2026年高一数学寒假自学课（沪教版）专题01 指数对数运算+指对幂函数的图像与性质 （原卷版）

专题01指数对数运算+指对幂函数

内容导航

串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点：

（一）指数运算

1.实数指数幂的定义

正整数指数幂：anaaa（n个a相乘，n*）

零指数幂：a01（核心限制：a0）

n1

负整数指数幂：a（a0，n*）

an

m

m11

*n

分数指数幂：当，且时，nm；am（注：时，分数指数

a0m,nn1ananma0

ana

1

幂不一定有意义，如(2)2无意义）

2.根式的核心性质

(na)na（n*，n1；n为偶数时，需满足a0）

nan的化简：n为奇数时，nana；n为偶数时，nan|a|

3.指数运算法则（核心公式）

对任意正数a,b，任意实数s,t，有：

asatast

(as)tast

(ab)tatbt

（二）对数运算

1.对数的定义（指数与对数互化核心）

x

如果aN（其中a0，a1，N0），则xlogaN.

常用对数：lgNlog10N

自然对数：lnNlogeN（e2.71828）

2.对数的基本性质

负数和0没有对数（真数N0）

loga10；logaa1

x

对数恒等式：logaN；

aNlogaax

3.对数运算法则

若a0，a1，M0，N0，则：

loga(MN)logaMlogaN

M

loglogMlogN

aNaa

n（）

logaMnlogaMn

4.换底公式及推论

logcb

换底公式：logab（a,c0且a,c1，b0）

logca

nn

推论：logbloga1；logmblogb（m0）

abama

（三）指对幂函数的图像与性质

1.指数函数：yax（a0，a1）

核心性质当a1时当0a1时

定义域（全体实数）（全体实数）

值域(0,)（正实数集）(0,)（正实数集）

单调性在上单调递增在上单调递减

定点过定点(0,1)过定点(0,1)

奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数

2.对数函数：ylogax（a0，a1）

与指数函数yax互为反函数，图像关于直线yx对称.

核心性质当$a>1$时当0a1时

定义域(0,)（正实数集）(0,)（正实数集）

值域（全体实数）（全体实数）

单调性在(0,)上单调递增在(0,)上单调递减

定点过定点(1,0)过定点(1,0)

奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数

3.幂函数：yx（，重点研究有理数）

核心共性：过定点(1,1)

1

定义域与值域：由决定（例：1时定义域；时定义域[0,)；1时定义域{x|x0}）

2

单调性：0时，在(0,)上单调递增；0时，在(0,)上单调递减

1

奇偶性：由决定（例：1、1为奇函数；2为偶函数；非奇非偶）

2

二、核心概念比较（易混淆点区分）

（一）指数函数vs幂函数

对比维度指数函数yax（a0，a1）幂函数yx（）

解析式核心差异底数a为常数，指数x为变量底数x为变量，指数为常数

1

底数/变量限制底数a必满足a0且a1变量x的限制由决定（如时x0）

2

图像共性过定点(0,1)过定点(1,1)，第一象限必有图像

（二）指数函数vs对数函数

x

对比维度指数函数ya（a0，a1）对数函数ylogax（a0，a1）

核心关系互为反函数，图像关于直线yx对称

定义域与值

定义域，值域定义域，值域

域(0,)(0,)

同底数下单调性一致：递增，同底数下单调性一致：递增，

单调性a10a1a10a1

递减递减

定点过(0,1)过(1,0)（定点关于yx对称）

三、易错辨析（高频易错点汇总）

（一）指数运算易错点

1.忽略零指数、负指数前提：如误认00有意义，或(a2)01未考虑a2.辨析：非零数的零指数幂为1，

负指数幂是倒数，底数必不为0.

2.根式化简混淆奇偶指数：如(3)23的错误.辨析：偶数根结果非负，奇数根结果与被开方数符号一

致.

1m

3.分数指数幂滥用：如2的错误.辨析：n为偶数时需，否则无意义.

(4)2ana0

（二）对数运算易错点

1.忽略真数正性：如求loga(x1)定义域时未强调x10.辨析：真数必为正数，是对数定义的核心前提.

2.滥用对数运算法则：如loga(MN)logaMlogaN的错误.辨析：运算法则仅适用于积、商、幂，

不适用于和、差.

