2025年初中数学北师大版单元测试 第六章 平行四边形（A卷·知识通关练）解析版

班级姓名学号分数

第六章平行四边形（A卷•知识通关练）

考点1多边形的对角线

【方法点拨】从n边形的一个顶点出发，最多能画（n-3）条对角线，这些对角线能把n边形

分成（n-2）个三角形。共止2条对角线.

I.（2022秋•东港市期末）过一个多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成6个三角形，

则这个多边形为（）

A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形

【分析】根据〃边形从一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线，可组成〃-2个三角形，依此可得〃

的值.

【解答】解：根据〃边形从一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线，可组成〃-2个三角形，

.,.7:—2=6,即〃=8.

故选：C.

2.（2022秋•榆阳区校级期末）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多

边形是（）

A.六边形B.八边形C.九边形D.十边形

【分析】根据从八边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（〃-3）求出边数即可得解.

【解答】解：•.,从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为〃，

:.n-3=5»

解得〃=8.

故选：B.

3.（2022秋•沙坪坝区校级期末）下列说法正确的有（）个.

①卫一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；

②连接C、。两点的线段叫网点之间的距离；

③两点之间直线最短；

④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；

⑤“边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出（〃-3）条对角线，这些对角线把这个〃

边形分成了(〃-2)个三角形.

A.3B.2C.1D.0

【分析】分别根据角平分线的定义，两点之间的距离的定义，线段的性质，直线与射线的定义

以及多边形的对角线的定义逐一判断即可.

【解答】解：从角的顶点出发，把一个角分成两相等的角的射线叫角的平分线，故①说法错误;

连接C、。两点的线段的长度叫两点之间的距离，故②说法错误；

两点之间，线段最短，故③说法错误；

射线上点的个数和直线上点的个数都是无数个，故④说法错误；

〃边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出(〃-3)条对角线，这些对角线把这个〃边

形分成了5-2)个三角形，故⑤说法正确.

所以法正确的有1个.

故选：C.

4.(2022秋•保定期末)若从一个〃边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则

n=.

【分析】利用〃边形从一个顶点出发可引出(〃-3)条对角线求解.

【解答】解：根据题意得〃-3=10,

所以〃=13.

故答案为：13.

5.(2022秋•小店区校级期末)从六边形的一个顶点出发可以画出的对角线的条数

是•

【分析】根据从一个〃边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是(〃-3)进行计算即可.

【解答】解：从六边形的一个顶点出发，引对角线的数量为：6-3=3(条)，

故答案为：3.

考点2多边形的内角和与外角和

【方法点拨】多边形的外角和固定不变为360°,多边形的内角和为180(n-2)(其中n为边

数).

6.(2022秋•莱阳市期末)如图，六边形ABCDEF中,CD//AF.ZD=ZA,AB1BC,ZC=I20°,

ZE=80°,则ZF的度数为（）

A.120°B.125°C.130°D.140°

【分析】延长C3交E4延长线于G,由C0//A/可求NG,再由三角形的外角定理求出ZE4厂,

最后由多边形的内角和定理即可求解.

【解答】解：延长CB交融延长线于G,

vCD/MF,

/.ZC+ZG=180°,

•/ZC=120°,

.•.NG=60。，

AB上BC,

/.ZABG=90°,

ZBA/'=Z.G+ZABG=150°,

/.Z£>=Z^F=150°,

・；ZC+ZD+ZE+ZF+^BAF+ZABC-(6-2)x180°-720°,

.­.ZF=7200-120o-150o-80o-150o-90o=130°.

故选：C.

7.（2022秋•城关区校级期末）若〃边形的内角和比它的外角和的3倍少180。，则〃是（）

A.5B.7C.8D.9

【分析】根据“边形的内角和公式（〃-2）.180。5..3且〃为整数），外角和等于360。列出方程求解

即可.

【解答】解：依题意得：（〃-2）180。=360。乂3-180。，

解得〃=7.

故选：B.

8.（2022秋•研口区期末）如图，已知N1+N2+Z3+N4=29O。，那么Z5的大小是1）

A.60°B.70°C.80°D.90。

【分析】根据多边形的外角和是360。即可得出答案.

【解答】解：\Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

Zl+Z2+Z3+Z4=290°,

.•.Z5=360°-290o=70°.

故选：B.

9.（2022秋•荔湾区期末）如果一个多边形的每个内角都是144。，则它的边数为（）

A.8B.9C.10D.11

【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数=360。+一个外角的度数计算即可.

