2025-2026学年上海市徐汇区某中学九年级（上）期中数学试卷 （含解析）

2025・2026学年上海市徐汇区中国中学九年级（上）期中数学试卷

一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）已知二=2,那么下列等式中，不一定正确的是（）

y5

nX+y8_xx+3

A.5x=3yB.x+y=8oC.----=-D.—=----

）'5y），+5

2.（4分）下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是），轴，那么这个函数是（）

A.y=x2+2xB.y=x2+2x+1C.y=x2+2D.y=（x-l）2

3.（4分）下列说法中，正确的是（）

A.如果左=0,a是非零向量，那么履=0

B.如果0是单位向量，那么。=1

C.如果|/?|二|a|,那么/?=〃或/?=-“

D.己知非零向量。，如果向量力=-5"，那么a//

4.（4分）如图，在6x6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B,如果线段A3与网格线的其

中两个交点为M、N,那么AM:MN:N8的值是（）

A.3:5:4B.3:6:5C.1:3:2D.1:4:2

5.（4分）如果二次函数y=（x-〃?）2+〃的图象如图所示，那么一次函数），=〃优+〃的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

6.（4分）如图，在正方形A4CO中，△A8P是等边三角形，AP.8P的延长线分别交边CO于点E、F,

联结AC,CP,4c与B尸相交于点”，下列结论中错误的是[）

A.AE=2DEB.△CFP^△APHC.D.CP2=PHPB

二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）已知线段a=4厘米，c=9厘米，那么线段。和c的比例中项是一厘米.

8.（4分）如果两个相似三角形的相似比为2:3,两个三角形的周长的和是100。〃，那么较小的三角形的

周长为cm.

9.（4分）在比例尺为1:8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米,那么甲、乙两地间的实

际距离为一千米.

10.（4分）抛物线丁=-2。-1）2+3在对称轴右侧的部分是—的.（填“上升”或“下降”）

11.（4分）已知点A（X[,y）、B（X2,,2）为抛物线）'=。-2）2上的两点，如果内v%2<2,那么y%•（填

“>”“〈”或“二”）

12.（4分）已知点P是线段AB上的一点，且BP?=AP・AB,如果A8=10cm,那么BP=cm.

CF

13.（4分）如图，△48C的中线人。、CE交于点、G，点厂在边AC上，GF//BC,那么一的值是.

BC---

14.（4分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置绕固定点。旋转到位置QC,已知栏杆4B的长为3.5

米，04的长为3米，点。到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点。离地面的距离

为米.

D.

AO

15.（4分）如图，已知AB//CD//EF,AO=6,DF=3,BC=1,那么线段CE的长度等于

16.（4分）如图，将AA8C沿射线方向平移得到,边与人C相交于点G,如果BC=6cm,

△ABC的面积等于9cm2,^GEC的面积等于4cm2,那么CF=cm.

17.（4分）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”.例

如I，如图①中正方形48CO即为线段AC的“对角线正方形”.如图②，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,

8c=4,点P在边A8上，如果线段。。的“对角线正方形”有两边同时落在A46c的边上，那么AP的长

是

图①图②

18.（4分）在7?f△/WC中，NC—90。，AC-2,DC—4,点。、上分别是边"C、力"的中点，将△

绕着点B旋转，点。、石旋转后的对应点分别为点。、万,当直线。'日经过点、A时，线段C7T的长为.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19.（6分）已知9=2=£,。一°=一12,求0一2。+3c的值.

235

20.（8分）已知二次函数图象的最高点是A（l,4）,且经过点8（。3）,与x轴交于C、。两点（点C在点。

的左侧）.求ABC。的面积.

［）F?

21.（12分）如图，已知在梯形A8CO中，AB//CD,AB=\2,CQ=7,点E在边AO上，一=一，过

AE3

点E作EF//AB交边BC于点F.

（I）求线段E尸的长;

（2）设=AD=b,联结AT7,请用向量a、。表示向量AF.

