2025-2026学年山东省临沂市河东区高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省临沂市河东区2025-2026学年高二上学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，故点在圆上；又，故点在圆外；因为，故点在圆内；又，故点在圆外；综上，在圆内的是.故选：C.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D3.已知直线的方向向量为，若直线，则直线的倾斜角为（）A.30° B.45° C.135° D.150°【答案】B【解析】设的方向向量为，因为直线的方向向量为，且直线，则，所以，则直线的斜率为，故倾斜角为45°，故选：4.双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为.故选：A.5.直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】因为直线经过点，则可得，直线方程，因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，可知，令，得；令，得；则，化为，解得或，故的所有可能取值之和为.故选：6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图：，又，所以，故选：7.实数，满足，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】因为，所以，则，所以当时，取最小值故选：8.如图所示，为棱长为1的正方体内部（含边界）一点，则的最值之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示建立空间直角坐标系，设，则，则，当时取到最小值0，当时取到最大值．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.已知，，则B.若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底C.已知向量，，若，则为钝角D.点为平面外一点，为平面内一点，若，则【答案】AD【解析】对于,因，，则，所以，故正确；对于若三个向量共面，则存在实数，使得，解得，则，所以三个向量共面，不可以构成空间向量的基底，故错误；对于,因为，，当时，，，则，此时,不为钝角，则错误；对于因为是平面内一点，根据四点共面的向量判定定理知：，解得，故正确，故选：10.如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（）A.直线与平行B.四面体的体积为定值C.平面与平面的夹角为D.直线和所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】对于A选项，连接，因为是侧面的中心，是底面的中心，则为的中点，为的中点，所以在中，为的中位线，即，A正确；对于B选项，因为，在平面外，平面，所以平面，又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，又为定值，所以四面体的体积为定值，B正确；对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，解得，令，得，则，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为所以，C错误；对于D选项，，,则，D正确.故选：ABD.11.已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.椭圆的离心率为B.椭圆上存在点，使得C.直线的方程为D.的周长为【答案】BD【解析】因为椭圆：的焦点分别为，，可得焦点在轴，且，即，所以，则椭圆的方程为，则其离心率故错误；对于,由椭圆方程可知，以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以椭圆上存在点，使得，则正确；对于，设，因为的中点为，则，又在椭圆上，则，两式相减可得即所以直线的斜率为，又直线过点，则直线为，即，故错误；对于直线过点，则周长为，故正确.故选：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________．【答案】15【解析】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：，则，解得：，故.故答案为：15.13.若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________.【答案】【解析】易知直线的斜率存在，设方程为①所以直线沿轴向右平移3个单位后得到的方程为，再沿轴向上平移2个单位后得到的方程为②因为回到原来的位置，所以方程①②应为同一个，比较系数可得，解得.故答案为：．14.设为钝角，若直线与曲线：只有一个公共点，则的离心率为________.【答案】或【解析】因为为钝角，则，所以曲线表示焦点在轴上的双曲线，即则故焦点坐标为，又直线过，而点在双曲线内部，则当直线与双曲线只有一个公共点时，该直线必与一条渐近线平行，则，则的离心率为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线：，圆：.（1）求证：直线恒过定点；（2）若直线与圆相切，求实数的值.（1）证明：直线的方程可化为，由，得，所以，直线恒过定点.（2）解：圆的方程可化为，则圆的圆心为，半径为1，因直线与圆相切，所以，解得，或.16.在棱长为1的正方体中，为的中点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求向量在向量上的投影向量的坐标；（2）求点到平面的距离.解：（1）在棱长为1的正方体中，可知，，，所以，，所以，向量在向量上的投影向量为，所以，向量在向量上的投影向量的坐标为:.（2）设平面的法向量为，则，则，即，取，，，则平面的一个法向量为，又，所以，，所以，点到平面的距离为:.17.已知圆：，圆：，动圆与圆、圆都相外切，记动圆圆心的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程.解：（1）设动圆的半径为，圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，又因为动圆与圆、圆都相外切，所以，，，所以，即动圆圆心的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，又，所以，，，所以，的方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设过点的直线的方程为，联立，消去得，可知.设，，则，，由题意知点，均在双曲线的右支上，由，得，可得，解得，，解得，可得，解得，即，所以，直线的方程为，即或.18.在三棱锥中，平面，.（1）证明：；（2）若是中点，过的平面与平行，求与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为平面，且平面，所以，，，又，所以与全等，所以，，即，又，平面，所以，平面，又平面，所以，.（2）设平面，连接，因为，平面，平面平面，所以，由于是中点，故为的中点，由（1）知，又，在中，有，如图，过点作，易知，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，则，即，取，，，则平面一个法向量为，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.19.已知椭圆：的短轴长为2，点在上.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的右焦点为，点为外一点，直线交于，两点，（i）已知为原点，若，求直线的方程；（ii）已知点，记直线，，的斜率分别为，，，若，求的面积.解：（1）椭圆的短轴长为，则，又点在上，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）（i）由（1）可得椭圆右焦点，显然当直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，联立，消去得，设点，，则，，因为，所以，化简得，所以，即，即，解得，则直线的方程为：或.（ii）由题意知直线，，的斜率均存在，设，由（i）得，，所以，，因为，所以，所以，又，解得，所以点在定直线：上，且直线平行直线，点到直线的距离，所以，因此的面积为.