【解答】解:因为180。一144。=36。，

360°4-36°=10,

故这个多边形的边数是10.

故选：C.

10.（2022秋•北京期末）一个〃边形的每个外角都是45。，则这个〃边形的内角和是（）

A.1080°B.540°C.2700°D.2160°

【分析】根据多边形的外角和是36（）度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即

多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和.

【解答】解：多边形的边数是：360+45=8,

则多边形的内角和是：（8-2）x180=1080°.

故答案为：A.

考点3平行四边形性质中的边角关系

【方法点拨】掌握平行四边形的边角性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平

行四边形的对边相等，且平行。

11.（2022秋•莱阳市期末）如图，在，ABCZ）中，8尸平分ZABC交4）于点八CE平分ZBCD

交4）于点E,若AB=6,4）=8,则EF的长度为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】先证明AB=AE=3,DC=DF,再根据耳'=4/+£）石-AD即可得出答案.

【解答】解：:四边形A8CD是平行四边形，

.♦.48=8=3,BC=AD,AD//BC、

M平分ZABC交AD于石，CE平分/BCD交AD于F,

ZABF=^CBF=ZAFB,ZBCE=ZDCE=NCED,

AB=AF=61DC=DE=6,

..EF=AF+DE-AD=6+（）-AD=4.

故选：A.

12.（2022秋•南关区校级期末）关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（）

A.平行四边形的对角线相等

B.平行四边形的对角相等

C.平行四边形的对角线互相平分

D.平行四边形的对边平行且相等

【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可.

【解答】解：•・・平行四边形的性质是：对边相等旦平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平

分.

:.B、C、。正确，A错误，

故选：A.

13.（2022秋•南关区校级期末）如图，在平行四边形/W8中，N4=I3O。，CE平分ZBCD,

A.115°B,110°C.105°D.120°

【分析】由平行四边形的性质可得人A/AC,4=/皮力=130。，由角平分线的定义得出

NBCE=L/BCD=65。，从而可得出答案.

2

【解答】解：•.・四边形A3CO为平行四边形，44=130%

AD//BC,ZA=ZBCD=130°,

.•.ZBCE+ZAEC=180°,

;CE平分ZBCD,

・•.NBCE，/BCD=65。,

2

.•.ZAEC=180o-65o=115°,

故选：A.

14.（2022秋•招远市期末）已知，A3C。，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定

成立的是（）

A.ZDAE=ZBAEB.ZDEA=-ZDABC.DE=BED.BC=DE

2

【分析】根据角平分线的性质与平行四边形的性质对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、由作法可知他平分所以NQAE=NBA£，故本选项不符合题意;

B、-CD//AB.ZDEA=ZBAE=-ZDAB,故本选项不符合题意；

2

C、无法证明比=他，故本选项符合题意；

D、­.ZDAE=ZDEA,：.AD=DE,•.AD=BC，:.BC=DE,故本选项不符合题意.

故选：C.

15.（2022秋•黄浦区校级期末）如图所示，在平行I四边形A8CZ）中，A4=4c〃z,AD=7an,ZABC

的平分线B尸交AD于点E,交CD的延长线于点八则。尸=cm.

【分析】由的平分乙4比?得到=又由平行四边形两组对边分别平行可以推出

ZABE=NBFC,然后可以得到3C=B,从而求出£>F.

【解答】解：•.B『平分ZABC,

.\ZABE=ZCBE.

又：AB//CD,

:.ZABE=4BFC,

:.ZCBE=4BFC,

BC=CF,

DF=CF-CD=BC-AI3=1-4=3.

故答案为：3.

考点4平行四边形性质中的对角线

【方法点拨】掌握平行四边形的对角线性质是关键：平行四边形的对角线互相平分。

16.（2022秋•招远市期末）如图，GABCZ）的周长为30a77,AA8C的周长为27a〃，贝I对角线AC

的长为（）

A_____________D

O

BC

A.27(77/B.17。〃C.\2cmD.lOc/z/

【分析】由平行四边形的性质可得A6=C。，AD=BC,即可求解.

【解答】解：•・•四边形/WC。是平行四边形，

:.AB=CD,AD=BC,

•.^ABCD的周长为30刖，AABC的周长为27的，

AB+BC=15an,AB+BC+AC=Ylem,

AC=12cm,

故选：C.

17.（2022春•锦州期末）如图，的周长为36o〃，AABC的周长为28a〃，则对角线AC的

长为（）

A.28cmB.18cmC.10。〃D.Sem

【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍,即2（48+80=36,则AB+3C=18的,而

AA8C的周长=A6+8C+4c=28,继而即可求出AC的长.