3.换底公式遗漏限制：如未注意新底数c0且c1.辨析：新底数需满足对数底数的通用限制，保证对数

有意义.

（三）函数性质易错点

1.混淆指幂函数形式：如误将y2x当作幂函数.辨析：变量在指数上为指数函数，在底数上为幂函数.

2.对数函数单调性判断错误：如认为“底数越大越递增”.辨析：单调性由底数范围决定，a1递增，0a1

递减.

1

3.幂函数定义域判断错误：如误将yx2定义域视为.辨析：定义域由决定，需结合根式意义分析.

四、重点记忆内容（必背核心）

（一）核心公式

1.指数运算法则：asatast、(as)tast、(ab)tatbt（a,b0，s,t）

M

2.对数运算法则：log(MN)logMlogN、loglogMlogN、logMnnlogM

aaaaNaaaa

（a0,a1，M,N0）

logb

c

3.换底公式：logab（推论：logablogba1）

logca

（二）关键性质

1.指数函数yax：过(0,1)，值域(0,)，单调性由a决定.

x

2.对数函数ylogax：过(1,0)，定义域(0,)，与ya互为反函数.

3.幂函数yx：过(1,1)，单调性由符号决定.

（三）解题核心要点

1.运算前先判断底数、真数限制条件（如a0、N0）.

2.比较函数值大小：同底数用单调性，不同底数用中间值（0或1）过渡.

3.解决函数问题：优先考虑定义域，再分析单调性、奇偶性.

【考点1指数的运算与化简】

例1．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值；

3�−2�

���+�2

（2）正实数满足，求和10=2, 10=310的值1．0

1133

2−22−22−2−1

��−�=1�+��−��+�−6

变式1．（25-26高一·上海·假期作业）已知，求：

1

(1)；�+�=22

1

(2)�−�．

1

33

�+�

变式．（高一上上海嘉定期中）已知实数，，化简：2111

224-25··3223.

2��−6��

15

�>0�>066

3��=

【考点2对数的运算性质】

例2（25-26高一上·上海松江·期中）若方程的两根为、，则

2

．�+�log26+log23=0��

1�12�

4⋅2=

变式1.（25-26高一上·上海·期中）、为正实数，若，，则的最小值

�2�2211

为．���=�=3�+�−��+3=0�+�

变式2.（25-26高一上·上海·期中）若实数，满足，，则.

��123

��7=911=27�−�=

【考点3换底公式】

例3.（25-26高一上·上海·期中）已知，，用，表示．

�

lg2=�10=3��log1240=

变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知均为正实数，若，则的值为.

�����+2�

�,�,�3=4=6log2��

变式2.（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足：

��

(1)若满足方程：，求的值；���4=8=�

2

(2)若�，求�的+值�.−12=0�

11

2�+�=2�

【考点4幂函数的定义域值域问题】

例4.（24-25高三上·上海·月考）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有

1�

可能取值组成的集合为．�∈−1,0,2,1,2,3�=��

变式1.（23-24高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值．

2

−�+2�+3

变式2.（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数�=�的图像过点�，则该幂函数的R值域为�．

�2

�=�2,2

【考点5幂函数的单调性奇偶性】

例5.（25-26高一上·江苏南通·期中）若幂函数为偶函数，且在区间上递增，

2

�+2�−3

则.��=��∈�−∞,0

�=

变式1.（25-26高一上·上海闵行·期中）已知幂函数，且在上为严格

233

2�+2�−4

增函数.�(�)=(�+3�+3)�(0,+∞)

(1)求函数的解析式；

(2)若�(�)，求的取值范围.

变式�2(.（�+251-2)6<高�一(3上−·2上�海)·期中�）已知幂函数的图象关于轴对称，且，．

2

�−4�

(1)求；�(�)=���(2)>�(3)�∈�

(2)若�，求的取值范围．

【考�点(�6+2指)数<�函(1数−的2�定)点问�题】

例6.（25-26高一上·上海·期中）函数的图象恒过定点.

