专题二　微拓展3　平面向量中的新定义 -大二轮数学专题复习

微拓展3平面向量中的新定义[考情分析]平面向量作为数学工具，是代数与几何的纽带，是数学知识网络中的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.平面向量的新定义把向量与其他知识联系起来，通过规则、运算等，更好的展示了向量“数”与“形”的双重身份，是高考改革创新的热点.考点一平面向量的外积定义向量a与b的外积是一个向量，记为a×b，它的长度|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，它的方向垂直于a，b，且{a，外积是一个向量，所以又叫向量积，也叫叉积，a×b读作“a叉b”.特别地，当a=0或b=0时，a×b=0.例1(多选)[平面向量的外积]在空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且{a，b，a②a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角).在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的是()A.|AB1×AC|=|ADB.A1C1×AC.AB×AD=AD×ABD.VABCD-A1B1C1答案ABD解析由题意，设正方体的棱长为a，选项A，由几何知识得，△AB1C，△BC1D是全等的等边三角形，且边长为2a，∴∠B1AC=∠DBC1=60°，AB1=AC=AD1=DB=BC1=2a，|AB1×AC|=|AB1||AC|sin∠B1AC=2a×2a×sin60°=|AD1×DB|=|BC1×DB|=|BC1=|BC1||DB|sin(180°-∠DBC=2a×2a×sin(180°-60°)=3a2，∴|AB1×AC|=|AD1×DB选项B，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以A1C1⊥BB1，又B1B∩B1D1=B1，B1B，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D，因为BD1⊂平面BB1D1D，所以BD1⊥A1C1，同理可证BD1⊥A1D，再由右手系知，A1C1×A1选项C，|AB×AD|=|AB||AD|sin∠BAD=a·asin90°=a2，|AD×AB|=|AD||AB|sin∠BAD=a·asin90°=a2，∴|AB×AD|=|AD×AB|，∵右手系叉乘具有方向，∴AB×AD=-aAAD×AB=aA∴AB×AD≠AD×AB，C选项D，VABCD-A1B1C1D1=a3，(AB×AD)·CC[规律方法](1)外积的几何意义S▱ABCD=|a|·(|b|sinθ)=|a×b|.结论：|a×b|表示的是a与b构成的平行四边形的面积.(2)外积的性质①a×a=0；②a×b=0⇔a∥b；③a×b=-(b×a)(交换律不成立)；④(a+b)×c=a×c+b×c(分配律)；⑤(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).跟踪演练1(多选)(2024·昭通统考)已知向量a，b的数量积(又称向量的点积或内积)：a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角；定义向量a，b的向量积(又称向量的叉积或外积)：|a×b|=|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角，则下列说法正确的是()A.若a，b为非零向量，且|a×b|=|a·b|，则〈a，b〉=πB.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|AB×AD|C.已知点A(2，0)，B(-1，3)，O为坐标原点，则|OA×OB|=2D.若|a×b|=33a·b=3，则|a+2b|的最小值为答案BCD解析对于A，因为a，b是非零向量，由|a×b|=|a·b|，可得|a||b|sin〈a，b〉=|a||b||cos〈a，b〉|，即sin〈a，b〉=|cos〈a，b〉|，可得tan〈a，b〉=±1，且〈a，b〉∈[0，π]，解得〈a，b〉=π4或3π4，对于B，由平行四边形ABCD的面积S=2×12|AB‖AD|sin〈AB，AD〉=|AB×AD|对于C，因为OA=(2，0)，OB=(-1，3可知OA·OB=-2，|OA|=|OB|=2，则cos〈OA，OB〉=OA且〈OA，OB〉∈[0，π]，可得〈OA，所以|OA×OB|=|OA||OB|sin〈OA，OB〉=23，对于D，因为|a×b|=33a·b=即|a||b|sin〈a，b〉=33|a||b|cos〈a，b〉=可得tan〈a，b〉=33，且〈a，b〉∈[0，π可得〈a，b〉=π6，|a||b则|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=12+|a|2+4|b|2≥12+4|a||b|=12+83所以|a+2b|≥12+83=23+23，当且仅当|a|=2|b|时，等号成立，所以考点二与线性运算有关的新定义例2我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1+ye2，则把实数对{x，y}叫做向量OP的“@未来坐标”，记OP={x，y}，已知{x1，y1}，{x2，y2}分别为向量a，b的“@未来坐标”.