【解答】解：,.乙ABCO的周长是36c，

AB+AD=18/w>

AAHC的周长是2&5，

:.A13+BC+AC=2Scmf

：.AC=（AB+BC+AC）一（A8+AC）=28-18=10（c/w）.

故选：C.

18.（2021秋•让胡路区校级期末）在cABCD中，AC=24,80=38,A3=〃z,则机的取值范

围是（）

A.24</n<39B.14</〃<62C.7Vm<31D.7<w<12

【分析】根据平行四边形两条对角线互相平分可得4O=』AC=I2,BO，BD=19,再根据三角

22

形三边关系定理可得答案.

【解答】解：泗边形A8CO是平行四边形,

/.AO=-AC=\2,BO=LBD=19，

22

•.BO-AO<AB<AO+BO,

/.7</z?<31,

故选：C.

19.（2022秋•东营区校级期末）如图，aABCD的对角线相交于点O,且A5=5,△OCD的周

长为23,则「ABC。的两条对角线的和是（）

【分析】首先由平行四边形的性质可求出8的长，由条件△OCO的周长为23,即可求出8+OC

的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和.

【解答】解：•.•四边形46CD是平行四边形，

/.AB=CD=5，

△OCD的周长为23,

.♦.OQ+OC=23—5=18,

、：BD=2DO,AC=2OC,

/.平行四边形ABCD的两条对角线的和=8。+AC=2（DO+OC）=36,

故选：C.

20.（2022秋•任城区期末）已知，在平行四边形中，的平分线分3C成4cm和3c7〃两

条线段，则平行四边形ABC。的周长为（）皿.

A.11B.22C.20D.20或22

【分析】设N4的平分线交BC于点心可证明4?=即，再分两种情况讨论，一是EB=4cm,

EC=3cm,贝！JA6=£6=4c7〃，BC=EB+EC=lcni;二是EB=3cm,£C=4c，〃时，贝UA6=£6=3a〃，

BC=EB+EC=7cm,分别求出平行四边形A8CO的周长即可.

【解答】解：设N4的平分线交BC于点七，

•.•四边形八4c力是平行四边形，

:.BC//AD,

：.ZBEA=ZDAE,

,ZBAE=ZDAE.

:.ABEA=NBAE,

:.AB=EB，

当EB=4cm,EC=3cmW，如图1,

则AB=£S=4o〃，BC=EB+EC=7cm，

.•.2A3+23C=2x4+2x7=22(cw);

当EB=3ctn,EC=4cm时，如图2,

则AB=EB=3an,BC=EB+EC=7cm,

：.2AB+IBC=2x3+2x7=20(c/»),

平行四边形ABCD的周长为22an或20cm,

故选：D.

BEr

图1

BEC

AD

图2

考点5利用平行四边形性质求周长

【方法点拨】掌握平行四边形的性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四

边形的对边相等，且平行；⑶平行四边形的对角线互相平分。

21.如图，在oABC。中，对角线AC、8。相交于点O,AB=3,△ABO的周长比4台。。的周

长小1,贝I0A8C。的周长是（）

AD

A.10B.12C.14D.16

【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△AOB的周长

比△80C的周长小1,则BC比A8大1,所以可以求出8C,进而求出周长.

【答案】解：•••△A08的周长比△B。。的周长小1,

：.BC-AB=\.

VAB=3,

：.BC=4,

:・AB+BC=1,

・・・平行四边形的周长为14,

故选：C.

22.如图，£尸过平行四边形A8CD对角线的交点。，交AD于点、E,交BC于点F,若平行四

边形ABCQ的周长为36,OE=3,则四边形ER7Q的周长为（）

【分析】根据平行四边形的性质可求出AD+CO的值，易证△AOE0Z\COF,所以4£=CR

OE=OF=3,根据CF+CD+ED+EF=AD+CD+EF即可求出答案.

【答案】解：在平行四边形48CZ）中，

2（4D+CD）=36,

易证△AOEg/\CO凡

：.AE=CF,OE=OF=3,

:.CF+CD+ED+EF

=AE+ED+EF+CD

=AD+CD+EF

=18+6

=24

故选：C.

23.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCO中，AE±BC,AFLCD,垂足分别

是石、F,ZE4F=60°,BE=2,DF=3,则平行四边形A3CZ）的周长为.