22.（12分）如图，在A4BC中，点P、。分别在边BC、AC上，PA1AB,垂足为点A,DP1BC,

APBP

垂足为点P,

~PD~~CD

(I)求证：ZAPD=ZC；

(2)如果AB=3,DC=2,求AP的长.

23.（12分）如图，在AA6C中，8。是AC边上的高，点£在边A8上，联结CE交8。于点O,且

AD・OC=AB«）D,A/是N84C的平分线，交BC于点、F,交OE于点G.

求证：（1）CE_LA8；

24.（14分）如图，已知抛物线），=-丁+云+6经过点43,0）,点8（0,3）.点时（加,0）在线段。4上（与点

A,。不重合），过点M作”轴的垂线与线段A8交于点P,与抛物线交于点Q,联结8Q.

（I）求抛物线表达式；

（2）联结OP,当N3OP=NP4Q时，求。。的长度；

25.（14分）已知在菱形A8CO中，48=4,/84。=120。，点乃是直线48上任意一点，联结PC.在/PCO

内部作射线CQ与对角线8。交于点Q（与B、。不重合），且/PCQ=30。.

（1）如图，当点。在边A3上时，如果3尸=3,求线段PC的长；

（2）当点?在射线84上时，设=CQ=y,求y关于x的函数解析式及定义域；

（3）联结PQ,直线PQ与直线BC交于点E,如果AQCE与也夕。。相似，求线段BP的长.

BB

备用图

参考答案

一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）己知±=那么下列等式中，不一定正确的是（）

y5

A.5x=3yB.x+y=8C.^-=-D.-=^2

），5），），+5

解:4、由比例的性质得到3y=5x,故本选项不符合题意.

B、根据比例的性质得到x+y=8依4是正整数），故本选项符合题意.

C、根据合比性质得到卫=号，故本选项不符合题意.

y5

。、根据等比性质得到土=土吧，故本选项不符合题意.

yy+5

故选：B.

2.（4分）下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是），釉，那么这个函数是（）

A.y=x2+2xB.y=x2+2.v+1C.y=x2+2D.y=（x-l）2

解：二次函数的对称轴为y轴，

则函数对称轴为x=0,

即函数解析式y=依2+〃x+c,中，Z?=0,

故选：C.

3.（4分）下列说法中，正确的是（）

A.如果左=0,。是非零向量，那么履=0

B.如果e是单位向量，那么e=l

C.如果|〃|二|。|,那么方=。或方=一。

D.己知非零向量〃，如果向量入=-5〃，那么〃//5

解：A、如果A=0,。是非零向量，那么匿/=（）,错误，应该是h=0.

B、如果e是单位向量，那么。=1,错误.应该是|e|=l.

。、如果那么方=4或b=-4,错误.模相等的向量，不一定平行.

。、已知非零向量4,如果向量。=-5〃，那么正确.

故选：

4.（4分）如图，在6x6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点4、B,如果线段人8与网格线的其

中两个交点为M、N,那么的值是（）

A.3:5:4B.3:6:5C.1:3:2D.1:4:2

AMIMN_3

解:

AW-3i~NB~2

...AM:MN:N3=1:3:2,

故选：C.

5.（4分）如果二次函数y=（R-根尸+〃的图象如图所示,那么一次函数y=尔+〃的图象经过（

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（皿〃），且在第四象限，

in>0,/?<（）,

则一次函数），=〃a+〃的图象经过第一、三、四象限.

故选：B.

6.（4分）如图，在正方形ABC。中，是等边三角形，AP.的延长线分别交边CO于点石、F,

联结AC,CP,AC与8尸相交于点〃，下列结论中错误的是［）

A.AE=2DEB.△CFP^△APHC.ACFP^>AAPCD.CP?=PHPB

解：•.•四边形A4CO是正方形，

/.ZD=ZDAB=90°，

△人PA是等边三角形，

:"PAR=NPBA=/APB=60°,

；"DAE=30°,

：.AE=2DE,故A正确，

•：ABIICD.