(1)证明：{x1，y1}·{x2，y2}=x1x2+y1y2+12(x1y2+x2y1)(2)若向量a，b的“@未来坐标”分别为{sinx，1}，{cosx，1}，已知f(x)=a·b，x∈R，求函数f(x)的最值.(1)证明因为e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°，所以e1·e2=|e1||e2|cos60°=1所以{x1，y1}·{x2，y2}=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e12+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2+y1y=x1x2|e1|2+12x1y2+12x2y1=x1x2+y1y2+12(x1y2+x2y1)即{x1，y1}·{x2，y2}=x1x2+y1y2+12(x1y2+x2y1)(2)解因为向量a，b的“@未来坐标”分别为{sinx，1}，{cosx，1}，所以f(x)=a·b=(sinxe1+e2)·(cosxe1+e2)=sinxcosxe12+sinxe1·e2+cosxe1·e2=sinxcosx+1+12(sinx+cosx)令t=sinx+cosx=2sinx则sinxcosx=12(t2-1)因为x∈R，所以-2≤2sinx+π4≤2，令g(t)=12(t2+t+1)(-2≤t≤2)因为对称轴为t=-12所以当t=-12时，g(t)取得最小值g-12=12当t=2时，g(t)取得最大值g(2)=12×(2+2+1)=所以f(x)的最小值为38，最大值为[规律方法]解决此类问题，关键是对新定义中的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算法则，直接按照法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特殊值排除.跟踪演练2(多选)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下：对任意的a=(m，n)，b=(p，q)，令a☉b=mq-np，则下列说法正确的是()A.若a与b共线，则a☉b=0B.a☉b=b☉aC.对任意的λ∈R，有(λa)☉b=λ(a☉b)D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2答案ACD解析对于A，若a与b共线，则mq-np=0，即a☉b=0，故A正确；对于B，因为a☉b=mq-np，b☉a=np-mq，所以a☉b≠b☉a，故B错误；对于C，(λa)☉b=λmq-λnp，λ(a☉b)=λmq-λnp，所以(λa)☉b=λ(a☉b)，故C正确；对于D，因为(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)，|a|2|b|2=(m2+n2)(p2+q2)，所以(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2，故D正确.考点三平面向量的新定义与新运算例3设非零向量αk=(xk，yk)，βk=(yk，-xk)(k∈N*)，并定义x(1)若α1=(1，2)，α2=(3，-2)，求|α1|，|α2|，|α3|；(2)写出|αk|，|αk+1|，|αk+2|(k∈N*)之间的等量关系，并证明；(3)若|α1|=|α2|=1，求证：集合{αk|k∈N*}是有限集.(1)解因为α1=(1，2)，α2=(3，-2)，所以|α1|=12+|α2|=32+(-2)依题意得β2=(-2，-3)，所以x3=α2·α1=3×1+(-2)×2=-1，y3=β2·α1=(-2)×1+(-3)×2=-8，即α3=(-1，-8)，所以|α3|=(-1)2+(-8(2)解|αk|，|αk+1|，|αk+2|之间的等量关系是|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*).