初中数学七年级上册（北师大版）形积问题专题复习知识清单

初中数学七年级上册（北师大版）形积问题专题复习知识清单

一、核心概念与数学模型：从“变”与“不变”中抓等量关系

本专题的核心是运用一元一次方程解决现实世界中常见的图形变化问题，其数学本质是“变化中的不变性”。我们要引导学生从动态变化的情境中，敏锐地捕捉到那个隐藏的、恒定不变的量，并以此作为列方程的基石。

【基础】“形积问题”通常包含两大类：一类是等积变形，指图形或物体的形状发生变化，但其占有的空间大小（体积或容积）保持不变。例如，将一块长方体铁块熔铸成一个圆柱体，或将瓶中的水倒入另一个不同形状的杯子中。另一类是等长变形，主要指用固定长度的线段（如铁丝、绳子）围成不同形状的平面图形（如长方形、正方形、三角形等），其形状和面积可能发生变化，但封闭图形的周长（即该固定线段长度）保持不变。在更广泛的语境下，等面积变形（如将一块三角形土地改造成等面积的长方形土地）也可归入此类。

【重要】“形积问题”的数学模型可以抽象为：在图形的几何变换中，存在一个或多个保持不变的几何量。这个不变量是连接变换前后图形的“桥梁”。解题的关键在于将这个不变量用两种不同的方式表达出来。一种是变换前图形的相关几何量（如长、宽、高、半径）通过公式计算得出的结果（体积、周长或面积）；另一种是变换后图形的相关几何量通过公式计算得出的结果。将这两个表达式用等号连接，即得到我们所需的一元一次方程。这个方程的本质，就是“变换前的量（基于不变量）等于变换后的量（基于同一个不变量）”。

二、必备基础知识储备：几何公式的系统梳理

【基础】解决形积问题的前提是熟练掌握常见平面图形与立体图形的周长、面积、体积计算公式。这是构建方程的“语言”和“工具”。对于七年级学生而言，必须达到能够准确、快速地默写并应用以下公式的水平：

【重要】平面图形（周长与面积）：长方形周长C=2(长+宽)，面积S=长×宽；正方形周长C=4×边长，面积S=边长×边长；平行四边形面积S=底×高；三角形面积S=(底×高)÷2；梯形面积S=(上底+下底)×高÷2；圆的周长C=πd=2πr，圆的面积S=πr²。

【重要】立体图形（体积与表面积）：长方体体积V=长×宽×高；正方体体积V=棱长³；圆柱体体积V=底面积×高=πr²h。需要注意的是，在等积变形问题中，我们更关注的是体积，表面积通常不是等量关系，反而可能会变化，这是学生容易形成思维定势的地方，需要特别强调。

【热点】在涉及水的形状变化或物体浸入/取出问题时，除了上述基本公式，还需理解一个非常重要的概念——排水法测体积。即，浸入液体中物体的体积（或不规则物体的体积）等于它排开的液体的体积。这个原理在形积问题中常常作为隐含的等量关系出现，例如，将石块投入水中，水面上升部分的体积就等于石块的体积。

三、经典题型分类与深度剖析：构建方程的通法与巧解

【高频考点】题型一：等积变形——形变体不变

这是形积问题中最基础也是最重要的题型。它的显著特征是物体从一个形状改变为另一个形状，但总体积保持不变。解题步骤通常包括：首先，识别变换前后的两个几何体；其次，分别写出它们的体积公式；最后，根据“变换前体积=变换后体积”列出方程。

以“水箱变高了”为例，旧圆柱水箱底面直径4m，高4m，新水箱底面直径减为3.2m，求新高。解题时，首先要准确写出新旧两个圆柱的体积表达式。旧水箱体积=π×(4/2)²×4=π×2²×4。设新水箱高为x米，则新水箱体积=π×(3.2/2)²×x=π×1.6²×x。根据容积不变（体积不变）的等量关系，列出方程：π×2²×4=π×1.6²×x。这里要注意，方程两边的π可以约去，大大简化计算。解得x=6.25。这道题的变式非常丰富，例如将长方体钢坯锻造成圆柱体，将正方体熔化后铸成长方体等，解题思想完全一致。

【重要】在此类问题中，还需警惕一类“不变量”不是整个图形体积的问题，而是“部分体积不变”的问题。例如，一个容器内盛有水，将水倒入另一个不同形状的容器中。这里的“不变量”是水的体积，而不是整个容器的容积。学生需要清晰区分“容器的容积”和“内部液体的体积”。

【高频考点】题型二：等长变形（等周长）——绳长不变

这类问题通常涉及用一根固定长度的铁丝（或绳子）围成不同的平面图形。解题的核心等量关系是“变换前图形的周长=变换后图形的周长”。由于周长是封闭图形一周的长度，无论你围成什么形状，只要是用同一根铁丝，周长就始终等于铁丝的长度。

【经典例题】用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。

(1)若长比宽多1.4m，求长和宽。

解：设宽为xm，则长为(x+1.4)m。根据周长公式，列方程：2(x+x+1.4)=10。解得x=1.8，则长为3.2m。面积=3.2×1.8=5.76m²。

(2)若长比宽多0.8m，求长和宽，并比较面积变化。

解：设宽为xm，则长为(x+0.8)m。列方程：2(x+x+0.8)=10。解得x=2.1，则长为2.9m。面积=2.9×2.1=6.09m²。与(1)相比，面积增大了0.33m²。

