2026届湖南省名校联盟高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析

2026届湖南省名校联盟高一下数学期末质量跟踪监视试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，则（）A．12 B． C． D．82．已知圆C的半径为2，在圆内随机取一点P，并以P为中点作弦AB，则弦长的概率为A． B． C． D．3．将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（）A． B． C． D．4．已知点在直线上，若存在满足该条件的使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知一个等比数列项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的3倍，则这个数列的公比为（）A．2 B．3 C．4 D．66．若向量满足：与的夹角为，且，则的最小值是（）A．1 B． C． D．27．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．在中，角的对边分别为,，且边，则面积的最大值为（）A． B． C． D．9．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m），则该几何体的体积为（）A． B． C． D．10．已知实数m，n满足不等式组则关于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6mn＝0的两根之和的最大值和最小值分别是()A．7，－4 B．8，－8C．4，－7 D．6，－6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．点关于直线的对称点的坐标为_____．12．如图，在三棱锥中，它的每个面都是全等的正三角形，是棱上的动点，设，分别记与，所成角为，，则的取值范围为__________．13．函数的反函数为____________．14．已知当时，函数（且）取得最大值，则时，的值为__________．15．已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是.16．某工厂生产三种不同型号的产品,产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本,样本中种型号产品有16件,那么此样本的容量=三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某工厂共有200名工人，已知这200名工人去年完成的产品数都在区间（单位：万件）内，其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成5组，第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（2）现从（1）中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验，求选取的2名工人在同一组的概率.18．有一款手机，每部购买费用是5000元，每年网络费和电话费共需1000元；每部手机第一年不需维修，第二年维修费用为100元，以后每一年的维修费用均比上一年增加100元.设该款手机每部使用年共需维修费用元，总费用元.（总费用购买费用网络费和电话费维修费用）（1）求函数、的表达式：（2）这款手机每部使用多少年时，它的年平均费用最少？19．已知在三棱锥S-ABC中，∠ACB=，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.20．已知函数．（I）求的最小正周期；（II）求在上的最大值与最小值．21．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为，，，乙协会编号为，丙协会编号分别为，，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据向量的坐标表示求出，即可得到模长.【详解】由题，，所以.故选：C【点睛】此题考查向量的数乘运算和减法运算的坐标表示，并求向量的模长，关键在于熟记公式，准确求解.2、B【解析】

先求出临界状态时点P的位置，若，则点P与点C的距离必须大于或等于临界状态时与点C的距离，再根据几何概型的概率计算公式求解.【详解】如图所示：当时，此时,若，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半径为2的圆环内，所以弦长的概率为：.故选B.【点睛】本题主要考查几何概型与圆的垂径定理，此类题型首先要求出临界状态时的情况，再判断满足条件的区域.3、D【解析】

利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，对称性和周期性，求得函数的最小正周期为，由此得出结论．【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，根据所得到的函数图象关于轴对称，可得，即，．函数的最小正周期为，则函数的最小正周期不可能是，故选．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，对称性和周期性，属于基础题．4、B【解析】

根据题干得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即，再根据均值不等式得到最小值为9，再由二次不等式的解法得到结果.【详解】点在直线上,故得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即故原题转化为故答案为：B【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.5、B【解析】

由数列为等比数列，则，结合题意即可得解.【详解】解：因为数列为等比数列，设等比数列的公比为，则，又是奇数项之和的3倍，则，故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的性质，重点考查了等比数列公比的运算，属基础题.6、D【解析】

设作图，由可知点在以线段为直径的圆上，由图可知，，代入所求不等式利用圆的特征化简即可.【详解】如图，设，取线段的中点为，连接OE交圆于点D，因为即，所以点在以线段为直径的圆上(E为圆心)，且，于是.故选：D【点睛】本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何图形在向量运算中的应用，属于中档题.7、D【解析】试题分析：且，，为第四象限角．故D正确．考点：象限角．8、D【解析】

由已知利用同角三角函数基本关系式可求，根据余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：，可解得：，由余弦定理，可得，即，当且仅当时成立．等号当时成立．故选D．【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．9、C【解析】

