黑龙江省哈尔滨市南岗区三中2026届高一下数学期末考试试题含解析

黑龙江省哈尔滨市南岗区三中2026届高一下数学期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．等比数列中，，，则公比等于（）A．2 B．3 C． D．2．中，角所对的边分别为，已知向量，，且共线，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．如直线与平行但不重合，则的值为（）．A．或2 B．2 C． D．4．若，，则的值是（）A． B． C． D．5．已知向量，且，则().A． B．C． D．6．某校高二理（1）班学习兴趣小组为了调查学生喜欢数学课的人数比例，设计了如下调查方法：（1）在本校中随机抽取100名学生，并编号1，2，3，…，100；（2）在箱内放置了两个黄球和三个红球，让抽取到的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生站出来，一是摸到黄球且编号数为奇数的学生，二是摸到红球且不喜欢数学课的学生。若共有32名学生站出来，那么请用统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（）A．80% B．85% C．90% D．92%7．若圆心坐标为的圆,被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．8．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝sin（x）﹣1 B．f（x）＝2sin（x）﹣1C．f（x）＝2sin（x）﹣1 D．f（x）＝2sin（2x）+19．在△ABC中,,则△ABC为()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．设，若3是与的等比中项，则的最小值为（）.A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设数列的通项公式为，则_____．12．设函数的部分图象如图所示，则的表达式______．13．若数列是正项数列，且，则_______．14．已知数列满足，，则_______；_______.15．在中，已知M是AB边所在直线上一点，满足，则________.16．已知为所在平面内一点，且，则_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在数列中，，，数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等差数列．（2）若对恒成立，求的取值范围．18．在中，已知，，且，求.19．已知函数，．（1）求函数的单调减区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．20．已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1（1）求a,b；（2）解关于x的不等式a21．已知函数的值域为A，.(1)当的为偶函数时，求的值；(2)当时,在A上是单调递增函数，求的取值范围；(3)当时，（其中)，若，且函数的图象关于点对称，在处取得最小值，试探讨应该满足的条件.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由题意利用等比数列的通项公式，求出公比的值．【详解】解：等比数列中，，，，则公比，故选：．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．2、D【解析】

由向量共线的坐标表示得一等式，然后由正弦定理化边为角，利用诱导公式得展开后代入原式化简得，分类讨论得解．【详解】∵共线，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故选：D.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量共线的坐标表示，考查正弦定理，两角和的正弦公式，考查三角函数性质．解题时不能随便约分漏解．3、C【解析】

两直线斜率相等，且截距不相等。【详解】解析：由题意得，，解得或2，经检验时两直线重合，故.故选C.【点睛】本题考查两直线平行，属于基础题.4、B【解析】，，，故选B.5、D【解析】

运用平面向量的加法的几何意义，结合等式，把其中的向量都转化为以为起点的向量的形式，即可求出的表示.【详解】,,故本题选D.【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义，属于基础题.6、A【解析】

先分别计算号数为奇数的概率、摸到黄球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到黄球且号数为奇数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得估计该校学生中喜欢数学课的人数比例．【详解】解：由题意，号数为奇数的概率为0.5，摸到黄球的概率为，摸到红球的概率为那么按概率计算摸到黄球且号数为奇数的学生有个共有32名学生站出来，则有12个摸到红球且不喜欢数学课的学生，不喜欢数学课的学生有：，喜欢数学课的有80个，估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：．故选：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、B【解析】

设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案．【详解】由题意，设圆的方程为，则圆心到直线的距离为，又由被直线截得的弦长为，则，所以所求圆的方程为，故选B．【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8、D【解析】

由已知列式求得的值，再由周期求得的值，利用五点作图的第二个点求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，根据三角函数的图象，可得，解得，又由，解得，则，又由五点作图的第二个点可得：，解得，所以函数的解析式为，故选D.【点睛】本题主要考查了由的部分图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的五点作图法，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9、C【解析】

直接利用正弦定理余弦定理化简得到，即得解.【详解】由已知得，由正、余弦定理得，即，即，故是直角三角形.故答案为：C【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理水平.10、C【解析】

由3是与的等比中项，可得，再利用不等式知识可得的最小值.【详解】解：3是与的等比中项，，，=，故选C.【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据数列的通项式求出前项和，再极限的思想即可解决此题。【详解】数列的通项公式为，则，则答案．故为：．【点睛】本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、列项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。12、【解析】

根据图象的最高点得到，由图象得到，故得，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到，进而可得函数的解析式．【详解】由图象可得，∴，∴，∴．又点在函数的图象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案为．【点睛】已知图象确定函数解析式的方法（1）由图象直接得到，即最高点的纵坐标．（2）由图象得到函数的周期，进而得到的值．（3）的确定方法有两种．①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出的值；②运用“五点法”求解，即由函数最开始与轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令，)确定．13、【解析】

有已知条件可得出，时，与题中的递推关系式相减即可得出，且当时也成立。【详解】数列是正项数列，且所以，即时两式相减得，所以（）当时，适合上式，所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题。14、【解析】

令代入可求得；方程两边取倒数，构造出等差数列，即可得答案.【详解】令，则；∵，∴数列为等差数列，∴，∴.故答案为：；.【点睛】本题考查数列的递推关系求通项，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两边取倒数，构造新等差数列的方法.15、3【解析】

由M在AB边所在直线上，则，又，然后将，都化为，即可解出答案.【详解】因为M在直线AB上，所以可设，

可得，即，又，则由与不共线，所以，解得.故答案为：3【点睛】本题考查向量的减法和向量共线的利用，属于基础题.16、【解析】

将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．【详解】解：设，则根据题意可得，，如图所示，作，垂足分别为，则又，，故答案为．【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据已知可变形为常数；（2）首先求数列的通项公式，然后利用裂项相消法求，若满足对恒成立，需满足，，求的取值范围.【详解】（1）证明：因为，所以，，则．又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，则．因为，所以，所以．易知单调递增，则．所以，且，解得．故的取值范围为．【点睛】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据的正负判断单调性，然后求最值.18、或【解析】

首先根据三角形面积公式求出角B的正弦值，然后利用平方关系，求出余弦值，再依据余弦定理即可求出．【详解】由得，，所以或，由余弦定理有，，故或，即或．【点睛】本题主要考三角形面积公式、同角三角函数基本关系的应用，以及利用余弦定理解三角形．19、（1），．（2）【解析】

（1）利用降次公式和辅助角公式化简表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调减区间.（2）首先求得当时的值域.利用换元法令，将转化为，根据的范围，结合二次函数的性质，求得的取值范围.【详解】（1）由（）解得（）．所以所求函数的单调减区间是，．（2）当时，，，即．令（），则关于的方程在上有解，即关于的方程在上有解．当时，．所以，则．因此所求实数的取值范围是．【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查根据方程的根存在求参数的取值范围，考查二次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20、（1）a＝1，b＝2；（2）①当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，解集为∅．【解析】

（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；（2）把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，讨论c的取值，求出对应不等式的解集．【详解】（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；由根与系数的关系，得1+b=3解得a＝1，b＝2；（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0；①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．21、（1）；（2）；（