【分析】由平行四边形的性质得人4//6,AD//BC,AB=CD,AD=BC,再证

ZBAE=zlDAF=3（r,然后由含30°角的直角二角形的性质得4J=26E=4,AD=2DF=6，即可

解决问题.

【解答】解：,四边形A3C。是平行四边形，

：.AB//CD,AD//BC,AB=CDfAD=BC,

•・AE上BC,AF1CD,

:.ZAEB=ZAFD=90°,AF±AB,AEA.AD.

:.ZBAF=^DAE=90°,

•.ZE4F=60°,

NBAE=ZDAF=9()°-6()°=30°,

:.AB=2BE,AD=2DF

•.BE=2,DF=3,

..CD=AB=4,BC=AD=6,

：.^ABCD的周长=2(AB+KC)=2x(4+6)=20,

故答案为：2（）.

24.（2022秋•泰山区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线4c和相交于点。，E尸过点

O与4）、相交于点E、F,若人8=5,BC=6,OF=2,那么四边形48FE的周长

是

ED

FC

【分析】先证明AAOE=ACO/：,得出AE=CF,OE=OF=2、可求得EF=4,即可得出四边形

的周长=M+AE+AB+3^=EF+3C+AB,进而可求解.

【解答】解：♦.•四边形A3CO是平行四边形，AB=5,

：.AD//BC,OA=OC,

ZE4O=ZFCO,

在MOE和△（%>/中，

NEAO=Z.FCO

OA=OC,

ZAOE=ZCOF

:.AAOE^^COF（ASA）,

AE=CF,OE=OF=2,

/.£F=4,

••・四边形E尸CD的周长=炉+/^+/^+8/=所+3。+钻=4+6+5=15.

故答案为：15.

25.（2022秋•东营区校级期末）如图，nAea）的对角线相交于点O,且ADwCD,过点。作

OM±AC,交4）于点如果△COW的周长为8,那么cAHS的周长是.

【分析】根据题意，垂直平分AC,所以MC=M4,因此的周长=AO+C。，可得平

行四边形48CD的周长.

【解答】解：・.ABC。是平行四边形，

:.OA=OC,

•.OM±AC,

：.AM=MC.

:.^CDM的周长=AD+C£>=8,

二平行四边形"CD的周长是2x8=16.

故答案为16.

考点6利用平行四边形性质求面积

【方法点拨】掌握平行四边形的性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补：⑵平行四

边形的对边相等，且平行；⑶平行四边形的对角线互相平分。

26.（2022秋•招远市期末）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形

面积一半的是（）

【分析】利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和立行四边形的面积逐个进行判断，即可

求解.

【解答】解：4、无法判断俄影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误；

因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影

部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；

C、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分

的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；

因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行I四边形的面积可知，阴影部分

的面积等于平行四边形的面积的一半，正确.

故选：A.

27.（2022秋•张店区校级期末）如图，在uABCD中，过对角线8。上一点尸作七尸//8C,

GH//AB,且CG=38G,S*=L5,WJ5AFPH=

BGC

【分析】由条件可证明四边形印小D、3EPG为平行四边形，可证明％边形用〃=床边阶FC。，再利

用面积的和差可得出四边形AEP〃和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案.

【解答】解：、；EF〃BC,GH//AB,

二四边形“尸⑦、BEPG、AEPH、CFPG为平行I四边形，

•C—C

•・一jxBGP

I司理可得S"HD=SADFP，SMBD=SACDB»

q

triAEPH“四边形PFCC*

CG=3BG,SBEPG=15，

二.、四边形AE/W=S四切形we=3x1,5=4.5;

故答案为：4.5.

28.（2022秋•张店区校级期末）如图，平行四边形A3CD中，对角线AC、8。相交于点O,

过点O的直线分别交4）、BC于点E、F,若AB=2,8C=3,ZAZ5C=6O°,则图中阴影部

分的面积是

【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果.

【解答】解：•,・平行四边形A8C。中，对角线AC、双）相交于点O,

•*,=SACEO，

阳影部分面积等于ABC。的面积，即为aA88面积的一半,

过点C作C尸_LAO于点?，

.•C£>=/W=2,ZA29C=6O°,

:.DP=\,CP=6

s平行四边形人=BCCP=3小

二阴影部分面积为3叵，

2

故答案为：史.