(3)若围成一个正方形，求边长和面积，并比较面积变化。

解：设边长为xm，列方程：4x=10，解得x=2.5。面积=6.25m²。与(2)相比，面积又增大了0.16m²。

【难点】通过以上三问的递进式探究，我们可以揭示一个非常重要的数学结论：在周长相等的长方形中，长与宽的差值越小，面积越大；当长与宽相等（即围成正方形）时，面积达到最大值。这个结论是后续学习二次函数最值问题的铺垫，也是在等长变形问题中常见的探究点。

【高频考点】题型三：等积问题中的“排水法”应用

【非常重要】“排水法”是连接立体图形体积与液体体积变化的桥梁，是形积问题中的一个高频难点。它的核心等量关系是：浸入液体中物体的体积（或从液体中取出物体的体积）等于液体上升（或下降）部分体积。上升（或下降）部分通常是一个和原容器同底面形状的柱体。

【典型例题】一个底面半径为5cm的圆柱形容器内盛有水，水面高25cm。现从中捞出5个完全相同的钢球，水面下降到18cm。求每个钢球的体积。

分析：此题中，水面的下降是由于钢球的取出引起的。取出钢球的总体积，就等于水面下降的那部分圆柱体的体积。水面下降了25-18=7cm。下降部分的形状是一个圆柱，底面半径5cm，高7cm。因此，5个钢球的总体积=π×5²×7。再除以5，即可得到每个钢球的体积。解：设每个钢球体积为Vcm³，则5V=π×5²×(25-18)，解得V=35πcm³。

【拓展】此类问题还可以反向设置，如投入石块使水面上升，求石块体积；或者已知石块体积，求水面上升的高度。无论形式如何变化，其核心数学模型是统一的：物体体积=容器底面积×液面高度变化量。

四、解题步骤规范与思维建模（六步法）

【重要】解一元一次方程应用题，必须培养学生严谨、规范的解题习惯。总结为“审、设、列、解、验、答”六步法，每一步都有其不可替代的作用。

1.审题：这是最关键的一步，也是学生最容易忽视的一步。审题不仅仅是读题，而是要弄清题意，明确题目中涉及哪些图形，发生了怎样的变化，并精准找出题目中隐含的等量关系。可以引导学生用笔圈出关键词，如“容积不变”、“用同一根铁丝”、“水面下降”等。

2.设元：根据等量关系，选择一个合适的未知量用字母表示。未知数的设法有直接设元和间接设元两种。直接设元就是题目问什么就设什么；间接设元是当直接设元列方程困难时，可以设一个与问题相关的中间量为x，先解出中间量，再计算最终答案。在设未知数时，务必注意单位名称的统一。

3.列方程：这是将实际问题数学化的核心步骤。用代数式表示出等量关系两边的量，并用等号连接。在表示几何量时，必须准确无误地使用几何公式。

4.解方程：运用等式的性质和去括号、移项、合并同类项、系数化为1等代数运算，求出方程的解。这个过程要求细心，避免计算失误。

5.检验：检验有两个层面。第一是检验求出的值是否为原方程的解；第二，也是更重要的，是检验这个解是否符合实际意义。例如，边长、高、半径等几何量必须是正数；如果问题背景是人数或物品数量，则必须是整数。对于不符合实际意义的解，即使它是方程的解，也必须舍去。

6.作答：完整、清晰地写出问题的答案，注意单位名称要正确。

五、易错点辨析与高阶思维培养

【易错点1】单位不统一。在列方程之前，必须将所有量的单位统一。例如，题目中给出的长度单位既有米又有厘米，必须全部换算成同一单位后再代入计算。

【易错点2】公式记忆混淆或应用错误。例如，将圆柱体积误记为2πrh，或将圆锥体积（目前未学，但在拓展中可能接触）与圆柱体积混淆。又如，在计算长方形周长时，忘记乘以2。

【易错点3】对“不变量”识别错误。例如，将容器中水的体积误认为是容器的容积，或将变化前后的表面积当作不变量。

【易错点4】在排水法问题中，误将水面变化的高度当作物体浸入部分的长度，而忽略了容器的底面积。需要明确，液面变化的体积始终是容器底面积乘以液面变化的高度。

【思维拓展一：整体与部分思想】在复杂的形积问题中，常常需要运用整体与部分的思想。例如，在一个大长方形中剪去几个小长方形，求剩余部分的面积。此时，等量关系可以是“大长方形面积=所有小长方形面积+剩余部分面积”。同样，在涉及多个几何体组合的题目中，总体积等于各部分体积之和。

【思维拓展二：方程思想与函数思想的渗透】在探究“周长相等的长方形面积变化规律”时，我们可以引导学生初步体会函数思想。当周长固定时，长方形的面积随着长（或宽）的变化而变化，并且存在一个最大值（正方形时）。这为后续学习二次函数埋下了伏笔。

【思维拓展三：分类讨论思想】在某些开放性题目中，例如用给定长度的篱笆靠墙围长方形（有一边靠墙，不需篱笆），由于靠墙的边可以是长也可以是宽，就需要分情况讨论，分别列出方程求解，并检验解的合理性（例如靠墙的边长不能超过墙的长度）。【高频考点】这种分类讨论的题目在考试中区分度很高，是考察学生思维严密性的好题。

六、跨学科视野与实际问题链接

【素养提升】形积问题并非孤立的数学题，它与物理、工程、生活紧密相连。

1.与物理学科的联系：在物理学中，涉及到密度ρ=m/V的计算。当物体的质量不变，但其形状改变时，密度不变，因此体积也不变，这正是等积变形的物理背景。此外，液体压强、浮力等问题中，也常常涉及到液体体积、物体排开液体体积的计算，这需要用到我们在这里学习的几何知识和方程思想。

2.与工程技术的联系：在机械制造中，将粗的钢锭锻压成细长的轴类零件，就是典型的等积