/PFE=NABP=/APH=60°,

乙AHP=NPBA+NBAH=600+45°=105°,

又：BC=BP,ZTOC=30°,

:"BPC=NBCP=75°,

:"CPF=105°,

/./PHA=Z.CPF,

/.△CFP^△APH,故8正确，

ZCPA=600+75°=135°wZCPF,

二.△C尸尸与△APC不相似，故C错误，

4PCH=NPCB-NBCH=75°-45°=30°,

:.乙PCH=NPBC,

Z.CPH=ZBPC,

:.^PCH^^PBC,

PCPH

PBPC

；3=PHPB,故。正确，

故选：c.

AD

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）己知线段〃=4厘米，。=9厘米，那么线段〃和c的比例中项是互厘米.

解：1线段〃和c的比例中项为〃，

u:b=b:c

即4:〃=。：9,

/.b=±6（负值舍去）.

故答案为：6.

8.（4分）如果两个相似三角形的相似比为2:3,两个三角形的周长的和是100。〃，那么较小的三角形的

周长为40cm.

解：设较小的三角形的周长为xcm,则较大的三角形的周长为（100-x）c7〃，

两个相似三角形的相似比为2:3,

.••两个相似三角形的周长比为2:3,

.-_2

"100-x-3，

解得,x=40,

故答案为：40.

9.（4分）在比例尺为1:8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实

际距离为320千米.

解：设甲、乙两地的实际距离为xcm,

图卜距落

比例尺=

实际距离

.•.1:8000000=4:%,

.,.<=32000000,

.•・甲、乙两地的实际距离为是320公〃，

故答案为:320.

10.（4分）抛物线v=-25-1）2+3在对称轴右侧的部分是下降的.（填“上升”或“下降”）

解:fl=-2<0»

.•・抛物线开口向下，

二.对称轴右侧的部分呈下降趋势.

故答案为：下降.

II.（4分）已知点4耳，X）、B（X2,为）为抛物线=（x-2>上的两点，如果X[V%2<2,那么y_>

M.（填“<"或“=”）

解：•・•_>，="一2八

/.«=1>0,

二.抛物线开口向上，

抛物线y=（X-2）2对称轴为直线X=2,

,•.v,<x,<2,

•••K>%•

故答案为》.

12.（4分）己知点P是线段AB上的一点，且BP2=AP>AB,如果AB=\Qcm,那么BP=_（5君-5）_cm.

解：,•,点P是线段A8上的一点

vBP2=AP>AB,48=10。〃，

BP2=（10-«P）xl0,

解得BP=5石-5.

故答案为：（5后-5）.

13.（4分）如图，△A6C的中线4。、CE交于点G,点F在边AC上,G尸//BC,那么空的值是

BC3

BD

解：•.•△43。的中线40、C£交于点G,

.♦.G是△ABC的重心，

AG2

二.---=—，

GD1

GF//BC,

GFAG2

---=---=一，

DCAD3

•・・DC=-BC,

2

GFI

:.-----=-9

BC3

故答案为：!

14.（4分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点。旋转到位置。C,已知栏杆4B的长为3.5

米，04的长为3米，点。到AB的距离为0.3米，支柱0E的商为0.6米，那么栏杆端点。离地面的距离

解：过。作OG_L48于G,过C作CH_LA8于”，

则。G//CH,

XODGskOCH,

DG0D

「・---=----,

CH0C

栏杆从水平位置AB绕固定点0旋转到位置DC,

/.CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=().3/H,

0C—0.5/zi,

DG3

・・---=---，

0.30.5

DG=1.8/n，

0E=0.6机>

/.栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4m.

故答案为：2.4.

OH

G

15.（4分）如图，已知ABHCDMEF,4。=6,DF=3,8C=7,那么线段CE的长度等于-

一2一

AD=6,DF=3,BC=1,

ADBC

---=---，

DFCE

KP-=—,

3CE

解得：CE=L

2

故答案沏2

16.（4分）如图，将AABC沿射线8c方向平移得到ADEP,边。石与4c相交于点G,如果BC=6c/〃,

AA8c的面积等于9C〃?2,AGEC的面积等于4C病,那么=2cm.

解：vABUDE,

MBCsAGEC,

.S&CEC_(EC_4

SMBCBC9

EC2

----=—

63

EC=4cm,

EF=BC=6cm,

:.CF=EF-EC=6-4=2cm.

