人教版八年级数学下册《二次根式的加法与减法》专项测试卷及答案

第第页人教版八年级数学下册《二次根式的加法与减法》专项测试卷及答案知识点梳理01：同类二次根式1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如知识点梳理02：二次根式的加减1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。2.二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点梳理03：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）题型1：同类二次根式【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若与最简二次根式可以合并，则m的值为（）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二根式的定义是解题的关键，根据同类二次根式的定义解题即可．【规范解答】解：∵与可以合并∴解得：．故选：A．【变式训练1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是【答案】3【思路点拨】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值．【规范解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式∴解得故答案为：3．【变式训练2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答．【规范解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、与是同类二次根式，故B符合题意；C、与不是同类二次根式，故C不符合题意；D、与不是同类二次根式，故D不符合题意；故选：B．题型2：二次根式的加减运算【典例精讲】（23-24八年级下·河南新乡·期中）若则表示实数a的点会落在数轴的（）A．段①上 B．段②上 C．段③上【答案】B【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简减法运算及估算先化简二次根式计算出的值再估算出范围再结合数轴即可得出结果．【规范解答】解：∵即即故实数的点会落在数轴的段②上故选：B．【变式训练1】（2023·浙江杭州·中考真题）计算：．【答案】【思路点拨】本题主要考查二次根式的化简与减法运算掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简再进行二次根式的减法运算即可求解．【规范解答】解：．故答案为：．【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列计算中正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【思路点拨】本题考查二次根式的运算性质根据二次根式乘方加减乘法和平方根的性质求解即可．【规范解答】解：选项A：本选项计算错误．选项B：本选项计算错误．选项C：而本选项计算错误．选项D：与右边相等本选项计算正确．故选：D．题型3：二次根式的混合运算【典例精讲】（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算：．【答案】【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算利用平方差公式和完全平方公式化简后再进行加减运算即可．【规范解答】解：．【变式训练1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）计算：．【答案】7【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂和零指数幂解题的关键是正确化简二次根式．先化简二次根式和计算零指数幂负整数指数幂再进行括号内二次根式的减法运算然后进行乘除运算最后进行加减运算．【规范解答】解：．【变式训练2】（24-25八年级下·云南红河·期末）计算：．【答案】【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键因此此题可根据二次根式的混合运算法则进行求解．【规范解答】解：原式．题型4：分母有理化【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）先化简再求值：其中．【答案】化简结果：原式【思路点拨】本题考查了分式的除法运算和二次根式的化简熟知运算法则是解题的关键．先将分式的除法运算转化为乘法运算并约分再将a的值代入计算即可．【规范解答】解：当时原式．【变式训练1】（25-26八年级下·四川成都·月考）比较大小：（填“”“”或“”）．【答案】【思路点拨】本题考查了无理数的大小比较分母有理化通过有理化分母将化简为再比较与的大小．【规范解答】解：．由于故因此．故答案为：．【变式训练2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）先化简再求值：其中．【答案】【思路点拨】本题考查了分式的化简求值分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算同时利用除法法则变形约分得到最简结果把m的值代入计算即可求出值．【规范解答】解：当时原式=．题型5：已知字母的值化简求值【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知求下列各式的值．(1)．(2)．【答案】(1)4(2)【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算熟练掌握运算法则是解题关键．（1）根据将的值代入计算即可得（2）根据将的值代入计算即可得．【规范解答】（1）解：∵∴．（2）解：∵∴．【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若求代数式的值．【答案】13【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值．先求得和的值再化简得到然后整体代入求解即可．【规范解答】解：∵∴∴．【变式训练2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若则代数式的值为．【答案】8【思路点拨】本题考查了完全平方公式变形求值二次根式的化简求值熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用配方法可得再代入计算即可得．【规范解答】解：∵∴故答案为：8．题型6：已知条件式化简求值【典例精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知求的值．