2025-2026学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程一定属于一元二次方程的是（）

A..r2-3x)H-l=0B.x2=2

C.<)D.3N+2r=3(x2-l)

2.已知方程f-6x+4=・，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为（片3）2=7,则印刷不清楚

的数字是（）

A.-2B.2C.6D.9

3.若关于x的一元二次方程^有两个不相等的实数根，则的值可以是（）

A.a=5,c=3B.〃=5,c-2C.a=4,c=3D.«=1,c-8

4.一组数据：2,3,3,5,若添加一个数据5,则不发生变化的统计量是（）

A.平均数B.众数C.方差D.中位数

5.已知平面内有。。和点A,B,若。。的半径为3。外线段小则直线A8与。。的位置关系

为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

6.如图,在△ABC中，Z/lKlf,/是△ABC的内心，连接8人C/,则⑷C的

度数是（）

A.110°

B.120°

C.130°

D.140°

7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题,简译为：今有一扇门,

不知门的高和宽.另有一竹竿，也不知竹竿的长短.竹竿横着放时上门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高

长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺，则可列方程为

()

A.(x+2)2=(x-4)2+?B.(x+4)2=『+(x-2)2

C.?=(A-4)2+(x-2)D.(A-+4)2=(x+2)2+x2

8.如图，在平面直角坐标系中，点。在第一象限，。。与x轴，y轴都相

切，且经过矩形人08C的顶点C,与8C相交于点。，若。P的半径为

3,点8的坐标是（5,0）,则点。的坐标是（）

A.（4,3\5）

B.（5,3）

C...^5)

D.[5.：1\?＞）

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

9.若x=l是一元二次方程f-3x+"尸0的一个根，则m=____.

10.博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分.综合成绩中

笔试占50%、试讲占30%、面试占20%,那么张三最后的成绩为______分.

11.已知2,3,5,〃?，〃五个数据的方差是2,那么4,5,7,加+2,〃+2五个数据的方差是—

12.如图，ZUBC是。。内接三角形，。是病中点，若乙D4C=25°,则，B的

度数为一°.

13.小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如

图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12a以圆锥的高为8。几则根据

测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为_

14.如图，正六边形/18CDE/内接于。0,若。。的周长等于6兀，则正六边形的

边长为_.

B

15.有一个正数m,m与1的和乘以m与1的差仍得"八则/〃的值为_.

16.我们知道方程*+2r-3=0的解是由=1,及=-3,现给出另一个方程(2x-l)2+2-3=0,它的解

是,

17.如图，在△A8C中，AB=AC=10,点。在4C上，以。为圆心，OC为半径的

圆与A8相切于点。，与8C相交于点E,若。是A8的中点，则点E到A8的距离

为一.

18.点尸是半圆上的一个动点，圆心为。，将而沿着P8翻折，与直

径AB交于点C,57的中点为D若已知.101、2，则当点P从点

八运动到点B的过程中，点D的运动路径长为一.

三、计算题：本大题共1小题，共8分。

19.已知关于x的一元二次方程/-2(M)x+右-1=()有两个不相等的实数根

(I)求实数&的取值范围；

(2)0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.

四'解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.(本小题10分)

解卜列方程：

(1)^+2^-2=0：

(?)r(2r-5)=4r-IO

21.(本小题8分)

如图，已知人4是。O的直径，弦八QOO.

(1)求证：nn=cn-

(2)若if•的度数为58°,求〃。。的度数.

cD

AB

O

22.（本小题12分）

在2。25年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的"〃值进行了检测，并对

一天（24小时）内每小时的。〃值进行了整理、描述及分析.

【收集数据】

甲基地水体的〃，值数据：7.27,7.28,7.34,7.35,7.36,7.51,7.53,7.67,7.67,7.67,7.67,7.81,

7.81,7.88,7.91,8.01,8*.02,8.03,8.07,8.16,8.17,8.23,8.26,8.26.

乙基地水体的〃〃值数据：7.11,7.12,7.14,7.25,7.36,7.52,7.63,7.67,7.69,7.75,7.77,7.77,

7.81,7.84,7.89,8.01,8*.12,8.13,8.14,8.16,8.17,8.18,8.20,8.21.

【整理数据】

7.00«7.307.30WxV7.607.60«7.907.904V8.208.20WxW8.50

甲25773

乙429a2

【描述数据】

乙基地水体pH值数据的频数分布宜方图

9

8

7

6

5

4

3

2

【分析数据】

平均数众数中位数方差

甲7.797.67b0.10

乙7.78C7.790.13

根据以上信息解决下列问题:

（1）补全频数分布直方图；

（2）填空：b=______,c=______；

（3）请判断甲、乙哪个基地水体的〃"值更稳定，并说明理由；

（4）已知两基地对水体〃〃值的口变化量（〃”值最大值与最小值的差）要求为（）.5-1,分别判断并说明该

日两基地的pH值是否符合要求.

