6.2 二元一次方程组的解法 第4课时2025-2026学年七年级下册数学同步教案华东师大版新教材河南专版

6.2二元一次方程组的解法第4课时2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版·新教材)河南专版教材分析本节课是华东师大版七年级下册数学第六章第二节第4课时内容，隶属于“数与代数”领域，是在学生已经掌握代入消元法、加减消元法核心步骤，能熟练解不含参数的二元一次方程组后的延伸拓展课。结合2022版数学新课标要求，本节课聚焦“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养，衔接前面二元一次方程组的基础解法，铺垫后续一次函数与方程组的关联、含参数方程的综合应用，同时贴合河南中考考情，渗透参数思想、分类讨论思想和转化思想，是培养学生逻辑推理、运算求解能力的关键课时。教材编排遵循“循序渐进、螺旋上升”的原则，本节课通过实际问题引入含参数的二元一次方程组，引导学生探究参数的意义、解法及取值范围，既巩固已学消元方法，又引导学生突破“参数作为未知常量”的认知难点，符合七年级学生从具体到抽象、从具象运算到抽象思维的认知发展规律。河南专版教材结合本地学情，增加了贴合学生生活的实际应用题（如购物、行程、配套问题），注重运算的规范性和实用性，本节课设计将紧扣教材编排意图，兼顾基础巩固与能力提升，落实新课标对七年级数学运算能力、推理能力的培养要求。教学目标学习理解1.能准确识别含参数的二元一次方程组，理解参数的意义（作为未知常量，影响方程组的解的情况）；2.熟练掌握含参数二元一次方程组的基本解法，能运用代入消元法、加减消元法将含参数方程组转化为一元一次方程求解；3.理解含参数二元一次方程组的解的三种情况（唯一解、无解、无数组解）的本质，能结合消元过程初步判断参数的取值关联。应用实践1.能根据含参数二元一次方程组的解的具体条件（如解为正数、整数，解满足某一关系式），求参数的取值范围或具体值；2.能运用含参数方程组解决简单的实际应用题（贴合河南本地学情，如配套问题、行程问题），提升运算求解和实际应用能力；3.能在解题过程中规范运算步骤，养成检验、反思的解题习惯，落实数学运算核心素养。迁移创新1.能结合分类讨论思想，分析含参数二元一次方程组无解、无数组解的参数条件，培养逻辑推理能力；2.能将含参数方程组的知识迁移到后续一次函数的关联问题中，初步建立“方程与函数”的内在联系；3.能自主探究含多个参数的简单二元一次方程组的解法，提出合理的解题思路，培养自主探究、合作交流的能力，践行“用数学的思维思考、用数学的语言表达”的新课标要求。重点难点重点1.含参数二元一次方程组的基本解法（代入消元法、加减消元法的灵活运用）；2.根据方程组的解的条件，求参数的取值范围或具体值；3.规范含参数方程组的解题步骤，落实运算能力的培养。难点1.理解参数的意义，突破“参数是未知常量”的认知难点，区分参数与未知数；2.分析含参数二元一次方程组无解、无数组解的参数条件，运用分类讨论思想解题；3.结合实际问题，找准参数与已知量、未知量的关联，将实际问题转化为含参数的二元一次方程组问题求解。课堂导入（时长：5分钟）导入情境：同学们，之前我们已经学会了解二元一次方程组，能轻松解决“已知两个未知数的数量关系，求未知数的值”的问题。今天我们遇到一个新的问题，大家一起来思考一下：学校食堂准备采购一批蔬菜，已知买2千克白菜和3千克萝卜共需18元，买3千克白菜和2千克萝卜共需a元（a为常数），若我们设白菜每千克x元，萝卜每千克y元，能列出二元一次方程组吗？这个方程组和我们之前解的方程组有什么不同？引导提问：1.请大家试着列出这个方程组；2.对比我们之前解的方程组，这个方程组中多了一个字母a，它和x、y的意义一样吗？3.我们能不能求出x、y的具体值？如果能，x、y的结果会和什么有关？学生活动：独立列出方程组，小组内简单交流，尝试回答提问，初步感知“参数”的存在。导入小结：大家列出的方程组是$\begin{cases}2x+3y=18\\3x+2y=a\end{cases}$，其中x、y是我们要求的未知数，而a是一个已知的常数，但它的具体数值没有给出，我们把这样的字母叫做“参数”。今天我们就一起来学习含参数的二元一次方程组的解法，探究参数对方程组解的影响，解决这类新的数学问题——这就是我们本节课的核心内容。