【答案】【思路点拨】本题考查的是二次根式的化简求值能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简再分同正或同负两种情况作答．【规范解答】解：同号原式当时原式当时原式故原式．【变式训练1】（24-25八年级下·山东日照·月考）已知求的值．【答案】【思路点拨】本题考查的是已知条件式求解分式的值由条件可得再计算分式的混合运算最后代入计算即可．【规范解答】解：∵∴∴.【变式训练2】（24-25八年级下·广西·期中）已知则的值为．【答案】9【思路点拨】本题考查完全平方公式的应用二次根式的运算熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方然后求解即可．【规范解答】解：∵∴∴即∴故答案为：9．题型7：比较二次根式的大小【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）比较大小：．【答案】【思路点拨】本题考查比较二次根式的大小．先把根号外边的数移到根号里面再比较被开方数的大小即可．【规范解答】解：即故答案为：．【变式训练1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知那么ab的大小关系是ab（填“>”或者“<”）．【答案】<【思路点拨】本题考查无理数的估算和比较大小掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可．【规范解答】解：∵．故答案为：．【变式训练2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：．（填><=）【答案】【思路点拨】本题考查了实数大小比较首先比较出和的平方的大小关系然后根据：哪个数的平方大则哪个数也大判断出它们的大小关系即可．【规范解答】解：∵∴∴∴故答案为：．题型8：二次根式的应用【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知三角形的三边的长分别为求三角形的周长．（结果化为最简）【答案】【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算直接把三角形的三边长相加再进行二次根式混合运算即可．【规范解答】解：三角形的周长为．【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图已知长方体的体积为长为宽为．(1)求这个长方体的高(2)求这个长方体的表面积．【答案】(1)(2)【思路点拨】本题主要考查了长方体的体积以及表面积公式二次根式混合运算的应用．（1）根据长方体的体积公式即可求出高（2）根据长方体的表面积公式求解即可．【规范解答】（1）解：这个长方体的高（2）解：表面积为．【变式训练2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图在长方形中无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片则剩余部分的面积为．【答案】4【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算及应用由两张正方形纸片面积分别为和则两张正方形纸片边长分别为和然后利用面积公式即可求解熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．【规范解答】解：∵两张正方形纸片面积分别为和∴两张正方形纸片边长分别为和∴剩余部分的面积故答案为：．题型9：复合二次根式的化简【典例精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为．【答案】5【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值正确应用完全平方公式是解题关键．直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案．【规范解答】解：故答案为：5．【变式训练1】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算：【答案】【思路点拨】本题考查了二次根式的运算完全平方公式熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据完全平方公式把式子化简再进行计算．【规范解答】解：．【变式训练2】（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知则（）A． B． C． D．2a【答案】C【思路点拨】本题考查复合二次根式的化简完全平方公式令得出代入原式得解得得出进而可得出答案【规范解答】解：令∴∴∴移项两边平方得解得：∴∴故选：C.1．（2024·河南郑州·中考真题）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【思路点拨】本题主要考查了二次根式的运算正确掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算判断即可．【规范解答】A计算错误不符合题意B计算错误不符合题意C计算错误不符合题意D计算正确符合题意．故选：D．2．（2024·贵州贵阳·中考真题）下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【思路点拨】本题考查了二次根式的运算法则掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键．利用二次根式的运算法则逐项判断即可．【规范解答】解：A．与不是同类二次根式不能合并故该选项错误不符合题意B．故该选项错误不符合题意C．故该选项错误不符合题意D．故该选项正确符合题意．故选D．3．（2024·四川南充·中考真题）如图菱形与菱形中EF在上下列结论：①②③④正确的有个．【答案】4【思路点拨】此题主要考查了菱形的性质二次根式的混合运算以及勾股定理等知识．利用菱形的对角线平分对角结合利用勾股定理表示出的长进而即可解决问题．【规范解答】解：过点E作于点M连接交于点O如图所示：∵四边形与四边形都是菱形点EF在上∴∴和都是等边三角形设菱形的边长为∴∴∴∴故①正确则在中则那么∴在中则∴故②正确那么则∴故③正确设则∵∴∵∴解得∵∴∴∴故④正确综上正确的有①②③④共4个故答案为：4．4．（2024·全国·中考真题）如图四边形中在上分别找一点MN使周长最小则最小值为．【答案】【思路点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识根据已知得出MN的位置是解题关键．根据要使的周长最小即利用点的对称让三角形的三边在同一直线上作出A关于和的对称点即可得出最短路线再利用勾股定理求出即可．【规范解答】解：作A关于和的对称点连接交于交于则即为的周长最小值作交的延长线于∴∵∴在中∵∴∴在中∴周长的最小值．故答案为：．5．（2024·云南丽江·中考真题）计算：．