江苏省常州市天宁区正衡中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．的相反数是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．﹣2．常州的新能源产业澎湃起势．2024年，常州新能源产业产值超8500亿元．数字8500用科学记数法表示为（）A．8.5×103 B．8.5×104 C．0.85×104 D．8.5×1053．如图，已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为4，则该点可能是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N4．下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧5．若方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x1和x2，则x1+x2＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AC＝12，DE＝6，EF＝3，则BC为（）A．3 B．4 C．5 D．67．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm8．如图，汽车以速度V（m/s）匀速行驶，若一路绿灯通过路口A、B、C、D且10≤V≤30，则称V为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔30s交替一次，其余因素忽略不计．设汽车在第0秒出发，行驶ts后路程为Sm．下列选项表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况，“”表示绿灯亮，“”表示红灯亮．能反映速度V为绿灯速度的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．计算：＝．10．把多项式x2y﹣4y分解因式的结果是．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝3，那么AC长为．12．圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为43cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．（结果保留π）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是．14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“衡”稳重、美观．已知点E为BC的黄金分割点，若BC＝2，则CE的长为．（结果保留根号）15．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为60m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧AB）长度为m．（结果保留π）16．如图，A楼高32米，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至正午时太阳光线与水平面的夹角为30°．若A，B两楼相距20米，则A楼落在B楼上的影子DF有米．17．我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP＝3，则半径的长为．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，由两个全等的矩形ABCD、矩形OEFG组成了“T”字形，AB＝2，BC＝8，BO＝3，若将矩形ABCD从如图位置沿着x轴方向平移中，使得点A落在点O处；整个过程中，用一个最小面积的圆（半径可变）将这个图案完全覆盖，则圆心经过的路程是．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答）19．先化简，再求值：，其中x＝3．20．解方程或不等式组：（1）解方程x2﹣3x+2＝0；（2）解不等式组．21．青少年体重指数（BMI）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式，其计算公式：BMI＝（kg/m2），其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（BMI）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，某数学实践小组开展了调查．等级偏瘦A标准B超重C肥胖D男BMI≤15.715.7＜BMI≤22.522.5＜BMI≤25.4BMI＞25.4女BMI≤15.415.4＜BMI≤22.222.2＜BMI≤24.8BMI＞24.8【数据收集、数据整理】小组成员通过问卷调查，收集数据，并绘制统计图．【问题解决、作出决策】根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查的总人数为，并补全条形统计图；（2）一位男生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则他的体重指数BMI属于等级；（填A、B、C、D）（3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？22．学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（A：泥塑、B：机器人编程、C：航空航天VR体验），小红和小丽两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验．（1）小红选择A项目的概率是；（2）用画树状图或列表等方法求小红和小丽选择不同体验项目的概率．23．有一根10m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为6m2的矩形？请求出这个矩形的长和宽．（用一元二次方程的知识解决）24．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数为（x＞0）的图象交于A（4，1），B（，a）两点，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q．（1）直接写出两个函数的解析式；（2）当x＞0且y1＞y2时，x的取值范围是；（3）设点P的横坐标为2，①第一象限内，以原点O为位似中心，将△OPQ按位似比2：1放大，则点P的对应点的坐标是；②求△POQ的面积．25．【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务：汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．素材一在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域．素材二如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m．问题解决任务一（1）如图2，求车头盲区EF的长度；任务二（2）如图2，在M处有一个高度为0.6m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由．26．如图，点P是⊙O外一点，过点P的直线m与⊙O交于点A，过点A作弦AB，连接PB，PB经过圆心，与⊙O交于点E，连接AE，且满足∠PAE＝∠PBA．（1）在图1中，求证：直线m是⊙O的切线；（2）图2中，过点P作直线n∥AB，直线AE与直线n交于点K，直线n与圆O相切，切点是C，AP＝AB．