2

29.（2022秋•南关区校级期木）如图，平行四边形A8CZ）的对角线AC,8。相交于点O,若

4C=10,BD=6,8C=4,贝I］平行四边形ABC。的面积为

【分析】先作。E//AC交3c的延长线于点石，然后根据平行四边形的性质和判定可以得到四

边形ACED是平行四边形，从而可以得到小、CE的长，进而得到座的长，然后根据勾股定

理的逆定理可以判断AD8石的形状，最后根据平行四边形的面积=底乂高计算即可.

【解答】解：作DE//AC交8C的延长线于点E,如图所示，

•.•四边形43CZ）是平行四边形，

AD//BC>

二四边形ACED是平行四边形,

/.AC=DE,AD=CE,

vAC=10,BD=6,BC=4,

.♦.OE=10,CE=4,BE=BC+CE=8,

：.8D2+BY=62+82=102=DE2,

.•.ADBE是直角三角形，ZDBC=90°,

平行四边形A8CD的面积为：BDBC=6x4=24,

故答案为:24.

BCE

30.（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在平行四边形ABC。中，AE上BC于点E,4^_LCD于

点F,若AE=4,A尸=6,AD+CZ）=20,则平行四边形A8CD的面积为.

AD

REC

【分析】已知平行四边形的高立、AF,设4c=AO=x，WJCD=20-x,根据“等面积法”列

方程，求6C,从而求出平行四边形的面积.

【解答】解：l&BC=AD=x,则8=20—x,根据“等面积法”得

4x=6（20-x）>解得x=12,

・•・平行四边形ABCD的面积=4x=4xl2=48.

故答案为：48.

考点7平行四边形的判定

【方法点拨】平行四边形的判定：⑴一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑵两组对边

分别相等的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑷对角线互相

平分的四边形是平行四边形；

31.（2022秋•泰山区期末）如图，四边形A8CD的对角线交于点O,下列哪组条件不能判断四

边形A3CD是平行四边形（）

A.OA=OCOBB.AB=CD,AO=CO

C.AB=CD,AD=BCD./BAD=NBCD,AB//CD

【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A、・.,Q4=OC,OB=OD,

.•.四边形八4C。是平行四边形，故选项人不符合题意；

B、由43=8,AO=CO不能判断四边形/WCZ?是平行四边形，故选项3符合题意；

C、.AB=CD,AD=BC,

.•・四边形A3CD是平行四边形，故选项C不符合题意：

D、•.AB//CD.

.•.ZABC+ZBCr）=180°,

ZBAD=4BCD,

.•.44BC+N84Z）=I8O。，

/.AD//BCy

二.四边形"8是平行四边形，故选项。不符合题意；

故选：B.

32.（2022秋•东平县校级期末）四边形ABC。中，对角线AC、8。相交于点O,给出下列四

组条件：

①AB//CD,AD//BC;

②AB=CD,AD=BC;

③AO=CO,BO=DO;

@AB//CDfAD=BC.

其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

【分析】根据平行四边形的判断定理可作出判断.

【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知

①能判断这个四边形是平行四边形；

②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个

四边形是平行四边形；

③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这

个四边形是平行四边形；

④根据平行四边形的判定定理；一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，

可知④错误；

故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，

故选：C.

33.（2022秋•泰山区校级期末）如图，在四边形A4co中，对角线AC、a）相交于点O,下

列条件不能判定四边形A8CD为平行四边形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.OA=OC,OB=OD

C.AD=BC,AB//CDD.AB=CD>AD=BC

【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可.

【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形A3CD为平行四

边形，故此选项不合题意；

B、根据对角线互相平分的八边形是平行四边形可判定四边形A8C。为平行I四边形，故此选项

不合题意；

C、不能判定四边形A8CD是平行四边形，故此选项符合题意；

。、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形A8CO为平行四边形，故此选

项不合题意；

故选：C.

34.下面给出的四边形A8C。中，NA、/B、/C、NO的度数之比，其中能判定四边形4BCZ）

是平行四边形的条件是（）

A.3：4：3：4B.3：3：4：4C.2：3：4：5D.3：4：4：3

【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形.其它三个

选项不能满足两组对角相等，故不能判定.

【答案】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确.

故选：A.

35.（2022秋•峰峰矿区校级期末）嘉淇同学要证明命题”两组对边分别相等的四边形是平行四

边形''是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形48CO,并写出了如下不完整的已知

和求证.

己如：如图1,在四边形48CO中，BC=AD,AB=CD

求证：四边形A8CD是四边形.

（1）填空，补全已知和求证；

（2）按嘉洪的想法写出证明；

（3）用文字叙述所证命题的逆命题为.