【答案】【思路点拨】此题考查了二次根式的混合运算实数的运算熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用零指数幂负整数指数幂法则绝对值的性质二次根式的乘法与化简计算即可得到结果．【规范解答】解：．基础夯实1．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：…则第6个二次根式为（）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题找到规律是解题的关键根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是进而求解．【规范解答】解：∵第n个二次根式为∴当时∴第6个二次根式为故选：D．2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）按一定规律排列的实数：2…第200个数是（）A．10 B． C．20 D．【答案】C【思路点拨】本题主要考查了与实数有关的规律探索化简二次根式观察发现被开方数是序号的2倍据此规律求解即可．【规范解答】解：第一个数为第二个数为第三个数为第四个数为……以此类推可知第个数为∴第个数是故选：C．3．（24-25八年级下·云南红河·期末）数学老师给出了以下四个代数式：①②③④且告知．小兴发现：若重新排列顺序后4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式则下列排序正确的是（）A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④【答案】B【思路点拨】本题考查了二次根式的大小比较将每个代数式进行平方运算再比较结果的大小进而即可求解掌握二次根式的性质是解题的关键．【规范解答】解：∵∴即∴∴代数式从小到大顺序为④②③①故选：．4．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算【答案】【思路点拨】本题主要考查了二次根式的加减运算通过合并同类项即可求解．【规范解答】解：．故答案为：．5．（24-25八年级下·云南红河·期末）化简的结果是．【答案】【思路点拨】此题考查了二次根式的减法运算．先化简再进行二次根式的减法即可．【规范解答】解：故答案为：6．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式与是同类二次根式则m的值为．【答案】1【思路点拨】本题考查了同类二次根式的定义．根据同类二次根式的定义被开方数相同列方程求解即可．【规范解答】解：由题意得：解得．故答案为：1．7．（24-25八年级下·四川泸州·期中）的倒数是．【答案】【思路点拨】本题考查了倒数的定义和分母有理化要将中的根号去掉要用．先写出倒数再直接分母有理化即可．【规范解答】解：的倒数是．故答案为：．8．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年）古希腊几何学家在数学史上以解决几何测量问题闻名在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为abc记那么这个三角形的面积．如图在中．求的面积．【答案】【思路点拨】本题考查了“海伦公式”的应用二次根式代数式求值掌握知识点是解题的关键．将代入公式计算得出然后再代入计算即可得出答案．【规范解答】解：∵∴．9．（24-25八年级下·云南红河·期末）计算：【答案】【思路点拨】本题考查实数的混合运算二次根式的混合运算零指数幂和负整数指数幂熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先进行乘方去绝对值零指数幂和负整数指数幂平方差公式的计算再进行加减运算即可．【规范解答】解：原式．10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论当地面上的时间经过1秒时在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒则地面上的时间经过了10分钟时该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？【答案】6分钟【思路点拨】本题主要考查了二次根式的应用解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键．先求出当地面上的时间经过1秒时宇宙飞船内经过的时间即可求解地面上的时间经过了10分钟时该宇宙飞船内经过的时间．【规范解答】解：依题意当地面时间经过10分钟即600秒时飞船内经过的时间为秒即6分钟答：当地面经过10分钟时该宇宙飞船内的时间经过了6分钟．培优拔高11．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）若的整数部分为小数部分为则的值是（）A． B． C．29 D．3【答案】D【思路点拨】本题考查了二次根式的运算正确确定的整数部分与小数部分的值是关键．首先根据的整数部分确定的整数部分的值则即可确定然后代入所求代数式计算即可求解．【规范解答】解：的整数部分则小数部分是：则则故选：D．12．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列运算中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算与化简根据二次根式的运算法则和性质分别计算各选项后再进行判断即可．【规范解答】解：A2与不是同类二次根式不能合并故此选项不符合题意B与不是同类二次根式不能合并故此选项不符合题意C计算正确符合题意D原选项计算错误故不符合题意故选：C．13．（24-25八年级下·重庆·期末）已知则的值为（）A．0 B． C．1 D．【答案】D【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形凑成完全平方的形式根据非负数的性质求出和的值进而计算．【规范解答】解：∵∴∴∴解得∴故选：D．14．（23-24八年级下·上海·期末）计算：．【答案】【思路点拨】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化将其转化为整式与根式的和再结合另一项的化简结果合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算涉及的知识点是二次根式的化简平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法利用平方差公式消除分母中的根号以及合并同类二次根式法简化计算．解题关键是正确进行分母有理化注意符号的变化．易错点是分母有理化时符号处理错误或化简时计算失误．【规范解答】解：．故答案为：．15．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数mn定义运算※为：m※n＝计算的结果为．【答案】【思路点拨】本题考查的是二次根式的运算新定义运算的含义根据新定义运算规则分别计算和再利用二次根式的混合运算法则计