①求∠B的度数；②若AK＝3，求⊙O的半径．27．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，且AD＞BD，点E是边AC上一动点（点E不与点A、点C重合），连接DE，过点C作CF⊥DE，交线段ED于点G，交线段AD于点F．（1）如图①，求证：△DCE∽△FBC．（2）如图②，若FC＝FB，BD＝2，CD＝4，分别求线段CF、线段DE的长．（3）若BD＝3，CD＝4，连接EF，且△EFG与△CDG相似，请直接写出CE的长．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在点Q，使得△CPQ是直角三角形且∠PCQ＝α（α≠90°），则称点P是⊙C的关联点，称α为点P与⊙C的关联角．（1）如图，⊙O的半径为2．①判断：点P1（，0），P2（4，0）是⊙O的关联点吗？若是，请直接写出该点与⊙O的关联角度；若不是，请说明理由；②点B是平面内一点，点D（m，3），当﹣3≤m≤3时，以D为圆心、BD为半径的圆上的所有点都是圆O的关联点，则线段BD的长度l的取值范围为；（2）已知点E（1，2），F（3，4），T（t，3﹣t），t＞0，圆T的半径为4，若线段EF上的所有点都是圆T的关联点，且这些点与圆T的关联角度都不超过60°，直接写出t的取值范围．2025-2026学年上学期九年级期中数学参考答案一．选择题（共8小题）题号12345678答案DA．DDABDC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．．10．y（x+2）（x﹣2）．11．4．12．1290π．13．c＜．14．﹣1．15．40π．16．12．17．2．18．．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答）19．解：＝（）÷＝（）×＝，当x＝3时，原式＝．20．解：（1）x2﹣3x+2＝0（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2；（2）m解不等式①，得：x＞3，解不等式②，得：x＜5，即不等式组的解集为：3＜x＜5．21．解：（1）本次调查的总人数为：（8+5）÷13%＝100；B等级的女生人数为：100×71%﹣32＝39，补全条形统计图如下：故答案为：100；（2）＝20，他的体重指数BMI属于B等级．故答案为：B；（3）2000×＝200（人），答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为200人．22．解：（1）小红选择A项目的概率是．故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能结果，其中小红和小丽选择不同体验项目，有6种，∴小红和小丽选择不同体验项目的概率＝．23．解：设这个矩形的长为xm，则这个矩形的宽为＝（5﹣x）m，根据题意得：x（5﹣x）＝6，整理得：x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3，当x＝2时，5﹣x＝5﹣2＝3＞2，不符合题意，舍去；当x＝3时，5﹣x＝5﹣3＝2＜3，符合题意．答：这个矩形的长为3m，宽为2m．24．解：（1）∵反比例函数为（x＞0）的图象经过点A（4，1），∴m＝4×1＝4，∴反比例函数解析式为y2＝（x＞0）．把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．∴点B坐标为（，8），∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8），∴，∴，故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．（2）由图象可得，当x＞0且y1＞y2时，x的取值范围是＜x＜4．故答案为：＜x＜4；（3）把x＝2代入y＝﹣2x+9得，y＝5，∴P（2，5），①以原点O为位似中心，将△OPQ按位似比2：1放大，则点P的对应点的坐标是（4，10），故答案为：（4，10）；②把x＝2代入y＝得，y＝2，∴Q（2，2），∴PQ＝5﹣2＝3，∴S△POQ＝＝＝3．25．解：（1）根据题意知AB⊥BF，CD⊥BF，BE＝2m，DE＝0.5m，∴BD＝BE﹣DE＝2﹣0.5＝1.5（m），∴△FCD∽△FAB，∴，且FB＝FD+BD＝FD+1.5，∴＝，解得FD＝3，经检验，FD＝3是原分式方程的解，∴FD＝3m，∴EF＝FD﹣DE＝3﹣0.5＝2.5m；（2）能，理由如下：如图，过点M作MN⊥FB交AF于点N，∴FM＝EF﹣ME＝2.5﹣0.8＝1.7（m），FD＝3m，MD＝ME+DE＝0.8+0.5＝1.3（m），∴△FMN∽△FDC，∴，∴MN＝＝≈0.57（m），∵0.57＜0.6，∴驾驶员能观察到物体．26．（1）证明：连接OA，如图，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵BE为圆的直径，∴∠EAB＝90°，∴∠OEA+∠PBA＝90°，∵∠PAE＝∠PBA，∴∠OAE+∠PAE＝90°，即∠OAP＝90°，∴OA⊥AP，∵OA为圆的半径，∴直线m是⊙O的切线；（2）解：①连接OA，如图，由（1）知：∠OAP＝90°，∴∠APB+∠AOP＝90°，∵AP＝AB，∴∠B＝∠APB，∵∠AOP＝2∠B，∴∠B+2∠B＝90°，∴∠B＝30°．②连接OC，如图，∵直线n∥AB，∴∠PBC＝∠B＝30°，∵∠APB＝∠B＝30°，∴∠APK＝60°，∵∠PAE＝∠PBA＝30°，∴∠AKP＝90°，∵AK＝3，∴PK＝AK＝，∴AP＝2PK＝2，∵OA⊥AP，∴OA＝PA＝2．∴⊙O的半径为2．27．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∠ACB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠DCE＝90°，∴∠B＝∠DCE，∵CD⊥AB，CF⊥DE，∴∠BFC＝90°﹣∠FDE＝∠CDE，∴△DCE∽△FBC；（2）解：如图：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∠ACB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠DCE＝90°，∴∠B＝∠DCE，∵CD⊥AB，CF⊥DE，∴∠BFC＝90°﹣∠FDE＝∠CDE，∴△DCE∽△FBC，∴＝，∵BF＝CF，∴CD＝DE＝4，设BF＝CF＝m，则DF＝BF﹣BD＝m﹣2，由勾股定理可得，DF2+CD2＝CF2，∴（m﹣2）2+42＝m2，解得m＝5，∴BF＝CF＝5；（3）解：∵∠CGD＝∠EGF，∴△EFG与△CDG相似，只需∠CDG＝∠FEG或∠CDG＝∠EFG，①当∠CDG＝∠FEG时，此时如图：EF∥CD，∵BD＝3，CD＝4，CD⊥AB，∴BC＝＝＝5，∵∠B＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，∠BDC＝90°＝∠DCA，∴△BDC∽△CDA，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝，AC＝，∵EF∥CD，∴＝，∴＝，∴DF＝CE，设CE＝x，则DF＝x，由（1）知：△DCE∽△FBC，∴＝，∴＝，解得x＝（负值舍去），∴x＝；②当∠CDG＝∠EFG时，∵CF⊥DE，CD⊥AB，∴∠CDG＝90°﹣∠GDF＝∠DFG，∴∠EFG＝∠DFG，∵∠DGF＝90°＝∠EGF，GF＝GF，∴△DGF≌△EGF（ASA），∴DG＝EG，∴CF是DE的垂直平分线，∴CE＝CD＝4，综上所述，CE的长为或4．28．解：（1）①如图，AP1⊥x轴，OB⊥BP2，根据定义可知，当点P不在⊙O上时都是⊙O的关联点，则点P1和P2都是⊙O