我的想法是：利用三角形

全等，依据一两组时边分

别平行的四边形是平行四

边形”来证明Q

【分析】（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设

可得已知：在四边形A8CZ）中，BC=AD,AB=CD,求证：四边形A3CO是平行四边形;

（2）连接50,利用SSS定理证明AABO二△CD3可得=ZABD=/CDB,进

而可得AB//CD,AD//CB,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形

ABC。是平行四边形；

（3）把命题”两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两

组对边分别相等.

【解答】解：（1）己知：如图1，在四边形43co中，BC=AD,AB=CD

求证：四边形ABC。是平行四边形.

（2）证明：连接皿,

在M8O和ACDB中,

AB=CD

<AD=BC,

BD=DB

/.SABD二ACDB（SSS）,

；.ZADB=/DBC,ZABD=4CDB,

:,AB//CD.AD//CB,

四边形ABC。是平行四边形；

（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等.

B

图1

考点8平行四边形的判定与性质

36.（2022秋•张店区校级期末）如图，在平行四边形至8中，点石，尸在对角线8。上，连

接AE,EC,C/，以，点E,厂满足以下条件中的一个：①8-=£）石；②AE=AF;③AE=b;

®ZAEB=Z.CFD\⑤AE1BD,CFLBD.其中，能使四边形AEC尸为平行四边形的条件个

数为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结

论.

【解答】解：①如图，连接AC交比）于点O,

.,四边形A3C。是平行四边形，

/.AB//CD.AB=CD,OB=OD,OA=OC,

;BF=DE,

:.B卜一OB=DE—OD,

^OF=OE^

.•・四边形是平行四边形；故①正确;

②AE=AF,不能判定AAB£三A/V才

.••不能判定四边形4EC产是平夕亍四边形；

③；AE=CF,不能判定必心ACDF,

二.不能判定四边形A反尸是平吁四边形；

④.AB//CD,

:.ZABE=NCDF,

•.ZAEB=ZCFD

在M8E和中，

ZAEB-ZCFD

，NABE=ZCDF,

AB=CD

二.石3AC。户'(/US),

；.BE=DF,

...AO=COfBO=DO,

;.OE=OF,

.•・四边形A£c”是平行四边形，故④正确；

⑤AE工BD,CF±BD,

：.AE//CF>

:.ZAED=』CFB，

在MED和ACB尸中，

ZAED=Z.CFB

,ZADE=NCBF,

AD=CB

.­.MED^ACBF(AAS),

:.BF=DE,

：.BF-OB=DE-ODy

:.OF=OE,

・OA=OC^

四边形AEb是平行四边形；故⑤正确；

.一•定能判定四边形AEb是平行四边形的是①④⑤，共3个，

故选：B.

37.(2022秋•东平县校级期末)如图：分别以RtAABC的直角边AC及斜边4?为边作等边AA8

及等边AABf,已知/E4C=30。，EhAB,垂足为/，连接）'交4。于点O.给出下列说

法：®AC=EF;②四边形4）在:是平行四边形；③AA以®2FO=BC;⑤

ZE4Z>=120°.其中正确结论的个数是（）

【分析】由等边三角形的性质可得4b=笈。，由“瓶”可证AAfFwMCX，可得AC=E/,即

可判断①成立，由平行四边形的判定可证四边形4）正是平行四边形，即可判断②成立，由

“SSS”可证AAO尸三2X6/3可判断③不成立，由平行线分线段成比例可判断④成立，由等边二

角形的性质可判断⑤不成立.

【解答】解：:RtAABC中，/24C=3O。,

:.AB=2BC,

乂:是等边三角形，EFLAB,

：.AB=2AF

:.AF=BC^

在RtAAFE和RtABCA中，

AF=BC

AE=BA

RtAAFE=RtABCA(HL),

：.AC=EF;

故①正确

AACD是等边三角形，

/.ZmC=60%AC=AD,

:.ADAB=ZDAC+ABAC=90°

:.EF!IAD.

AC=EF,AC=AD,

：.EF=AD,

四边形4“国是平行四边形.

故②正确

•.•四边形4)正是平行四边形

：.AE=DF=ABfAE//DF

X'.'AF=BC,AD=AC

:.W)F=bCAB(SSS)

.•.A48C与A4DO不全等

故③错误

-AE//DF

AF_凡。1

~BA~~BC~2

:.BC=2OF

故④正确

•/ZE4D=/BAE+ZE4C+ZC4D=150°

故⑤错误

故选：B.