23.（本小题10分）

老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫.人力车涉及了很多复杂的机械设计，如图

是人力车的侧面示意图，人8为车轮。。的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面C。与车轮

。。相切于点。，连接4。，BD.

（1）小明猜想乙BOC二乙4,小明的猜想正确吗？请说明理由.

（2）若车架端点C到车轮与地面的接触点。之间的距离2.5米.8c的长为1.5米，求车轮的半径.

24.（本小题10分）

如图，以44为直径作。O,交射线AC于点C,4。平分4c4A交。O于点£）,过点。作直线D及LAC于点

E,交AB的延长线于点E连接BD并延长交AC于点M.

（1）求证：直线。石是。。的切线;

(2)若48=4,ZF=3O°,求ME的长.

25.（本小题12分）

2025年暑期，我县遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死.小区物业管理公司决定补种绿化

树，计划购买小叶榕和香棉共50棵进行栽种.其中小叶榕每棵450元，香樟每棵800元，经测算，购买两

种树共需27750元.

（1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？

（2）实际购买时，物业管理公司与商家进行如下协商：每棵小叶榕和香樟均降价销售，两个树种下降的

价格相同，但下降均不超过100元.两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买

小叶榕2棵，香樟1棵.物业管理公司实际购买的费用比原计划多5250元，求物业管理公司实际购买两种

树共多少棵？

26.（本小题12分）

定义：已知笛，X2是关于x的一元二次方程加+公+c=0（〃W0）的两个实数根，若0（第〈小且

15,则称这个方程为“大半根方程”.比如：一元二次方程/-4.计3=0的两根为用=1,r=3,因0

八2

<1<3,且马一：，所以一元二次方程F3x+2=0是“大半根方程”.请阅读以上材料，回答

*2S32

下列问题：

（1）判断：下列方程中，是“大半根方程”的是（只填写序号）；

^A4=0

②f-13x+40=0

③2/-7x+5=0

（2）若关于x的一元二次方程。+（»2）心2〃?=0是“大半根方程”，求机的取值范围；

（3）已知关于x的方程/+（2H9）X+22+9R8=0,其中-20.求证：该方程不可能是“大半根方程”.

27.（本小题14分）

【问题提出】

（1）小明在学习隐圆模型时，遇到这样的一个基础问题：如图1，AB=4,乙4cB=90。，请用尺规作图，

作出点C的运动路径（不写作法，保留作图痕迹，标出必要的长度和角度）；

D

(2)如图2,矩形ABC。中，AB=2,803.点M为矩形内一点，且乙4MBW45。，乙CMDW150。，请在

图中用阴影部分表示所有符合条件的点M形成的区域(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标出必

要的长度和角度)；

(3)如图3,正方形ABC。的边长为2,点£在3c上，点尸在CQ上，BE=DF,连接过点尸作

FPLAE,垂足为P,求8P的最小值；

【拓展探究】

(4)如图4,△ABC和△CQE都是等边三角形，AC=6,CD-3%2＞将△。。正绕着点C逆时针旋转一

周的过程中，直线AE、B。相交于点F.ZXAC/的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存

在，请说明理由.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】2

10.【答案】93

11.【答案】2

12.【答案】50

13.【答案】60K

14.【答案】3

15.【答案】：、勺

2

16.【答案】X|=l,X2=-l

17.【答案】:

18.【答案】5

19.【答案】解：(1)♦.♦方程有两个不相等的实数根,

.•.△=4(M)2-4(K-1)=-8(匕1)>0,

解得k<l.

(2)当后0时，有必-1=0,

解得&=±1.

♦:k<1,

:.k=-l.

••Q可能是方程的一个根.

当仁1时，方程可能化为A?+4X=0.

解得人=0或尸4

.•.方程另一个根是-4.

20.【答案】（1）口一一1一4-⑵xi=2,丁一

21.【答案】解：（I）连接OC.•••OA=OC,

"ACWOD,

：.Z-OAC-Z-BOD.

:心OC=LACO.

:.乙BOD=LCOD,

•・而=F?)・

(2)••俞=丁'

••/")一(./)/li(

：/BOD=?乙BOC=2(180。-58。”61。.

.•.44OQ=580+61°=119°

乙基地水体pH值数据的频数分布直方图

t频数

9

8

7

6

22.【答案】（1）57.81;7.77（3）甲的方差为0.10,乙的方差为

4

3

2

1

0

.007.307.607.908.208.50pH值

0.13,0.10C0.13,故甲基地水体的〃〃值更稳定（4）该