设计意图：结合学生熟悉的食堂采购情境，贴合河南本地校园生活实际，自然引入含参数的二元一次方程组，通过对比旧知，激发学生的探究兴趣，同时引导学生用数学的眼光观察现实世界中的数量关系，初步感知参数的意义，为探究新知做好铺垫，落实教-学-评一体化中“情境导入、激发学情”的评价起点。探究新知（时长：20分钟）本节课核心探究三个关联知识点，遵循“探究—总结—应用—评价”的流程，落实教-学-评一体化理念，每个探究环节均结合新课标“三个眼光”要求，贴合学生认知规律，逐步突破重点、化解难点。探究一：含参数二元一次方程组的基本解法出示探究题目：解二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=3\\2x-y=k\end{cases}$（k为常数），并思考：解题过程中和不含参数的方程组有什么区别？教师活动：1.引导学生回忆代入消元法、加减消元法的核心步骤，提问：“这个方程组中含有参数k，我们可以用哪种方法求解？”；2.板书示范解题过程（选用代入消元法），强调步骤规范：第一步，由第二个方程变形得y=2x-k；第二步，将其代入第一个方程，消去y，得到关于x的一元一次方程（含参数k）；第三步，解一元一次方程，用k表示x；第四步，将x的表达式代入y=2x-k，用k表示y；第五步，总结方程组的解（用含参数的代数式表示）。学生活动：1.跟随教师的示范，自主完成解题过程，小组内互相检查步骤是否规范；2.尝试用加减消元法重新求解，对比两种方法的优劣，总结含参数方程组的解题关键；3.发言分享自己的解题感受，明确“含参数方程组的解法和不含参数的一致，核心是消元，最终用参数表示出未知数的值”。评价反馈：1.抽查2-3名学生的解题过程，重点评价步骤规范性（变形是否正确、代入是否准确、计算是否无误）；2.针对学生容易出错的地方（如变形时符号错误、代入时漏乘），进行集中讲解，强化运算能力；3.肯定学生的探究成果，强调“用数学的思维思考，将未知转化为已知，消元思想始终是核心”。小结：含参数二元一次方程组的基本解法：与不含参数的方程组解法一致，可选用代入消元法或加减消元法，核心是通过消元，将二元一次方程组转化为含参数的一元一次方程，最终用参数表示出两个未知数的值，解题时需注意步骤规范、符号正确。探究二：根据方程组的解的具体条件求参数出示探究题目：已知二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=3\\2x-y=k\end{cases}$的解满足x＞0，y＞0，求参数k的取值范围。教师活动：1.引导学生回顾上一探究的成果，提问：“我们已经用k表示出了x和y的值，现在题目给出了解的条件（x＞0，y＞0），我们可以怎么做？”；2.引导学生思考：“用k表示的x和y，满足x＞0、y＞0，其实就是得到两个关于k的一元一次不等式，这样就可以转化为我们学过的不等式组问题求解”；3.板书示范解题流程：第一步，写出上一探究中用k表示的x、y的值；第二步，根据x＞0、y＞0，列出不等式组；第三步，解这个一元一次不等式组，得到k的取值范围；第四步，检验取值范围的合理性（可代入特殊值验证）。学生活动：1.结合教师引导，自主完成解题过程，小组内互相交流解题思路；2.尝试变式练习：若方程组的解满足x+y=1，求k的值，巩固解题方法；3.总结解题关键：“根据解的条件，将用参数表示的未知数代入条件，转化为关于参数的不等式（组）或方程，求解即可”。评价反馈：1.重点评价学生是否能准确将“解的条件”转化为“关于参数的不等式（组）”，是否掌握“转化思想”；2.针对变式练习，抽查学生的解题过程，评价学生的灵活运用能力；3.引导学生反思：“这一过程中，我们用数学的语言表达了数量关系，将方程组的问题转化为不等式（组）的问题，体现了数学思维的灵活性”。小结：根据方程组的解的条件求参数的方法：先通过消元，用参数表示出方程组的解；再将解代入题目给出的条件（如解为正数、整数，解满足某一关系式），转化为关于参数的一元一次不等式（组）或一元一次方程；最后求解不等式（组）或方程，得到参数的取值范围或具体值，解题时需注意检验结果的合理性。探究三：含参数二元一次方程组的解的三种情况出示探究题目：观察二元一次方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$（$a_1、b_1、c_1、a_2、b_2、c_2$均为常数，且$a_1、b_1$不同时为0，$a_2、b_2$不同时为0），结合消元过程，探究方程组的解的三种情况（唯一解、无解、无数组解）与参数$a_1、b_1、c_1、a_2、b_2、c_2$的关联。