证明如下：依题意得|αk|=x|αk+1|=x所以|αk+1||αk|=x=xk因为βk+1=(yk+1，-xk+1)，所以x即αk+2=(xkxk+1+ykyk+1，xkyk+1-xk+1yk)，所以|αk+2|=(=x故|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*).(3)证明由(2)及|α1|=|α2|=1得|α3|=1.依此类推得|αk|=1(k∈N*)，可设αk=(cosθk，sinθk)，则αk+1=(cosθk+1，sinθk+1)，βk+1=(sinθk+1，-cosθk+1).依题意得，xk+2=αk+1·αk=cosθk+1cosθk+sinθk+1sinθk=cos(θk+1-θk)，yk+2=βk+1·αk=sinθk+1cosθk-cosθk+1sinθk=sin(θk+1-θk)，所以αk+2=(cos(θk+1-θk)，sin(θk+1-θk)).同理得αk+3=(cos[(θk+1-θk)-θk+1]，sin[(θk+1-θk)-θk+1])=(cos(-θk)，sin(-θk))，αk+4=(cos[(-θk)-(θk+1-θk)]，sin[(-θk)-(θk+1-θk)])=(cos(-θk+1)，sin(-θk+1))，αk+5=(cos[(-θk+1)-(-θk)]，sin[(-θk+1)-(-θk)])=(cos(θk-θk+1)，sin(θk-θk+1))，αk+6=(cos[(θk-θk+1)-(-θk+1)]，sin[(θk-θk+1)-(-θk+1)])=(cosθk，sinθk).所以αk+6=αk(k∈N*).综上，集合{αk|k∈N*}是有限集.[规律方法]与定义新运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的运算规则，并按照此运算规则和要求，结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.跟踪演练3(1)已知对任意平面向量AB=(x，y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1，2)，点B(1+3，4)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点P，则点P的坐标为(A.332C.52，答案A解析O为坐标原点，由已知得AB=(3，2)AP=3=3又A(1，2)，所以点P坐标为OP=OA+AP=(1，2)+332，(2)对于非零向量α，β，定义一种运算：α∘β=α·ββ·β，已知非零向量a，b的夹角θ∈π4，π2，且a∘b，b∘A.52或32 B.1C.1 D.1答案D解析a∘b=a·b=acosθb=n2，n同理可得b∘a=b·aa·a=|a||b|cos再由a与b的夹角θ∈π可得cos2θ∈0①②两式相乘得cos2θ=mn4，m，n∈∴m=n=1，∴a∘b=n2=11.对于非零向量a，b，定义a⊕b=a·b·tan〈a，b〉.若a⊕b=|a+b|=3|a-b|=3，则tan〈a，b〉等于(A.233 B.C.23 D.32答案C解析∵a⊕b=a·b·tan〈a，b〉=3∴tan〈a，b〉=3a由|a+b|=3|a-b|=3可得a两式相减得a·b=1∴tan〈a，b〉=312=22.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a，b构成的平行四边形的面积S可以用a，b的外积a×b表示出来，即S=|a×b|=|x1y2-x2y1|.已知在平面直角坐标系Oxy中，点A(cosα，3)，B(sin2α，2cosα)，α∈0，π2，则A.1 B.2 C.2 D.3答案A解析已知在平面直角坐标系Oxy中，A(cosα，3)，B(sin2α，2cosα)，α因为S△OAB=12|OA×OB=12|2cos2α-3sin2α=12|3sin2α-2cos2α=12|3sin2α-(1+cos2α)=12|3sin2α-cos2α=1因为0≤α≤π2，则-π6≤2则-12≤sin2α-则-2≤2sin2α-π6则S△OAB=122sin2α-π6当2α-π6=-π6，即当α=0时，△3.(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θθ≠π2角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系Oxy为θ反射坐标系，若OM=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量OM的反射坐标，记为OM=(x，y)，在θ=2π3的反射坐标系中，a=(1，2)，b=(2，-1)A.a-b=(-1，3)B.