2025-2026学年人教A版高中数学必修第一册单元检测：第二章 一元二函数方程和不等式

第二章一元二函数.方程和不等式

（考查范围：第二章时间：120分钟分值：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若a>b>c且。+力+。=0,则下列不等式正确的是（）

A.ab>ac

B.ac>hc

C.a\h\>c\b\

D.〃>/>心

—1+9

2.函数y=人：。>0）的最小值为（）

A.1B.3

C.5D.9

3.已知集合A={x|f—31一4<0},8={-4,1,3,5},则AA8=（）

A.{-4,1}B.{1,5）

C.{3,5）D.{1,3）

4.已知一1«3,则2〃一b的取值范围为（）

A.—6W2〃一6W4

B.0W2〃一Z?W10

C.—4-W2

D.—5W2a—bWl

5.不等式三WO的解集是（）

人IJL

A.{川xv—1,或一1<AW2}

B.{M—lWxW2}

C.{x\x<-1,或

D.{x|—l<r^2}

6.设A=，+£,其中G,〃是正实数，且X2+4A—2,则A与8的

大小关系是（

A.A^BB.A>B

C.A<BD.A^B

7.已知00,力>0,且岫=1,不等式!+!+」片24恒成立，则正实数〃2的取

aba~\~b

值范围是()

A.[m\m^2]

B.

C.{〃山“26}

D.{m\m8)

8.在R上定义运算：xy=x(\—y).若mxER,使得(x—a)(x+o)>l成立，

则实数。的取值范围是()

3

A或>-

・22

,131

B.忡一2v

,31

C.a\-z<a<2

,3Tli

D.\a\a<—y或〃>]■

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得。分.

9.若Ab>0,则下列结论正确的是()

A.«2>Z?2B.ac2>bc2

C.古〈卡D.cr>ab

10.已知函数旷=/+然+〃(々/0)有且只有一个零点，则()

A.，一/或4

B./+、4

C.若不等式f+ax—b<0的解集为{x|xi<x<x2},则xiX2>0

D.若不等式的解集为{x|l<x<3},则c=l

11.设a>l,小>1,且向一(.+〃)=1,贝女)

A.。+人有最小值2（啦+1）B.有最大值（也+1A

C.如有最大值3+2啦D.而有最小值3+2也

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.6/,/?ER,〃和!v1同时成立的条件是.

13.已知不等式x2一奴一的解集为{x|2VxV3},则不等式Z?%2—ar—1>0的

解集为.

14.海伦公式亦叫海伦一秦九韶公式,这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》

中，我国宋代数学家秦九韶也得出了类似的公式，它是利用三角形的三条边长直

接求三角形面积的公式，表达式为s=7p（p—a）（Lb）（p—c）,其中〃，4c分别

是三角形的三边长，已知一根长为10的木棍,截成三段构成一个三

角形，若其中有段的长度为2,则该三角形面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.

15.（13分）已知。>0,b>0,a+b=3ab.

⑴求a+b的最小值;

（2）证明：

''ba9ab

16.（15分）某公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息:

每月土地占用费V（单位：万兀）与仓库到车站的距离M单位：km）成反比，每月

库存货物费以单位：万元）与1成正比.若在距离车站10km处建仓库，则）"

和户分别为2万元和8万元.

（1）若使每月土地占用费与每月库存货物费之和不超过1（）万元，则仓库到车站的

距离x应该在什么范围?

⑵这家公司应该把仓库建在距离车站多远处，才能使得两项费用之和最小？并

求出最小值.

17.(15分)已知。>0,从>0,c>0,d>0,。2+52=他+1,cd>{

(1)求证：a+bW2；

(2)判断等式而+晒=。+。能否成立，并说明理由.

18.(17分)已知加+2次+120恒成立.

⑴求。的取值范围；

(2)解关于x的不等式f—%—cP+avO.

19.(17分)若方程*+"优+〃=0(相，〃WR)有两个不相等的实数根笛，X2,且3

+12)2—4riJV2=4.

(1)求证：浮=4〃+4；

⑵若后一4,求『士+生勺最小值。

第二章一元二函数.方程和不等式

（考查范围：第二章时间：120分钟分值：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若a>b>c且。+力+。=0,则下列不等式正确的是（）

A.ab>ac

B.ac>hc

C.a\h\>c\b\

D.

A解析：由及〃+/?+c=0,知〃>0,c<0.

所以R?—ac>0,即A正确；ac—bc<0,即ac、<Z?c,B错误；当。=0时，

a\b\=c\b\fC错误；令〃=1,b=0,c=~lf则屋,/不成立，D错误.故选

A.