故答案为：2

17.（4分）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”.例

如，如图①中正方形48C。即为线段4c的“对角线正方形”.如图②，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,

8c=4,点P在边AB上,如果线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在A48C的边上，那么4。的长

是-.

—1—

图①图②

解：当线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在A/18C的边上时，设正方形的边长为一

PE//AC,

/.\BPEsXBAC,

PEBE

「・---=---，

ACBC

x4-x

:.一=----,

34

12

解得x=

：.AP=>jAD2+PD2=—,

7

故答案为：y.

18.（4分）在心△ABC中，ZC=90%AC=2,BC=4,点、D、E分别是边BC、A8的中点,，将△BOE

绕着点8旋转，点。、E旋转后的对应点分别为点。、E',当直线经过点A时，线段的长为2百

或竽•

解：如图I,当点人在£Q'的延长线上时,

图1

ZC=90°,4c=2,8C=4,

：.AB=y/AC2+BC2=>/42+162=275,

•.,点。、E分别是边8C、A8的中点，

/.DE//AC,DE=-AC=\,BD=-BC=2

22f

;"EDB=NACB=90°,

将ABDE绕着点B旋转,

:.4BD'E'=NBDE=90°,D'E1=DE=1,BD=BD'=2,

•.•在口△/IBC和中，D'B=AC=2,AB=BA,

Rt△ABC=M△BAD'(HL),

AD'=BC,且AC=D'B,

四边形ACB。'是平行四边形，且NAC8=90。，

二四边形AC8Q'是矩形，

CD'=AB=2>/5；

如青2,当点2在线段。？的延长线上时,

A

图2

"D'8=90°,

/.AD1-VAZ?2-D'B2-V20-4-4,

：.AE'=AD'-D,E'=3,

将ABDE绕着点、3旋转,

/./ABC=NE'BD',

BE1_\_BD'

~AB=2=~BC"

△ABE's△CBD',

AErAB

「・---=---,

CD1BC

32小

---=----9

CD'4

.=还，

5

故答案为：2石或竿.

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

19,(6分)已知州=2=£。-。=-12,求a-2b+3c的值.

235

解：根据题意，］^—=—=—=k,则a=2A，b=3k,c=5k,

235

Vt7-c=-12>

2k-5k=-12,

解得：k=4,

.•4=24=2x4=8,〃=34=3x4=12,c=5A=5x4=2(),

.\«-2/?+3c=8-2x12+3x20=44.

20.(8分)已知二次函数图象的最高点是A(l,4),且经过点8(0,3),与x轴交于C、。两点(点C在点。

的左侧).求A8CD的面积.

解：设二次函数解析式为y=心-以+4("0),

把8(0,3)代入得

3=60-1)2+4

解得：A=-1>

令)，=0,那么一。一1)2+4=0,

解得：』=3,x2=-1»

.•.点。的坐标为(-1,0)，点。的坐标为(3,。)，

：.CD=4，

点8的坐标为(0,3),

.,.08=3,

「.ABC。的面积是：^^=—=6.

22

nr7

21.(12分)如图，己知在梯形/18C。中，AB//CD,48=12,CO=7,点E在边AO上，一=一，过

AE3

点E作EF1/AB交边BC于点F.

(I)求线段EF的长；

(2)设A8="，AD=b,联结4/，请用向量。、。表示向量AF.

解：(1)过。作。M//8C交E/于N,交48于M,则8M=FN=CO=7,

：.AM=AB-BM=\2-1=5,

DE2

・J=一，

AE3

DEEN_2

■'~DA~~AM~~5

：.EN=2,

:.EF=EN+FN=2+1=9；

(2)vEF=9,48=12,

EF3

「・----=一，

AB4

*.•AB=a,

3-3

EF=-AB=-a,

44

AE3,

,.1=—,AD=b,

AD5

-3，

/.AE=­h»

5

33

AF=AE+EF=-b+-a.

