小学数学五年级《3的倍数的特征》核心知识清单

小学数学五年级《3的倍数的特征》核心知识清单

一、核心概念与定义

【基础】【核心概念】

1、倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，15÷3=5，我们就说15是3的倍数，3是15的因数。

2、3的倍数的定义：一个整数能够被另一个整数3整除，我们就称这个整数是3的倍数。即，存在一个整数k，使得这个数等于3×k。例如，3、6、9、12、15……都是3的倍数。

3、数的整除特征：指无需通过复杂的除法竖式计算，仅通过对一个数的数字组成或特定部分进行观察、运算，就能快速判断它是否能被某个数整除的方法或规律。

二、3的倍数的基本特征与原理

【非常重要】【高频考点】

1、基本特征：一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

2、特征表述：判断一个数是不是3的倍数，不能只看它的个位（这与2、5的倍数的特征不同），而要看它所有数位上的数字之和。如果这个和是3的倍数，那么原数就是3的倍数；如果这个和不是3的倍数，那么原数就不是3的倍数。

3、原理探究（位值原理）：

任何一个多位数都可以按位值原则展开。以三位数abc（a为百位，b为十位，c为个位）为例，它表示：

100×a+10×b+1×c

=(99+1)×a+(9+1)×b+c

=99a+a+9b+b+c

=(99a+9b)+(a+b+c)

其中，99a和9b都含有因数9和3（因为99=9×11=3×33，9=3×3），所以它们一定能被3整除。因此，整个数能否被3整除，完全取决于剩下的部分，即“a+b+c”这个各位数字的和能否被3整除。

推广到任意位数，原理相同：每个数位上的1（如10、100、1000……）除以3都余1（10÷3=3余1，100÷3=33余1，1000÷3=333余1……），所以一个数可以看作是“若干个9或99等3的倍数的部分”与“各位数字之和”相加。前一部分是3的倍数，因此整个数的整除性就由各位数字之和的整除性决定。

三、判断方法与步骤

【基础】【核心方法】

1、判断步骤：

（1）数位分离：将这个数的每一位上的数字都单独取出来。无论这个数有多大，或者包含多少位，都必须将每一位都考虑到。

（2）求和计算：将取出的所有数字相加，求出一个总和。

（3）验证和：判断这个总和本身是不是3的倍数。可以用总和除以3，看是否能整除；也可以继续用“各位数字之和”的特征来判断总和，直到能直接看出为止。

（4）得出结论：如果总和是3的倍数，则原数是3的倍数；否则，原数不是3的倍数。

2、示例剖析：

判断1236是不是3的倍数。

第一步，各位数字是1、2、3、6。

第二步，求和：1+2+3+6=12。

第三步，判断12是不是3的倍数：1+2=3，3是3的倍数，所以12是3的倍数。

第四步，得出结论：因为各位数字之和12是3的倍数，所以1236是3的倍数。

3、简便技巧（“弃3”法/筛3法）：

在求各位数字之和时，可以先将数字中本身是3的倍数（如3、6、9）的数字直接跳过或划掉，因为它们加进来不影响和是否是3的倍数这一结论。也可以将能凑成3的倍数的几个数字先组合起来去掉，最后看剩下的数字之和是否是3的倍数。这能显著加快计算速度。

例如，判断数字“325691”是否是3的倍数。

常规法：3+2+5+6+9+1=26，26不是3的倍数，所以原数不是3的倍数。

弃3法：看到3，直接忽略；看到6，忽略；看到9，忽略。剩下2、5、1，和为2+5+1=8，8不是3的倍数，所以原数不是3的倍数。更简便地，2+5+1=8，也可将2+1=3，3是3的倍数，再与5结合，剩下5，5不是3的倍数，结论一致。

四、易错点与辨析

【难点】【易错警示】

1、与2、5的倍数特征混淆：

【易错点1】错误地认为看个位就能判断。比如看到13，个位是3，就误以为它是3的倍数，实际上1+3=4，4不是3的倍数，所以13不是3的倍数。必须牢记，3的倍数的特征是看“各位数字之和”，而非末位数字。

2、多位数字遗漏或重复：

【易错点2】在求一个较大数的各位数字之和时，容易漏掉某一位上的数字，或者在心中默算时发生累加错误。建议在数字下方用箭头或划线标记，确保每一位都被计算且只计算一次。

