2025-2026学年浙江省强基联盟高一上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，，所以.故选：C.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由“存在量词命题，的否定为，”可知命题“，”的否定为“，”.故选：A.3.集合中的元素个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】因为，所以．又，所以，所以可能的取值为，分别代入可得，所以集合中共有6个元素．故选：D.4.设，则下列选项中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】对于A，若，，则，，，所以A错；对于B，若，则，两边同时除以，则，所以B对；对于C，若，，，但，所以C错；对于D，若，，则，，所以，所以D错.故选：B.5.已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设集合，，由题意可知，所以，解得.故选：D.6.已知，，，则，的大小关系为（）A. B.C. D.与的取值有关【答案】C【解析】已知，，，所以.故选：C.7.若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由图可知，，，，∴，，，.等价于，，，解得.故选：B.8.给定整数，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（）A.是规范数集，不是规范数集B.是规范数集，是规范数集C.不是规范数集，是规范数集D.不是规范数集，不是规范数集【答案】C【解析】由题意知集合中任意两个不同数的差的绝对值的最小值若为1，则该集合是规范数集.集合，当时，，即的相伴数集中最小元素小于1，故不是规范数集；集合，因为，即的相伴数集中最小元素为1，所以是规范数集；综上：不是规范数集，是规范数集.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，集合，则集合N可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为，且，所以集合中必含有元素，可能含有元素，但不能同时包含.故选项AC正确.故选：AC.10.设正实数a，b满足，则（）A.的最小值是 B.的最大值是C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，B，∵（当且仅当时，等号成立），∴，∴，A错B对；对于C，（当且仅当取等号），C对；对于D，，由B选项知，D对.故选：BCD.11.已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由题可知，设函数，作出函数图象，如下图：因为，是方程的两根，∴，故A对；对于B，C，由图可知，，故B错C对；对于D，，∵，，∴，故D对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知方程的两根为，则______．【答案】7【解析】方程的两根为，由韦达定理得，，所以.故答案为：7.13.若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】因为，当时，，正整数解不可能有两个；当时，；当时，，要满足有两个正整数解﹐则.综上，实数的取值范围为.故答案为：.14.已知实数满足，，则的值为______.【答案】【解析】在中显然，两边同除以得，又∵，且由可得，和是关于的方程的两个不同实数根.∴，，故.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.将下列各式分解因式.（1）；（2）；（3）.解：（1）.（2）.（3）.16.已知集合，.（1）若，求和；（2）若，求实数m的取值范围.解：（1）当时，，，或.∴，.（2），，.当时，，不符合题意；当时，，不是的子集，舍去；当时，，，∴.综上，.17.若且.（1）求的最小值；（2）求的取值范围.解：（1）由，因为，所以.由（当且仅当时取等号），得，故或（舍），所以（取等号），所以的最小值是9.（2）由.因为，所以，且.所以，即，当且仅当，即时取等号.所以的取值范围为.18.已知直角梯形中，，，，，过点作延长线的垂线，垂足为E，连接.（1）设，，请写出x与a的关系式（用x表示a）；（2）在（1）的条件下，记的面积为S，求S的最大值及此时x的值.解：（1）过点D作的垂线，垂足为F，因为,,，故，由，，得，，因为，故,而,故,在中，，故，所以.（2）由（1）得，，所以，由（1）得：，所以.当且仅当时取等号，综上，的最大值是，此时.19.已知二次函数.（1）当时，（i）若恒成立，求实数的取值范围；（ii）当时，函数y的最小值为，求实数a的值；（2）若对任意实数，当时，恒有函数y的最大值与最小值之差不小于m，求实数m的取值范围.解：（1）（i）恒成立，故，所以.（ii）二次函数的对称轴为，①当，即时，，故，所以；②当，即时，，故，所以，舍去.③当，即，，故，所以或（舍去）.综上：或.（2）设函数在区间上的最大值与最小值之差为，二次函数的图像是开口向上的抛物线，区间长度为定值4，的最小值在对称轴位于区间中心时取得；此时，，；，在该情况下有(即)，代入上式得：，因此，函数最大值与最小值之差的最小值为4；根据题意，对任意恒有，故.浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，，所以.故选：C.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由“存在量词命题，的否定为，”可知命题“，”的否定为“，”.故选：A.3.集合中的元素个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】因为，所以．又，所以，所以可能的取值为，分别代入可得，所以集合中共有6个元素．故选：D.4.设，则下列选项中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】对于A，若，，则，，，所以A错；对于B，若，则，两边同时除以，则，所以B对；对于C，若，，，但，所以C错；对于D，若，，则，，所以，所以D错.故选：B.5.已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设集合，，由题意可知，所以，解得.故选：D.6.已知，，，则，的大小关系为（）A. B.C. D.与的取值有关【答案】C【解析】已知，，，所以.故选：C.7.若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由图可知，，，，∴，，，.等价于，，，解得.故选：B.8.给定整数，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（）A.是规范数集，不是规范数集B.是规范数集，是规范数集C.不是规范数集，是规范数集D.不是规范数集，不是规范数集【答案】C【解析】由题意知集合中任意两个不同数的差的绝对值的最小值若为1，则该集合是规范数集.集合，当时，，即的相伴数集中最小元素小于1，故不是规范数集；集合，因为，即的相伴数集中最小元素为1，所以是规范数集；综上：不是规范数集，是规范数集.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，集合，则集合N可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为，且，所以集合中必含有元素，可能含有元素，但不能同时包含.故选项AC正确.故选：AC.10.设正实数a，b满足，则（）A.的最小值是 B.的最大值是C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，B，∵（当且仅当时，等号成立），∴，∴，A错B对；对于C，（当且仅当取等号），C对；对于D，，由B选项知，D对.故选：BCD.11.已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由题可知，设函数，作出函数图象，如下图：因为，是方程的两根，∴，故A对；对于B，C，由图可知，，故B错C对；对于D，，∵，，∴，故D对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知方程的两根为，则______．【答案】7【解析】方程的两根为，由韦达定理得，，所以.故答案为：7.13.若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】因为，当时，，正整数解不可能有两个；当时，；当时，，要满足有两个正整数解﹐则.综上，实数的取值范围为.故答案为：.14.已知实数满足，，则的值为______.【答案】【解析】在中显然，两边同除以得，又∵，且由可得，和是关于的方程的两个不同实数根.∴，，故.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.将下列各式分解因式.（1）；（2）；（3）.解：（1）.（2）.（3）.16.已知集合，.（1）若，求和；（2）若，求实数m的取值范围.解：（1）当时，，，或.∴，.（2），，.当时，，不符合题意；当时，，不是的子集，舍去；当时，，，∴.综上，.17.若且.（1）求的最小值；（2）求的取值范围.解：（1）由，因为，所以.由（当且仅当时取等号），得，故或（舍），所以（取等号），所以的最小值是9.（2）由.因为，所以，且.所以，即，当且仅当，即时取等号.所以的取值范围为.18.已知直角梯形中，，，，，过点作延长线的垂线，垂足为E，连接.（1）设，，请写出x与a的关系式（用x表示a）；（2）在（1）的条件下，记的面积为S，求S的最大值及此时x的值.解：（1）过点D作的垂线，垂足为F，因为,,，故，由，，得，，因为，故,而,故,在中，，故，所以.（2）由（1）得，，所以，由（1）得：，所以.当且仅当时取等号，综上，的最大值是，此时.19.已知二次函数.（1）当时，（i）若恒成立，求实数的取值范围；（ii）当时，函数y的最小值为，求实数a的值；（2）若对任意