏数为(

)A.12 B.24 C.27 D.486.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A.5+132 B.2 C.5+7.如图所示，四边形ABCD为正方形，将△ACD绕AC翻折得到三棱锥D′−ABC，且D′B=22AB，若三棱锥D′−ABC的体积为32A.36π B.24π C.6 36 π8.记椭圆x24+y23=1的右焦点为F，右顶点为A，直线l过F且与椭圆交于P，Q两点，T为坐标平面上一点，若△PQT的重心为原点A.−68 B.−64二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知a1=19A.a2=13 B.a62=a8a1010.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px的焦点为F，准线为x=−2.直线x=ty+2交抛物线于A，B两点，直线x=ty+4交抛物线于C，D两点，其中A，C位于第一象限.以下说法正确的有(

)A.p=4 B.若|AF|=6，则|AB|=9

C.存在实数t，使∠COD为直角 D.若AD⊥x轴，则t=11.如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，动点PA.当a=13时，三棱锥C1−PBB1的体积为19

B.当a+b=1时，PB+PB1的最小值为6

C.若直线BP与BD所成角为π6，则动点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设空间向量a=(1,−1,−3)，b=(t,0,−1)，若(a−b)⊥a，则13.已知圆C1：x2+y2=4与圆C14.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=m，且对任意的n∈N∗都有an+an+1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，且2Sn=(n+1)an．

(1)求证：{an16.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，圆A：x2+y2−2ay=0(a>0)被直线x+y−1=0截得的弦长为27．

(1)求实数a的值；

(2)直线l：x−y−4=0上有一点P，过点P作圆A的两条切线PB，PC，切点为B，C.若四边形PBAC17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知(a+b+c)(a−b+c)=3ac，且cosA=5143．

(1)求B；

(2)若D在边AC上，且AD=2DC18.(本小题17分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=BC，平面APC⊥平面ABC．

(1)若PB⊥BC，证明：PA⊥平面ABC；

(2)若∠APC=90°，且直线AB与平面PBC所成角为45°，求PCBC．19.(本小题17分)

已知双曲线M：x2a2−y2b2=1(a,b>0)左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，P(2,3)在M上，O为坐标原点．

(1)求M的方程；

(2)设直线l与M右支交于A，B两点，且直线PA，PB倾斜角互补，记AB中点为Q．

(i)判断直线OQ参考答案1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】8

13.【答案】(−24,16)

14.【答案】13或−12

15.(1)证明：当n≥2时，有2Sn=(n+1)an2Sn−1=nan−1，

两式相减得：2an=(n+1)an−nan−1，即(n−1)an=nan−1，

所以ann=an−1n−1(n≥2)，

又a1=2，所以a11=21=2，

所以数列{ann}是从第1项起，所有项均等于首项2的常数列，

故{ann}是常数列．

(2)解：由(1)可知，ann=2，

所以an=2n，

所以bn=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，

所以Tn=11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)=12(11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)

=12(1−12n+1)=n2n+1．

16.解：(1)由题意平面直角坐标系xOy中，圆A：x2+y2−2ay=0(a>0)17.解：(1)由(a+b+c)(a−b+c)=3ac，

整理可得：a2+c2−b2=ac，

由余弦定理可得a2+c2−b2=2accosB，

可得cosB=12，

又B∈(0,π),B=π3；

(2)由(1)可知cosB=12,sinB=32，

又cosA=5143，可得sinA=1−cos2A=1114，

在△ABC中，sinC=sin18.(1)证明：由BP⊥BC，AB⊥BC，BP∩AB=B，BP，AB⊂平面APB，

则CB⊥平面APB，AP⊂平面APB，则CB⊥AP，

取AC中点H，连接BH，AB=BC，则BH⊥AC，

又平面APC⊥平面ABC，平面ABC∩平面APC=AC，BH⊂平面ABC，

所以BH⊥平面APC，AP⊂平面APC，故BH⊥AP，

由BH∩BC=B，BH，BC⊂平面ABC，

则AP⊥平面ABC；

(2)解：以AC中点H为原点，HB，HC方向为x轴和y轴，建立如图所示坐标系，

设AC=2a，则A(0,−a,0)，B(a,0,0)，C(0,a,0)，P(0,m,n)，其中m2+n2=a2，

故AB=(a,a,0),BC=(−a,a,0),PB=(a,−m,−n)，

记平面BPC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅BC=0n⋅PB=0，即−ax+ay=0ax−my−nz=0，

令x=y=1，所以n=(1,1,a−mn)，

可得n⋅AB=a+a+0=2a，|n|=1+1+(a−mn)2=2+(a−mn)2，|AB|=2|a|，

可得cos<n，AB>=n⋅AB|n|⋅|AB|=2a2+(a−mn)2⋅2|a|，

因为直线AB与平面PBC所成角为45°，

所以sin45°=22=|cos<n，AB>|=|2