�+2025

�=�+2027�>0,�≠1

变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒

�−2

经过一个定点，则这个点的坐标为.�>0�≠1��=�+2

变式2.（24-25高一下·上海·月考）已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过

�

定点，则的坐标是．�>0�≠1��=�−2

��

【考点7指数型函数的定义域】

例7.（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：

(1)；

�

(2)�=2；−1

1

�−4

(3)�=5．

1−2�

变式�=1.（324-25−高9一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是；

2�

�=�−2��

（2）指数函数的图像经过，当时函数值为．

�1

�=�(�>0)−2,16�=1

变式2.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：

(1)；

3−�

(2)�=2.

1

�

�=0.1

【考点8指数型函数的单调性】

例8（25-26高三上·上海·期中）已知函数�，满足对任意，都有

��1−��2

1�,�<0

��=�1≠�2�1−�2<

成立，则的取值范围是.7−��+4�,�≥0

0�

变式1.（25-26高一上·上海静安·月考）若函数2在上严格减，则的取值范围

−�+���,�>1,

��=���

是.3,�≤1

变式2（.2023高一上·上海·专题练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有

�

，则的值为．��R�∈R���−3=

4【考点�29指数型函数的值域与最值】

例9.（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范

�

围是.�<��=2−4,�∈�,�0,4�−�

变式1.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且.

2��

(1)若，求的最小值；�(�)=�−2�−1�>0�≠1

(2)若�=2在区间�(�)上的最大值为，求的值；

(3)若�(�)，且[0,1]对任2意�恒成立，求实数的取值范围.

�

�=2��+4>�⋅2�∈[−1,1]�

，

变式2.（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取

�，

 2   �≤��

�=228−∞,2�

值范围是．−3�+3�>�

【考点10指数型函数的奇偶性】

例（上海课堂例题）（）记，求时的值；

1020241�t

4+132

�

（）是否存在正数，使函数�是�偶=函数2？��=2

2a�

�+1

�

�=2

变式1.（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知函数，其中且，是实数常数.

2

�

(1)求函数的定义域；��=�−1+��>0�≠1�

(2)是否存在�=常�数�b，使函数为奇函数?

【考点11指数型函数性�质=综�合�】

例11.（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数与，若对任意的，

�

12

总有恒成立，则实数的取值范围是��=2．��=�−2��+4�∈0,+∞

���≤1�

变式1.（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数

满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于0零,+，∞则称函数�=�和��=�为�“在�上=的�函�数+

�对”�．�=���=��0,+∞�

(1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由

①，；0,+∞�

2

②��=−4��，�=−�；

1

(2)�设�常数=−�−1，若��=�+和1+�+1为“在上的函数对”，求的取值范围

1�

(3)设常数�∈�，若��=�和��=2+2024为“在0,+∞上的�函数对”，求�证：的值有且仅有一

2

个．�∈���=����=2�+�+10,+∞��

变式2.（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若

．�,������=max���≤�≤��∈

(1�),已�知，，试写出、的表达式；

1

1�

2��

(2)设��且=2，�函�数=��∈0,1��，��，如果与恰好为同一函数，求

2��1

�

的取值�>范围0；�≠1��=�+3−�⋅�−1�∈2,1�����

(3)若，存在最小正整数，使得对任意的

���成立=，mi则n称�函�数�≤�≤为��上∈的�,“�阶收缩函数”，已知函�数���，−���≤�，�试−判�断是否

2

�为∈�,�上的“阶收缩函数��”，如�果,�是，求出�对应的，如果不是，请�说�明=理�由．�∈−1,4��

−1,4��

【考点12对数型函数的定义域】

例12.（25-26高一上·上海·月考）函数的定义域是．

�=lg5�−6+2

变式1.（2025高三上·上海·专题练习）函数的定义域为．

2

�=log2�−9

变式2.（25-26高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围

2

为，�=ln�−��+���

【考点13对数型函数的单调性】

例13.（24-25高一下·上海金山·月考）函数的单调增区间为.

��=ln�+ln4−�

变式1.（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说

法正确的是（）�(�)=(�−1)log��+��>0�≠1,�

A．函数的单调性只与有关，与无关B．函数的单调性只与有关，与无关

C．函数��的单调性与、�都有关�D．函数的�单�调性与、都无�关�

��������

变式2.（25-26高三上·上海静安·月考）已知函数=在上时为增函数.