山东省临沂市河东区2025-2026学年高二上学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，故点在圆上；又，故点在圆外；因为，故点在圆内；又，故点在圆外；综上，在圆内的是.故选：C.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D3.已知直线的方向向量为，若直线，则直线的倾斜角为（）A.30° B.45° C.135° D.150°【答案】B【解析】设的方向向量为，因为直线的方向向量为，且直线，则，所以，则直线的斜率为，故倾斜角为45°，故选：4.双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为.故选：A.5.直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】因为直线经过点，则可得，直线方程，因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，可知，令，得；令，得；则，化为，解得或，故的所有可能取值之和为.故选：6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图：，又，所以，故选：7.实数，满足，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】因为，所以，则，所以当时，取最小值故选：8.如图所示，为棱长为1的正方体内部（含边界）一点，则的最值之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示建立空间直角坐标系，设，则，则，当时取到最小值0，当时取到最大值．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.已知，，则B.若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底C.已知向量，，若，则为钝角D.点为平面外一点，为平面内一点，若，则【答案】AD【解析】对于,因，，则，所以，故正确；对于若三个向量共面，则存在实数，使得，解得，则，所以三个向量共面，不可以构成空间向量的基底，故错误；对于,因为，，当时，，，则，此时,不为钝角，则错误；对于因为是平面内一点，根据四点共面的向量判定定理知：，解得，故正确，故选：10.如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（）A.直线与平行B.四面体的体积为定值C.平面与平面的夹角为D.直线和所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】对于A选项，连接，因为是侧面的中心，是底面的中心，则为的中点，为的中点，所以在中，为的中位线，即，A正确；对于B选项，因为，在平面外，平面，所以平面，又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，又为定值，所以四面体的体积为定值，B正确；对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，解得，令，得，则，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为所以，C错误；对于D选项，，,则，D正确.故选：ABD.11.已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.椭圆的离心率为B.椭圆上存在点，使得C.直线的方程为D.的周长为【答案】BD【解析】因为椭圆：的焦点分别为，，可得焦点在轴，且，即，所以，则椭圆的方程为，则其离心率故错误；对于,由椭圆方程可知，以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以椭圆上存在点，使得，则正确；对于，设，因为的中点为，则，又在椭圆上，则，两式相减可得即所以直线的斜率为，又直线过点，则直线为，即，故错误；对于直线过点，则周长为，故正确.故选：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________．【答案】15【解析】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：，则，解得：，故.故答案为：15.13.若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________.【答案】【解析】易知直线的斜率存在，设方程为①所以直线沿轴向右平移3个单位后得到的方程为，再沿轴向上平移2个单位后得到的方程为②因为回到原来的位置，所以方程①②应为同一个，比较系数可得，解得.故答案为：．14.设为钝角，若直线与曲线：只有一个公共点，则的离心率为________.【答案】或【解析】因为为钝角，则，所以曲线表示焦点在轴上的双曲线，即则故焦点坐标为，又直线过，而点在双曲线内部，则当直线与双曲线只有一个公共点时，该直线必与一条渐近线平行，则，则的离心率为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线：，圆：.（1）求证：直线恒过定点；（2）若直线与圆相切，求实数的值.（1）证明：直线的方程可化为，由，得，所以，直线恒过定点.（2）解：圆的方程可化为，则圆的圆心为，半径为1，因直线与圆相切，所以，解得，或.16.在棱长为1的正方体中，为的中点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求向量在向量上的投影向量的坐标；（2）求点到平面的距离.解：（1）在棱长为1的正方体中，可知，，，所以，，所以，向量在向量上的投影向量为，所以，向量在向量上的投影向量的坐标为:.（2）设平面的法向量为，则，则，即，取，，，则平面的一个法向量为，又，所以，，所以，点到平面的距离为:.17.已知圆：，圆：，动圆与圆、圆都相外切，记动圆圆心的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程.解：（1）设动圆的半径为，圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，又因为动圆与圆、圆都相外切，所以，，，所以，即动圆圆心的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，又，所以，，，所以，的方