教师活动：1.引导学生用加减消元法消去y，得到关于x的一元一次方程：$(a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1$；2.分三种情况引导学生探究：情况1：当$a_1b_2-a_2b_1≠0$时，方程有唯一解，进而方程组有唯一解；情况2：当$a_1b_2-a_2b_1=0$，且$c_1b_2-c_2b_1≠0$时，方程无解，进而方程组无解；情况3：当$a_1b_2-a_2b_1=0$，且$c_1b_2-c_2b_1=0$时，方程有无数组解，进而方程组有无数组解。3.结合具体例子（贴合河南教材例题），让学生直观感受三种情况：如$\begin{cases}x+2y=3\\2x+4y=6\end{cases}$（无数组解）、$\begin{cases}x+2y=3\\2x+4y=7\end{cases}$（无解）、$\begin{cases}x+2y=3\\2x+3y=7\end{cases}$（唯一解），引导学生观察系数的关联。学生活动：1.跟随教师的引导，自主推导消元过程，小组内讨论三种情况的系数特点；2.结合具体例子，验证三种情况的合理性，尝试用自己的语言总结系数关联；3.完成即时练习：判断方程组$\begin{cases}2x+ky=5\\3x+4y=1\end{cases}$有唯一解、无解、无数组解时k的取值，巩固探究成果。评价反馈：1.评价学生是否能准确推导消元过程，是否理解三种情况的本质（方程ax=b的解的情况延伸）；2.重点评价学生是否能总结出系数的关联，是否掌握分类讨论思想；3.引导学生感悟：“用数学的眼光观察系数的特点，用数学的思维分析解的情况，体现了数学的逻辑性和严谨性”。小结：含参数二元一次方程组的解的三种情况（核心看消元后得到的一元一次方程ax=b）：1.唯一解：a≠0（对应方程组系数满足$a_1b_2-a_2b_1≠0$）；2.无解：a=0且b≠0（对应$a_1b_2-a_2b_1=0$且$c_1b_2-c_2b_1≠0$）；3.无数组解：a=0且b=0（对应$a_1b_2-a_2b_1=0$且$c_1b_2-c_2b_1=0$），解题时需结合分类讨论思想，逐一分析。探究新知总结：本节课三个核心知识点紧密关联，先掌握含参数方程组的基本解法，再根据解的条件求参数，最后探究解的三种情况，层层递进。整个探究过程，我们始终运用消元思想、转化思想、分类讨论思想，践行新课标“用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达”的核心要求，同时落实运算能力、推理能力的培养。课堂练习（时长：10分钟）遵循“基础巩固—提升突破—拓展延伸”的梯度设计，贴合河南中考题型，兼顾全员参与，落实教-学-评一体化中的“即时评价、巩固提升”要求，每个题目均对应探究新知的三个知识点，强化知识应用。基础巩固题（全员必做，对应知识点一、二）1.解二元一次方程组$\begin{cases}3x-y=m\\x+3y=5\end{cases}$（m为常数），用含m的代数式表示方程组的解。2.已知上述方程组的解满足x=2，求m的值及对应的y的值。提升突破题（小组合作，对应知识点二、三）3.已知二元一次方程组$\begin{cases}2x+3y=n\\x-y=1\end{cases}$的解满足x+y=3，求n的值。4.判断方程组$\begin{cases}kx+2y=3\\2x+4y=6\end{cases}$（k为常数）的解的情况，并说明理由。拓展延伸题（选做，对应知识点三，面向学有余力学生）5.已知二元一次方程组$\begin{cases}ax+by=7\\bx+ay=8\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，求a、b的值，并判断方程组$\begin{cases}(a+1)x+(b-1)y=7\\(b+1)x+(a-1)y=8\end{cases}$的解的情况。教师活动：1.巡视指导，重点关注基础薄弱学生的解题情况，及时纠正步骤错误、符号错误；2.针对提升突破题，引导小组内互相讨论，梳理解题思路；3.拓展延伸题可进行适当提示，引导学生迁移运用所学知识。学生活动：1.独立完成基础巩固题，自主检查；2.小组合作完成提升突破题，分享解题思路；3.