*-x+9

2.函数--;（Q0）的最小值为（）

A.1B.3

C.5D.9

f—工+99/Q9

C解析：y=---;---=x+--1X'--1=5,当且仅当x=7，即x=3时，

等号成立.

故选C.

3.已知集合A=3d—31一4<0},8={-4,1,3,5},则AA4=（）

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

D解析：由x2—3x-4V0,解得一1VXV4,所以4={x|-1VxV4}.

又因为8={-4,1,3,5},所以AA8={1,3}.

故选D.

4.已知一1«3,2W0W4,则2〃一〃的取值范围为（）

A.—6W2〃一bW4

B.0W2a〃W10

C.-4-W2

D.—5W2〃一反1

A解析：因为一2W匕W4,可得一2W2〃W6,—4W—bW—2,所以

—2—4W2。一Z?W6—2,即一6W2〃一Z?W4.

5.不等式泊WO的解集是（）

人I1

A.{x|x<—1,或一l<xW2}

B.{X|-1WXW2}

C.{x|x<—1,或x22}

D.{x|-1<VW2}

x+1WO,

D解析：原不等式等价于,〜?八解得一1VW2.故选D.

[。一2）。+1户0,

6.设A=\+齐其中。，b是正实数，且B=-x2+4x—2,则A与8的

大小关系是（）

A.A2BB.A>B

C.A<BD.AWB

B解析：因为出〃都是正实数，且"

所以A，+%2、吃=2,即A>2.

ab\lab'

B=-1+4X-2=-（X-2）2+2W2,即BW2.

所以A>B.

7.已知〃>0,b>0,目H=l,不等式恒成立，则正实数〃z狗取

aba~\~b

值范围是（）

A.{tn\m^2]

B.{m\in^4]

C.

D.{m|加28}

B解析：因为ab=1,所以由题设〃[24（〃+/?）一（：+切（4+力）=4（〃+/?）—（〃+

b）2恒成立.

而4(。+8)一(〃+力)2=4—(〃+/2—2)2,又a+/?22、〃=2,当且仅当a=b=\时,

等号成立，

所以4(“+/?)—(〃+/2)2《4,当且仅当〃=。=1时，等号成立，故机24.

故选B.

8.在R上定义运算：xy=x(l—>')•若使得(x—a)(x-\~a)>\成立,

则实数。的取值范围是()

D.\a\a<—^,或

A解析：由题意可得(彳一a)(x+c7)=(x——(x+a)]=—F+x+o2—。=

—3》+“2—・若三/£R,使得(x—。)(x+〃)>l成立，则需函数)，=

一("-3%+/—的最大值大于1,即当时，y=a2—a+^>\成立，解得

1..3

6/<-2或a>2,

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得0分.

9.若心b>0,则下列结论正确的是()

A.a2>b2B.a(r>b(r

C.方<东D.c^Xtb

22

ACD解析：由〃>/?>(),得a>bf扬>(),即古<古，冰>(山,故A,C,D

正确；

12

当c=0时，ac=bct故B错误.

故选ACD.

10.已知函数〉=炉+〃x+伙〃W0）有且只有一个零点，则（）

A./一"W4

B./+卜4

C.若不等式x2+ax—b<0的解集为{x\x\<x<X2},则xiX2>0

D.若不等式f+ax+b<c的解集为{x|l<x<3},则c=l

AD解析：因为函数），=9+办+。（。H0）有且只有一个零点，

2

所以/=/—仞=0,即a=4b>0.

/一加忘4等价于左一4A+4N0,即3一2）22。，显然成立，故A正确；

〃2+\=4/?+\22y4/>\=4,当且仅当4〃=/，即/?=义时，等号成立，故B错

伏*a；

因为不等式F+G—ZJCO的解集为{小」<丫<切，

故可得X\X2=一〃<0,故C错误；

因为不等式f+ar+Ovc的解集为{x[l<x<3},

所以实数1与3是方程一c=0的两根，

所以一a=l+3=4,则a=-4,从而〃=4,

又〃一c=1X3=3,所以c=Z?—3=1,故D正确.

11.设介1,方>1,且"一（々+与=1,贝女）

A.a+b有最小值2（市+1）B.有最大值（也+1>

C.岫有最大值3+2啦D."有最小值3+2/

AD解析：因为〃>1,/»1,所以a+b22的，当且仅当〃=/?时取等号，所以

1=ah-（a-}-b）^ab—2y[aht解得夜^2地+1或也（舍），所以地

+1,a+1）2=3+26，所以而有最小值3+2吸；因为"W（W^）2,当

且仅当时取等号，所以1="—（o+b）W（4"p—（a+b）,所以（〃+Z?）2—4（a

+b）24,所以[（〃+/?）—2F28,解得a+/;22啦+2或。+力W2—2吸（舍），所以

。+〃22（啦+1）,所以有最小值2（啦+1）.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.a,/?ER,aVZ?和5V力司时成立的条件是.

a<O<b解析：若〃力VO,由两边同乘，可得!若c由>0,由仆3

两边同乘亲，可得:•所以a〈b和同时成立的条件是a<O<b.