根据三视图判断几何体的形状，计算即可得解.【详解】该几何体是一个半径为1的球体削去四分之一，体积为.故选：C.【点睛】本题考查了三视图的识别和球的体积计算，属于基础题.10、A【解析】由题意得，方程的两根之和，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，可得，此时，由，可得，此时，故选A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设关于直线的对称点的坐标为,再根据中点在直线上,且与直线垂直求解即可.【详解】设关于直线的对称点的坐标为,则中点为,则在直线上,故①.又与直线垂直有②,联立①②可得.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了点关于直线对称的点坐标,属于基础题.12、【解析】

作交于，连接，可得是与所成的角根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，根据，的关系即可得解.【详解】解：作交于，连接，因为三棱锥中，它的每个面都是全等的正三角形，为正三角形，，，是与所成的角，根据等腰三角形的性质．作交于，同理可得，则，∵，∴，得．故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于中档题.13、【解析】

由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，即可得到结果.【详解】解：记∴故反函数为：【点睛】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．14、3【解析】

先将函数的解析式利用降幂公式化为，再利用辅助角公式化为，其中，由题意可知与的关系，结合诱导公式以及求出的值．【详解】，其中，当时，函数取得最大值，则，，所以，，解得，故答案为．【点睛】本题考查三角函数最值，解题时首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为的形式，本题中用到了与之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，属于中等题．15、【解析】

由题意得，依次求得，，，，，∵，且＞0，∴，依次求得======，∴+=+=．考点：数列的递推公式．16、1．【解析】

解：A种型号产品所占的比例为2/(2+3+5)=2/10，16÷2/10=1，故样本容量n=1，三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）第1组：2；第2组：8,；第3组：9；第4组：3；第5组：3（2）【解析】

（1）根据频率之和为列方程，解方程求得的值.然后根据分层抽样的计算方法，计算出每组抽取的人数.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）：，.用分层抽样比较合适.第1组应抽取的人数为，第2组应抽取的人数为，第3组应抽取的人数为，第4组应抽取的人数为，第5组应抽取的人数为.（2）（1）中25人的样本中的优秀员工中，第4组有3人，记这3人分别为，第5组有3人，记这3人分别为.从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.选取的2名工人在同一组的基本事件有，，，，，共6个，故选取的2名工人在同一组的概率为.【点睛】本小题主要考查补全频率分布，考查分层抽样，考查古典概型的计算，属于基础题.18、（1），；（2）这款手机使用年时它的年平均费用最少【解析】

（1）第年的维修费用为，根据等差数列求和公式可求得；将加上购买费用和年的网络费和电话费总额即可得到；（2）平均费用，利用基本不等式可求得最小值，根据取等条件可求得的取值.【详解】（1）则（2）设每部手机使用年的平均费用为则当，即时，这款手机使用年时它的年平均费用最少【点睛】本题考查构造合适的函数模型解决实际问题，涉及到函数最值的求解问题；解决本题中最值问题的关键是能够得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.19、证明见解析【解析】

先由SA⊥面ABC，得BC⊥SA，又BC⊥AC，得BC⊥面SAC，故BC⊥AD，又SC⊥AD，所以AD⊥面SBC.【详解】证明：因为SA⊥面ABC，BC面ABC，所以BC⊥SA；又由∠ACB=，得BC⊥AC，且AC、SA是面SAC内的两相交线，所以BC⊥面SAC；又AD面SAC，所以BC⊥AD，又已知SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内两相交线，所以AD⊥面SBC.【点睛】本题考查了线面垂直的证明与性质，属于基础题.20、（I）；（II）3，.【解析】

（I）利用降次公式和辅助角公式化简解析式，由此求得的最小正周期.（II）根据函数的解析式，以及的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得在区间上的最大值与最小值.【详解】（I）的最小正周期．（Ⅱ），．【点睛】本小题主要考查降次公式和辅助角公式，考查三角函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题.21、（1）15种；（2）；（3）【解析】

（1）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，利用列举法即可得到所有可能的结果.（2利用列举法得到“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”的基本事件的个数，利用古典概型，即可求解；（3）由两名运动员来自同一协会有，，，，共4种，利用古典概型，即可求解．【详解】（1）由题意，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.（