学有余力的学生尝试完成拓展延伸题，培养探究能力。评价反馈：1.基础题：抽查学生答案，重点评价步骤规范性和计算准确性，确保全员掌握基本解法；2.提升题：邀请小组代表发言，分享解题思路，评价学生对转化思想、分类讨论思想的运用情况；3.拓展题：简单讲解解题思路，肯定学生的探究成果，鼓励学生主动思考、大胆尝试；4.总结学生易错点，进行集中讲解，强化知识漏洞，落实运算能力、推理能力的培养。课堂总结（时长：3分钟）遵循“学生自主总结—教师补充完善—核心素养升华”的流程，落实教-学-评一体化中的“总结评价、梳理提升”要求。学生活动：1.独立思考，回顾本节课所学内容，尝试自主总结本节课的核心知识点、解题方法和数学思想；2.发言分享自己的总结，互相补充、完善。教师补充完善：本节课我们围绕三个核心知识点展开探究，分别是含参数二元一次方程组的基本解法、根据解的条件求参数、方程组的解的三种情况。解题核心是消元思想，同时运用了转化思想、分类讨论思想；解题关键是理解参数的意义，规范解题步骤，能根据题目条件灵活运用所学方法，将未知转化为已知。核心素养升华：通过本节课的学习，我们不仅掌握了含参数二元一次方程组的相关知识，更提升了运算能力、推理能力，学会了用数学的眼光观察参数与未知数的关联，用数学的思维分析解的情况，用数学的语言表达解题过程，希望大家在后续的学习中，继续践行这种数学思维，灵活运用所学知识解决更多数学问题。课后任务贴合河南专版教材课后习题要求，遵循“基础巩固—提升拓展—实践应用”的梯度设计，兼顾知识巩固与能力提升，同时落实新课标对学生自主学习、实践应用能力的要求，分层布置，兼顾不同层次学生的学情。基础任务（全员必做）1.解下列含参数的二元一次方程组（用含参数的代数式表示解）：（1）$\begin{cases}x+2y=4\\3x-y=t\end{cases}$（t为常数）（2）$\begin{cases}2x+y=5\\kx-3y=6\end{cases}$（k为常数）2.已知方程组$\begin{cases}x-y=3\\2x+y=m\end{cases}$的解为正数，求m的取值范围。提升任务（小组合作完成）3.已知方程组$\begin{cases}2x+3y=12\\ax+by=9\end{cases}$与$\begin{cases}bx+ay=1\\x+y=5\end{cases}$有相同的解，求a、b的值，并解这个方程组。4.探究方程组$\begin{cases}(m-1)x+2y=3\\2x+(n+2)y=4\end{cases}$有唯一解、无解、无数组解时，m、n的取值范围。实践任务（选做）5.结合生活实际，编写一道含参数的二元一次方程组应用题（贴合河南本地生活，如购物、行程、配套问题），并写出解题过程，下节课分享交流。任务要求：1.基础任务独立完成，步骤规范，书写工整，标注解题关键；2.提升任务小组内分工合作，互相讨论，梳理解题思路，共同完成；3.实践任务鼓励大胆创新，贴合生活实际，确保题目合理、解题正确；4.完成后自主检查，反思自己的易错点，整理错题本，巩固知识漏洞。板书设计（简洁明了、重点突出，贴合课堂流程，便于学生回顾总结，突出核心知识点和解题方法，兼顾数学思想的渗透）6.2二元一次方程组的解法（第4课时）一、核心知识点1.含参数方程组的解法（消元法）步骤：变形→消元→解一元一次方程→代回→写解（规范步骤）2.根据解的条件求参数思路：用参数表示解→代入条件→转化为不等式（组）/方程→求解3.解的三种情况（ax=b）唯一解：a≠0无解：a=0且b≠0无数组解：a=0且b=0二、核心思想消元思想、转化思想、分类讨论思想三、新课标要求用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达四、易错点符号错误、代入漏乘、分类讨论不全面教学反思本节课紧扣2022版数学新课标要求，贴合华东师大版河南专版教材学情，围绕三个核心知识点，以教-学-评一体化理念为核心，设计了情境导入、探究新知、课堂练习、课堂总结、课后任务等环节，注重学生核心素养的培养，贴合七年级学生的认知发展规律，整体教学流程顺畅，知识点讲解细致，重难点突出。亮点之处：1.情境导入贴合学生生活实际（食堂采购），贴合河南本地学情，能有效激发学生的探究兴趣，自然引入参数的概念，落实新课标“用数学的眼光观察现实世界”的要求；2.探究新知环节层层递进，三个知识点紧密关联，每个探究环节均设计了教师引导、学生活动、评价反馈，