38.(2022秋•泰山区校级期末)如图，在四边形ABCZ)中，AD//BC,对角线AC、8。交于点

o,SLAO=OC.

(1)求证：

①MOE=△(%)*;

②四边形A3C。为平行四边形；

(2)过点O作/_1_班＞,交4)于点E,交BC于点F,连接8E,若/相＞=100°,ZD8尸=32。，

求ZAB石的度数.

【分析】(1)①由平行线的性质得出NOAD=NOCB,可，正明AAOE=ASA);

②证得4)=C8,再由AD//8C，即可得出结论；

(2)由全等三角形的性质得出OE=O尸，证出跖=M,由等腰三角形的性质得出

NOBF=NOBE=32。,求出ZABC=116。，则可得出答案.

【解答】(1)①证明：〈AO//4C,

NOAD=NOCB,

在AAOE和△COb中，

ZOAE=NOCF

-AO=OC,

ZAOE=ACOF

:.AAOE^SCOF(ASA);

②同理可证MOD三bCOB，

:.AD=CBy

又、AD//BC,

/.四边形A8CD为平行四边形；

(2)解：

;.OE=OF,

〈EFtBD,

:.BE=BF,

ZOBF=4OBE=yr,

NEBF=64。,

•.ADHBC,

.•.ZABC=180。一NZiAD=180°-100°=80°,

/.ZABE=ZABC-ZEBF=80o-64o=16°.

39.(2022秋•招远市期末)如图，四边形488为平行四边形，石为4)上的一点，连接所并

延长，使BF=BE,连接EC并延长，使CG=CE,连接FG.”为FG的中点，连接OH.

(1)求证：四边形47//)为平行四边形；

(2)若CB=CE,Za4£=80°,ZDCE=30°,求NCAE的度数.

【分析】(1)由平行四边形的性质得出AO=8C,AD//BC;证明3C是AEFG的中位线，得出

BC//FG,BC=-FG证出4)//切，AD=FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；

2f

(2)由平行四边形的性质得出ZBCE=50°,再由等腰三角形的性质得出NC8E=NCEB,根据

三角形内角和定理即可得出结果.

【解答】(1)证明：•.•四边形八AS是平行四边形，

:.AD=BCyAD//BC,NAE=NBCD,

•BF=BE,CG=CE,

.•.8C是AEPG的中位线，

:.BCI/FG,BC=、FG,

2

•・•〃为尸G的中点，

：.FH=-FG,

2

：.BC//FH,BC=FH,

/.AD//FHAD=FH,

.・.四边形是平行四边形：

(2)解：•/ZZMZi=80°,

."8=80。，

/.ZBCE=80°-30°=50%

、；CB=CE,

Z.CBE=NCEB=-(180°-50°)=65°.

2

40.(2022秋•泰山区期末)己知：如图，在四边形A4Q中，DEA.AC.BF工AC,垂足分别

为E,F,延长DE、BF,分别交A8于点H,交4c于点G,若ADf/BC,AE=CF.

（1）求证：四边形ABC。为平行四边形；

（2）若NDAH=NGBA,GF=2,CF=4,求/U）的长.

【分析】（1）证明AZME二ABCF,可得AD=C8,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四

边形即可解决问题；

（2）根据平行四边形的性质证明BG=BC，然后根据勾股定理可得CG,进而可以解决问题.

【解答】（1）证明：・・・£>E_LAC,BF工AC,

ZAED=ZCra=90°,

•.AD//BC,

.\ZDAE=ZBCF，

在AZME和MCE中，

NDEA=NBFC=90°

AE=CF

/DAE=上BCF

.•.SAE二ABC户(ASA),

AD=CH>

•.AD//BC.

.小边形A38为平行四边形；

(2)解：•四边形A8CD为平行四边形,

/.ADAH=ZBCG,

ABUCD,

:.NCGB=4GBA,

•.ZDAH=ZGBA，

NCGB=4BCG,

;.BG=BC，

在RtACFB中，

、；BF=BG-FG=BC-2,CF=4,

/.BC?=BF2+CF?,

^C2=(BC-2)2+42,

:.BC=5.

AD=BC=5.

考点9三角形的中位线

41.（2022秋•泰山区校级期末）如图，中，AB=9cm,AC=5a〃，点石是8c的中点，若

AD平分NBAC,CDLAD,线段。石的长为（）

A.\cmB.2c/?tC.3cmD.4cm

【分析】延长CD交4?于尸，证明AAD/二M）C,根据全等三角形对应边相等可得AF=AC,

CD-FD,再求出6户并判断出此是MCF的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半

解答.