12

则的取值范围为.�(�)log2(��−4�+6)(�∈R)(−∞,2]

�

【考点14对数型函数的奇偶性】

例14（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则．

1�

�(�)=log41−�−�−��=

变式1.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数．

(1)求函数的定义域；�=lg2+�+lg2−�

(2)证明：函数图象关于y轴对称．

变式2.（2024高一·上海·专题练习）已知函数的定义域为集合A，集合，且．

1+�

(1)求实数a的取值范围；�(�)=lg1−��=(�,�+1)�⊆�

(2)求证：函数是奇函数但不是偶函数．

�=�(�)

【考点15对数型函数的值域与最值】

例15.（24-25高一下·上海·月考）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，

则．�>0�≠1�=1+log��1,2

�=

变式1.（24-25高一上·上海·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围

是.��=ln��+1+ln�−1R�

变式2.（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的值域是.

2

�=log3�−2�+4

【考点16指对幂的比较大小】

例16（2025·上海嘉定·一模）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（）

���

���1+2=3=5���

A．B．

C．�>�>�D．�>�>�

�>�>��>�>�

变式1.（23-24高一·上海·课堂例题）若，则下列不等式不成立的是．（填写所有不成

立的不等式的序号）�>�>�>1

①；②；③；④．

11111111

log��>log��log��>log��log��>log��log��>log��

变式2.（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则与的大小关

系是．0<�<�<1<��=log���=log����

【考点17对数型函数性质综合问题】

例17（24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有

，则称具有“性质”．����1,�2∈���1+�2≤

�(1)�当1+��2时，判�断�是否具�有“性质”，并说明理由；

�

(2)当��=时2，证明：�具有“性质”；

2

(3)如果�≥定2义域为R的函�数�=lg�+�具�有“性质”，求实数的取值范围．

�

��=lg2+���

变式1.（2024高一·上海·专题练习）已知函数，.

(1)如果，求函数�的�值=域3；−2log2���=log2�

(2)求函数�∈1,2ℎ�=�的�最+大1值�；�

�(�)+�(�)−�(�)−�(�)

(3)如果对任�意�=，不2等式恒成立，求实数的取值范围．

2

�∈1,2����>�⋅���

变式2.（23-24高三上·上海杨浦·月考）设函数在区间上的最

大值为，若，则�实(�)数=t的lo最g2�大+值�为�+�(�>0).[�,�+2](�>0)

��(�,�)���(�,�)⩾1+�=�

一、单选题

1．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数，则不等式

�−11−�2

的解集为（）.�(�)=e−e+2��(�−4)+�(2−3�)≤4

A．B．

C．[−1,4]D．[−4,1]

(−∞,−1]∪[4,+∞)(−∞,−4]∪[1,+∞)

2．（25-26高一上·上海·期中）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，

．已知：���π=31=1−1.6=−，

1111

2则为（�=）lg1+lg2+lg3+⋯+lg2024+lg2025+lg1+lg2+lg3+⋯+lg2024+lg2025

�A．0B．1C．D．

−2020−2021

二、填空题

3．（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系

（为自然对数的底数，为�常数）．若该牛奶在的保�鲜时间是℃小时，在

��+�

�的=保e鲜时间是e=2.7小1时8..，.则该食品在的保�鲜,�时间是小时(四0舍℃五入，精确到整64数部分)．20℃

4．（25-26高一32上·上海·期中）如图是30四℃个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则

�11

与对应的曲线为．（从、、、�=中�选择一个填写）�2−2−2

1

�=2�1�2�3�4

5．（25-26高一上·上海·月考）若，则用表示

�

26

6．（25-26高一上·上海·期中）若函数log3=�,2=5�,�存在log最1小5值=，则实数的取值范围为．

��−3,�≤0

��=�

7．（2025·上海杨浦·一模）已知定义在上l的g函�+数1+�,�为>奇0函数，且为偶函数，则

�

2,�≥0

��=����=

.��,�<0

．（2高一上上海期中）不等式的解集为．

�8log235-2=6··

�−22�+1

9．（25-26高一上·上海·期中）下列命题�中真<命�题的是0<�<1（填上所有你认为正确的命题序号）．

（1）当时，函数的图象是一条直线；

�

（2）幂函�=数0的图�象=都�经过和两个点；

�

（3）若幂函数�=�的图象关于原0,点0成中1心,1对称，则在定义域上是严格增函数；

