自考线性代数重点复习资料汇编

自考线性代数重点复习资料汇编前言线性代数是高等教育自学考试中一门重要的基础理论课程，它不仅是许多专业后续课程的必备知识，更是培养逻辑思维能力、抽象概括能力和解决实际问题能力的关键学科。本资料汇编旨在为各位自考生梳理线性代数的核心知识点、重点难点及解题方法，力求内容精炼、重点突出、实用性强，希望能助大家一臂之力，顺利通过考试。第一章行列式行列式是线性代数中的一个基本工具，其概念和计算是后续学习矩阵、线性方程组等内容的基础。一、行列式的定义与性质1.n阶行列式的定义：理解行列式是由n²个数排成n行n列，按照特定的运算法则（逆序数法）所确定的一个数值。低阶行列式（如二阶、三阶）的展开式需要熟练掌握。2.行列式的性质：这是简化行列式计算的核心。需牢记：*行列式与它的转置行列式相等。*互换行列式的两行（列），行列式变号。由此可推出，若行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。*行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。*行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。*若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可拆分为两个行列式之和。*把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。（这条性质是化行列式为三角形行列式的主要依据）二、行列式按行（列）展开定理1.余子式与代数余子式：理解其定义，注意代数余子式的符号规则。2.展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。这是降阶法计算行列式的理论基础。3.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。三、行列式的计算行列式计算是本章重点，需多做练习，熟练掌握以下方法：1.利用定义：主要适用于低阶行列式（二阶、三阶）或具有特殊结构的行列式（如对角行列式、上（下）三角行列式）。2.利用性质化简：将行列式化为上（下）三角行列式，其值等于主对角线元素之积。这是计算高阶行列式的首选方法。3.按行（列）展开：结合行列式的性质，将某行（列）元素尽可能化为零，再按该行（列）展开，达到降阶目的。4.特殊行列式的计算：如范德蒙德行列式，需记住其形式和结果。重点提示：计算行列式时，要仔细观察行列式的结构特点，灵活运用各种方法，注重技巧。第二章矩阵矩阵是线性代数的核心概念和工具，贯穿线性代数的始终。一、矩阵的概念与运算1.矩阵的定义：由m×n个数排成的m行n列的数表。注意矩阵与行列式的区别（行列式是数，矩阵是数表；行列式行数等于列数，矩阵则不一定）。2.几类特殊矩阵：零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等，了解它们的定义和性质。3.矩阵的线性运算：加法、数乘。掌握运算规则及运算律。4.矩阵的乘法：这是矩阵运算的重点和难点。*掌握乘法法则：左矩阵的行元素与右矩阵的列元素对应相乘再相加。注意：只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，乘法才有意义。*理解矩阵乘法不满足交换律（即AB≠BA，即使都有意义），也不满足消去律。*掌握乘法的运算律（结合律、分配律、数乘结合律）。*方阵的幂：掌握其定义及运算律，注意与数的幂运算的区别。5.矩阵的转置：掌握转置的运算规则及性质（如(AB)ᵀ=BᵀAᵀ）。二、逆矩阵1.逆矩阵的定义：对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A可逆，B为A的逆矩阵，记作A⁻¹。2.逆矩阵的性质：如可逆矩阵的逆矩阵唯一；(A⁻¹)⁻¹=A；(kA)⁻¹=k⁻¹A⁻¹（k≠0）；(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹；(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ等。3.矩阵可逆的充要条件：n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0（即A为非奇异矩阵或满秩矩阵）。4.逆矩阵的求法：*伴随矩阵法：A⁻¹=(1/|A|)A*，其中A*为A的伴随矩阵。此法适用于低阶矩阵或理论推导。*初等行变换法：(A|E)→(E|A⁻¹)。这是求逆矩阵的主要方法，必须熟练掌握。三、矩阵的秩1.矩阵秩的定义：矩阵A中非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作r(A)。若A为零矩阵，规定r(A)=0。2.矩阵秩的性质：如r(A)=r(Aᵀ)；r(kA)=r(A)（k≠0）；若A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)；r(A+B)≤r(A)+r(B)；r(AB)≤min{r(A),r(B)}等。3.矩阵秩的求法：通过初等行（列）变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即为该矩阵的秩。这是求秩的主要方法。四、初等变换与初等矩阵1.初等变换：包括初等行变换和初等列变换（互换两行/列；以数k≠0乘某行/列；把某行/列的k倍加到另一行/列）。矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。2.初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。了解三类初等矩阵及其与初等变换的关系。3.利用初等变换求矩阵的秩：如前所述，化为行阶梯形。