【解答】解：如图，延长8交于尸，

•.AD平分N/3AC,

/.ZC4£）=Z/<4D，

-.-ADYAD,

ZAPC=ZAD^=9O°,

在MDF和AAZ）C中，

NDAF=ZDAC

-AD=AD

ZADF=/AOC

MDF=^ADC(ASA),

AF=AC=5crn,CD—FD，

：.BF=AB-AE=9-5=4cmf

,.•CT)=a)，点£为AC的中点,

DE是邸CF的中位线，

：,DE=-13F=2etn,

2

故选：B.

42.（2022秋•二道区校级期末）如图，在AABC中，AB=BC=\3,4力平分ZA8c交AC于点。,

点尸在KC上，且所=5,连接4F,E为AF的中点，连接£）石，则DE的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AO=DC,根据三角形中位线定理计算得到答案.

【解答】解：8C=13,BF=5,

；.FC=BC—BF=13—5=8,

'：AB=BC,8£＞平分ZABC,

.\AD=DC，

、；AE=EF,

.•.。£是。*'的中位线，

.•.D£：=-FC=-x8=4.

22

故选：B.

43.（2022秋•桐柏县期末）如图，在A/WC中，点。、E分别是4?、AC的中点，AC=1（）,

点F是DE上一点.DF=\.连接AF,CF.若ZAFC=90°,则8c的长度为（)

A.18B.16C.14D.12

【分析】根据直角三角形的性质求出所，进而求出小，根据三角形中位线定理计算，得到答

案.

【解答】解：•.NA尸。=90。，点石是AC的中点，AC=10,

/.EF=-^C=-xlO=5,

22

DF=1,

:.DE=DF+EF=6,

•.•点。、E分别是AB、AC的中点，

:.BC=2DE=12,

故选：O.

44.（2022秋•南关区校级期末）如图，四边形ABC。中，ZA=90°,AB=12,AD=5,点M、

N分别为线段BC、AB上的动点，点上、F分别为"4、A，"的中点，则长度的可能为

（）

A.2B.2.3C.4D.7

【分析】根据三角形的中位线定理得出M从而可知ON最大时，EF最大，因为N与8

2

重合时ON最大，N与A重合时，DN最小,从而求得Er的最大值为6.5,最小值是2.5,可解

答.

【解答】解：连接ON,

ED=EM,MF=FN,

:.EF=-DN>

2

一.ON最大时，EF最大,ON最小时，EF最小,

,.•N与4重合时。N最大，

此时DN=DB=\lAD2+BD2=6+⑵=13,

」.防的最大值为6.5.

•.ZA=90°,AD=5,

DN..5,

/.EF..2.5,

.•.所长度的可能为4；

故选：C.

45.（2022秋•新泰市期末）如图，四边形A8CZ）中，AD=BC,E,F,G分别是AB,DC,

AC的中点.若ZACB=64。，ZDAC=22°,则NE/P的度数为21。

【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可.

【解答】解：AO=8C,E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,

..GA是zMCD的中位线，GE是AAC8的中位线.

.\GF//AD^GF=-AD,GEUBC且GE==BC.

22

又，.AD=BC>

...GF=GE,ZFGC=ZDAC=22°,ZAGE=ZACB=64°.

:.NEFG=NFEG.

・.•NFGE=NFGC+ZEGC=22°+(180°-64°)=138°,

/.NEFG=-(1800-4FGE)=21°.

故答案是：21°.

考点10平行四边形中的最值问题

46.（2021春•方城县期中）如图，在RtAABC中，ZB=90°,AB=4,8c=3,点£在加上,

以AC为对角线的所有cADCE中，对角线DE的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】由平行I四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当8,4A时，OE长度取最小值,

则。。是乙44。的中位线，得出OO=‘CB=1.5,即可得出答案.

【解答】解：在RtAABC中，4=90。，

:.BCLAB.

•.•四边形ADCE是平行四边形，

:.OD=OE,OA=OC.

.•・当取最小值时，DE线段最短，此时O£>J_E4.

;.OD/1CB,

OD是AABC的中位线，

:.OD=-CB=\.5,

：.ED=2OD=3.

故选：B

ADB

47.（2022春•确山县期末）如图所示，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,6c=3,尸为AS上

一动点（不与A、8重合），作比J.AC于点石，PF工BC于点F,连接所，则比的最小

值是（）

C

A.2.5B.5C.2.4D.1.2

【分析】连接C尸，利用勾股