|a|=5C.a⊥bD.a在b上的投影向量的长度为-3答案AD解析利用已知条件，对于A，a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2，则a-b=(-1，3)，故A正确；对于B，|a|=(e1+2e2)2对于C，a·b=(e1+2e2)·(2e1-e2)=2e12+3e1·e2-2e22=-对于D，由于|b|=(2e1-e2)2=7，故a在b上的投影向量的长度为a4.(多选)现在给出一个向量的新运算a×b，叫作向量a与b的外积，它是一个满足如下两个条件的向量：①a·(a×b)=0，b·(a×b)=0，且{a，b，a×b}构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图1所示)；②向量a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉.如图2A.AB×AC=AC×ABB.4|BC×AC|与正四面体的表面积相等C.(AC×AB)·AD=42D.|(AC×AB)×AD|=|AC×(AB×AD)|答案CD解析对于A，易得|AB×AC|=|AC×AB|，根据右手系的基的定义，拇指指向AB的方向，食指指向AC的方向，则中指指向AB×AC的方向，其垂直于平面ABC，方向向下，同理得AC×AB垂直于平面ABC，方向向上，所以AB×AC与AC×AB两向量大小相同，方向相反，A错误；对于B，4|BC×AC|=4|BC||AC|sinπ3=4×2×2×32=83，正四面体的表面积为4×12×|BC|×|AC|×sinπ对于C，设AC×AB=AM，由A选项知AM垂直于平面ABC，方向向上，|AM|=|AB||AC|sinπ3所以(AC×AB)·AD=AM·AD=|AM||AD|cos〈AM，AD〉=43cos〈AM如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，则FD是正四面体ABCD的高，AM与FD共线，〈AM，AD〉=由13×FD×12×AB×AC×sinπ3=2得FD=2所以cos〈AM，AD〉=FD所以(AC×AB)·AD=43×63=42，对于D，|(AC×AB)×AD|=|AC×AB||AD|sin〈(AC×AB)，AD〉，|AC×(AB×AD)|=|AC||AB×AD|sin〈AC，(AB×AD易知|AC×AB|=|AB×AD|，|AD|=|AC|，sin〈(AC×AB)，AD〉=sin〈AC，(AB×AD所以|(AC×AB)×AD|=|AC×(AB×AD)|，D正确.5.给出定义：对于向量b=(sinx，cosx)，若函数f(x)=a·b，则称向量a为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量a的伴随函数.已知A-1，32，B(1，3)，函数h(x)的伴随向量为n=(0，1)，点P为函数h(x)的图象上一点，满足AP+BP=AB答案(0，1)解析由题意，h(x)=cosx，设P(x，cosx)，因为A-1，32，B(1所以AP=xBP=(x-1，cosx-3)，AB=所以AP+BP=2由AP+BP得(2x)即cosx-942=因为-1≤cosx≤1，所以-134≤cosx-94≤所以25又2516-x2≤所以当且仅当x=0时，cosx-942和此时cosx-942=2516-x2成立，所以点P的坐标为6.(2024·邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a·ba|2+b|2，a☉b=a·bb|2.若平面向量a，b满足a>b>0，且a⊕b和a☉答案1或5解析因为n=1设向量a和b的夹角为θ，因为a>b>0，所以|a|2+|b|2>2a得到a⊕b=a·ba|2+又θ∈[0，π]，所以cos所以a⊕b<1又a⊕b在集合n4所以a⊕b=1所以cosθ2>14，即cos又因为a☉b=a·bb|2=abcosθb|所以a☉b=34或1所以a⊕b+a☉b=1或547.对于一个向量组a1，a2，a3，…，an(n≥3，n∈N*)，令bn=a1+a2+…+an，如果存在at(t∈N*)，使得|at|≥|at-bn|，那么称at是该向量组的“好向量”.(1)若a3是向量组a1，a2，a3的“好向量”，且an=(n，x+n)，求实数x的取值范围；(2)已知a1，a2，a3均是向量组a1，a2，a3的“好向量”，试探究a1，a2，a3的等量关系并加以证明.解(1)由题意|a3|≥|a1+a2|，而a1=(1，x+1)，a2=(2，x+2)，a3=(3，x+3)，a1+a2=(3，2x+3)，所以9+(x+3)2≥9+(2x所以x的取值范围是[-2，0].(2)a1，a2，a3的等量关系是a1+a2+a3=0，证明如下：由题意a1是向量组a1，a2，a3的“好向量”，所以|a1|≥|a2+a3|，则|即a所以a12≥a22+2a同理a22≥a12+2a1·a3+a32三式相加并整理得0≥a12+a22+