54

22.(12分)如图，在AABC中，点P、。分别在边BC、AC上，PALAB,垂足为点A,DP1BC,

APBP

垂足为点P,

~PD~~CD'

(I)求证：NAPD=NC；

(2)如果AB=3,DC=2,求A尸的长.

/BAP=ZDPC=90°,

沿”BPb

PDCD

:.AP=kPD,BP=kCD,

「.AB=dBP?-AP2=k・J。。？一PD：PC=JcD?-PD2,

AB,APBP

1=k=1=,

PCPDCD

RtAABP^RtAPCD,

z.ZB=ZC,NAPB=NCDP,

JDPB=ZC+ZCDP=NAPB+ZAPD,

/./APD=ZC;

(2)・.・N8=NC,

.•.A8=AC=3,且CO=2,

:.AD=\,

/APD=ZC,ZCAP=ZPAD,

\APCS\ADP,

.APAD

~AC~~AP

，A产=[x3=3

AP=5/3.

23.（12分）如图，在AABC中，8。是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BO于点。，且

AD>OC=AB^OD,A尸是N8AC的平分线，交8。于点尸，交OE于点G.

求证：（1）CE_L43；

（2）AF.DE=AG>BC.

【解答】证明：(1)-AD-OC=AB-OD,

.AD_AB

ODOC'

B。是4c边上的高，

/BDC=ZBDA=90°,AAOB和bODC是直角三角形，

RtAADB^RtAODC,

"ABD=40CD,

又NEOB=/DOC,ZDOC+ZOCD+Z.ODC=180°,ZEOB+ZABD+AOEB=180°.

...ZOEB=90°，

CELAB；

(2)在&4O8和AAEC中,

.­^BAD=ZCAE,ZABD=ZOCD,

...MOBSAAEC,

ADAB„ADAE

----=-----9即n----=---

AEACABAC

在ADAE和MAC中

7/DAE=ZBAC,—=—

ABAC

AZMESMAC,

;4尸是NBA。的平分线,

—,BPAF.DE=AG>BC.

AFBC

24.（14分）如图，已知抛物线）y-Y+bt+c经过点A（3,0），点8（0,3）.点M（加,0）在线段QA上（与点

4,。不重合），过点用作K轴的垂线与线段43交于点。，与抛物线交于点Q,联结4Q.

(I)求抛物线表达式;

联结0P,当NBOP=NPB。时,求PQ的长度;

求机的值.

解：（1）将A（3,。），*0,3）分别代入抛物线解析式，得

-9+3Z?+c=0

c=3

b=2

解得，

c=3

故该抛物线解析式是：y=-X2+2A-+3；

(2)设直线A/3的解析式是：了=区+/(火工0),

把A(3,0),8(0,3)分别代入，得

3k+f=0

J=3

解得k=7,/=3.

则该直线方程为：y=-x+3.

故设+3),Q(m,-nr+2m+3).

则BP=>f2m，PQ=-/n2+3M.

OB=OA=3,

/BAO=45°.

•/QM1OA,

ZPMA=90°.

:./AMP=45°.

/BPQ=ZAPM=NBAO=45°.

又」/BOP=4QBP,

XPOBSAQBP.

工曰BPOB.y/2in3

J?E=9卬Hr；----=-7=~・

PQBP-nr+3niyflm

解得"(=*,niy=0(舍去).

,54

PQ=-m2+3m=—；

222222222

(3)由两点间的距离公式知，BP=2mfPQ=(-m+3m),Bg=m+(-m+2m).

22

①若BP=BQ,2m2=m+(_〃/+2m),

解得/叫=1,"4=3(舍去).

即机=1符合题意.

②若BP=PQ,2m2=(-m2+3w)2,

解得"％=3-V2,//=3+y/2(舍去).

即阳=3-0符合题意.

③若PQ=BQ,(-M+3川＞=in'+(-m2+2m)2,

解得〃i-2.

综上所述，，〃的值为1或3-立或2.

AB=4,ZBAD=120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC.在2PCD

内部作射线CQ与对角线B。交于点Q（与8、。不重合），且/PCQ=30。.

(I)如图，当点P在边A8上时，如果8P=3,求线