重点提示：矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵秩的概念及求法是本章的核心，务必熟练掌握。矩阵的秩在判断线性方程组解的情况时至关重要。第三章向量组的线性相关性与线性方程组向量与线性方程组是线性代数的核心内容，二者联系紧密。一、n维向量理解n维向量的概念及其线性运算（加法、数乘），运算规则与矩阵的相应运算类似。二、向量组的线性相关性1.线性组合与线性表示：向量β能由向量组α₁,α₂,...,αₘ线性表示，即存在一组数k₁,k₂,...,kₘ，使得β=k₁α₁+k₂α₂+...+kₘαₘ。2.线性相关与线性无关：对于向量组α₁,α₂,...,αₘ，若存在不全为零的数k₁,k₂,...,kₘ，使得k₁α₁+k₂α₂+...+kₘαₘ=0，则称该向量组线性相关；否则，称线性无关。3.线性相关性的判定定理：*向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。*含有零向量的向量组必线性相关。*单个非零向量线性无关。*两个向量线性相关的充要条件是它们对应分量成比例。*n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的行列式等于零。*若向量组线性无关，则其任何部分组也线性无关；若部分组线性相关，则整体组也线性相关。*若向量组α₁,...,αₘ线性无关，而α₁,...,αₘ,β线性相关，则β可由α₁,...,αₘ唯一线性表示。*向量组线性相关的充要条件是其秩小于向量个数；线性无关的充要条件是其秩等于向量个数。三、向量组的秩与极大线性无关组1.极大线性无关组：设向量组的一个部分组线性无关，且向量组中的任一向量都可由该部分组线性表示，则称此部分组为该向量组的一个极大线性无关组。2.向量组的秩：向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。3.矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩（统称为矩阵的秩）。4.极大线性无关组的求法：将向量组按列排成矩阵，进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，非零行的首非零元所在列对应的原向量即构成一个极大线性无关组。四、线性方程组1.线性方程组的表达形式：一般形式、矩阵形式（Ax=b）、向量形式。2.线性方程组解的判定：*非齐次线性方程组Ax=b：*有解的充要条件是r(A)=r(A|b)。*有唯一解的充要条件是r(A)=r(A|b)=n（n为未知数个数）。*有无穷多解的充要条件是r(A)=r(A|b)<n。*齐次线性方程组Ax=0：*必有零解。*有非零解的充要条件是r(A)<n。*若m<n（方程个数小于未知数个数），则必有非零解。3.线性方程组解的结构：*齐次线性方程组Ax=0的解空间与基础解系：解的线性组合仍是解。若r(A)=r<n，则基础解系含n-r个线性无关的解向量，通解为基础解系的线性组合。*非齐次线性方程组Ax=b的通解：其通解为对应齐次方程组的通解加上它本身的一个特解。4.线性方程组的解法：*写出增广矩阵（对齐次方程组只需系数矩阵）。*进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，判断解的情况。*若有解，继续化为行最简形矩阵。*写出同解方程组，确定自由未知数，赋值求出基础解系（对应齐次）和特解（非齐次），进而写出通解。重点提示：线性相关性的概念较为抽象，是本章难点，需多结合实例理解。线性方程组解的判定与求解是本章的核心，务必熟练掌握初等行变换求解线性方程组的步骤。第四章特征值与特征向量二次型（选学或重点章节，依大纲而定）一、特征值与特征向量1.定义：设A是n阶方阵，若存在数λ和非零n维列向量α，使得Aα=λα，则称λ是A的特征值，α是A的对应于特征值λ的特征向量。2.特征多项式与特征方程：|λE-A|称为A的特征多项式，|λE-A|=0称为A的特征方程。特征值是特征方程的根。3.特征值与特征向量的求法：*解特征方程|λE-A|=0，求出所有特征值λ。*对于每个特征值λ，解齐次线性方程组(λE-A)x=0，其非零解即为对应于λ的特征向量。4.特征值与特征向量的性质：*若α是A的对应于λ的特征向量，则kα（k≠0）也是。*矩阵A的所有特征值之和等于A的迹tr(A)（主对角线元素之和），所有特征值之积等于|A|。*对应于不同特征值的特征向量线性无关。二、二次型1.二次型及其矩阵表示：n元二次型是含有n个变量的二次齐次多项式，可表示为f(x₁,x₂,...,xₙ)=xᵀAx，其中A为对称矩阵，称为二次型f的矩阵。2.矩阵的合同：设A,B为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CᵀAC，则称A与B合同。3.二次型的标准形：只含有平方项的二次型。通过可逆线性变换x=Cy可将二次型化为标准形。4.用正交变换化二次型为标准形：*对于实二次型，总可以找到正交矩阵Q，使得经过正交变换x=Qy，将其化为标准形，标准形中平方项的系数即为A的特征值。*步骤：写出二次型矩阵A→求A的特征值→求特征向量并正交单位化→构造正交矩阵Q→写出标准形。5.二次型的正定性：若对任意非零向量x，都有f(x)=xᵀAx>0，则称二次型f为正定二次型，对应的矩阵A为正定矩阵。*正定二次型（正定矩阵）的判定：*标准形中所有系数都大于零。*A的所有特征值都大于零。*A的各阶顺序主子式都大于零。重点提示：特征值与特征向量的计算是本章基础。若大纲要求，二次型的标准化（尤其是正交变换法）及正定性的判定是重点。复习建议与应试技巧1.紧扣教材，理解概念：线性代数概念抽象，务必吃透教材，理解每个概念的内涵与外延，不要死记硬背。2.注重联系，构建体系：各章节内容并非孤立，如矩阵的秩与线性方程组解的判定、向量组的秩密切相关；特征值与二次型相关联。要找到知识点间的联系，形成知识网络。3.多做练习，熟能生巧：通过做题巩固概念、掌握方法。从基础题入手，循序渐进。注意总结各类题型的解题思路和技巧