13.已知不等式f—ar—从()的解集为{x|2VxV3},则不等式加一”一IX)的

解集为.

x—2<x<—3解析：由题意知方程/一依一8=0的根为2,3,

由根与系数的关系得。=5,/?=—6.

所以不等式左一如一1>0为一61一51一1>0,

即6f+5x+l<0,解得一^VxV-g.

所以不等式加一以一1>0的解集为x—^<x<—.

14.海伦公式亦叫海伦一秦九韶公式,这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》

中，我国宋代数学家秦九韶也得出了类似的公式，它是利用三角形的三条边长直

接求三角形面积的公式，表达式为S=7P。)—G。)—b)(p—c),其中mb,c分别

是三角形的三边长，〃="+「「已知一根长为I。的木棍,截成三段构成一个三

角形，若其中有一段的长度为2,则该三角形面积的最大值为.

y[\5解析：由公式可知〃=¥=5.

不妨设。=2,则b+c=8,

___5一8+5—c

所以S=y15(5_b)(5_c)W巫x:----2-------=屏,

当且仅当5—b=5—c,即Z?=c=4时，等号成立.

故答案为仃.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.

15.(13分)已知。>0,b>0,a+b=3ab.

(1)求。+〃的最小值；

⑵证明：山/福・

⑴解：因为〃+b=3而,所以

劭+加+加/2+婚卜++2、4

所以。+。=

313,

当且仅当§=今即〃=/?='时等号成立.

8

-

（2）证明：因为。>0,/?>0,所以要证£+52薪，9

序+/=3+与2—2"=（〃+与2一^^,

4

令l=a+b,由⑴得t^y

所以〃+〃2=/2+=（/_22_/

42/8

当/=w时，产一？■取得最小值

8

-

9

原不等式得证.

16.（15分）某公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息:

每月土地占用费》（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月

库存货物费以单位：万元）与x成正比.若在距离车站10km处建仓库，则），|

和”分别为2万元和8万元.

⑴若使每月土地占用费与每月库存货物费之和不超过1（）万元，则仓库到车站的

距离x应该在什么范围？

（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多远处，才能使得两项费用之和最小？并

求出最小值.

解：⑴设）"=§,

由题意知，当x=10时，y和），2的值分别为2和8,

攵4

即IC=2,10〃z=8,解得k=20,m=M，

1J

204

所以y\(

=­人(.J¥>0),>'2=7XX>0).

204

若使每月土地占用费与每月库存货物费之和不超过10万元，则于+尹<10.

因为心>0,所以即(2A—5)(X—10)W0,

解得？WxWH).

204

(2)由(1)知，户+/=；+亨，八>0,

由基本不等式得)，]+户=平+*22\隹*=2亚=8,

当且仅当¥=%,即x=5时，等号成立.

所以应该把仓库建在离车站5km处，两项费用之和最小，最小值为8万元.

17.(15分)己知。>0,。>0,c>0,d>。,a2-\-b2=ab-\-1,cd>\.

(1)求证:a+bW2；

(2)判断等式正+屈=。+1能否成立，并说明理由.

⑴证明：由题意得5+份2=3而+々3(半)+1,当且仅当时，等号成立，

解得(〃+与2^4.

义a>0,h>0,所以〃+6<2.

(2)解：不能成立.

理由：由基本不等式得而w"上+4”，

当且仅当a=c且h=d时等号成立.

c+d

因为a+/?W2,所以WZ+亚1+2.

一,”，c+d,c+d、c+d,।-c+d，、/—，/—

因为c>0,c/>0,cd>\,所以c+d=—+一+1倔Z

故'向:+y[Kl=c+d不能成立.

18.(17分)已知o^+Zax+leO恒成立.

⑴求。的取值范围；

(2)解关于x的不等式A2—x—c0+a<0.

解；(1)当a=()时，原不等式可化为1》()恒成立；

当时，则//,/七八

3=4〃-4〃W0,

解得

综上，〃的取值范围为{〃|（）W〃W1}.

（2）由A2—%一次+打。,得（工一—Q）k（）

又由（1）知OWaWl,则

①当\—a>a,即OWag时，a<x<l—a;

②当1一。=4,即。=；时，原不等式可化为卜一界0,不等式无解；

③当1—a<a9即;vaWl时,\—a