3、对“0”的处理：

【易错点3】当数中间或末尾有0时，0加在任何数上都不改变和，因此0可以直接忽略不计。但要注意，0的存在不影响和的3倍性，但原数本身可能因为0的存在而变大。例如，300的各位和是3+0+0=3，是3的倍数，300也是3的倍数（300÷3=100）。判断正确。

4、负数的处理：

【易错点4】在小学阶段主要研究非零自然数，但若拓展到负数，3的倍数的特征同样适用。判断一个负整数是否是3的倍数，可以先看它的绝对值（正整数部分）的各位数字之和是否是3的倍数。如果是，则这个负整数也是3的倍数（如-12，1+2=3，-12÷3=-4）。

5、对“倍数”与“因数”关系理解不清：

【易错点5】当判断出一个数是3的倍数后，要能准确说出它的因数3和另一个因数。例如，由1236是3的倍数，可以推出1236=3×412，所以3和412都是1236的因数。反之，若一个数不是3的倍数，则它除以3的结果不是整数，不能写成两个整数相乘的形式（其中一个因数是3）。

五、思维拓展与高阶应用

【难点】【热点】【跨学科视野】

1、寻找同时满足多个条件的数：

常见题型：在某个范围内（如50以内），找出既是2的倍数，又是3的倍数的数（即6的倍数）。解题思路是先用2的倍数特征筛选出偶数，再在这些偶数中用3的倍数特征进行二次筛选。或者，直接找6的倍数。

拓展到找既是3的倍数，又是5的倍数的数（即15的倍数）。特征是各位数字之和是3的倍数且个位是0或5。

2、数字谜题与数论初步：

题型：已知一个多位数，其中某一位或几位数字被遮挡或用字母代替，且已知这个数是3的倍数，求遮挡的数字或字母的值。

例：四位数“32□7”是3的倍数，求□里可以填几？

解：已知数字和3+2+□+7=12+□。要求12+□是3的倍数。12已经是3的倍数，所以□必须是3的倍数（0、3、6、9）。因此□里可以填0、3、6、9。

变式：若要求这个数同时是2和3的倍数（即6的倍数），则需先满足个位是偶数（本题个位是7，已是奇数），所以无解。若要求是3和5的倍数，则个位必须是0或5，本题个位是7，也不满足。通过这种题目，可以深化对整除特征的综合运用。

3、同余思想的渗透：

一个数除以3的余数，等于它各位数字之和除以3的余数。这是3的倍数特征的直接推论，也是数论中“同余”概念的雏形。

例如：判断527除以3的余数。5+2+7=14，14÷3=4余2，所以527÷3的余数也是2。可以通过计算验证：527÷3=175……2。

这一思想在解决“余数问题”和“周期问题”时非常有用。

4、与“9的倍数的特征”的联系与区别：

联系：9的倍数的特征与3的倍数的特征极为相似，是一个数各位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。其原理也是基于位值，因为10、100、1000……除以9也都余1。

区别：3的倍数的条件更宽松，只要和是3的倍数即可，而9的倍数要求更高，和必须是9的倍数。因此，所有9的倍数必定是3的倍数，但3的倍数不一定是9的倍数。

5、生活中的数学应用：

（1）物品分配：在组织活动分组时，如果总人数是3的倍数，那么可以平均分成3组，每组人数相等。

（2）数字编码校验：在一些简单的校验码算法中，会用到对数字和取模（如模3或模10）的原理。例如，某些商品代码的最后一位可能是前面所有数字之和的个位数，用于快速检验输入是否正确。

（3）音乐节拍：在音乐中，3/4拍（圆舞曲）的强弱规律是“强、弱、弱”，其小节内音符时值的总和必须等于一个3的倍数（以四分音符为一拍，每小节3拍），体现了数学与艺术的结合。

6、跨学科链接：

（1）语文：成语接龙中，可以用数字接龙，要求学生说的下一个数必须是上一个数的3的倍数，既练习了倍数特征，又活跃了思维。诗词中对仗与韵律的“起承转合”，有时也可以类比为数学模式中的周期与倍数关系。

（2）科学（生物）：细胞分裂有时以3的倍数进行增长（虽然不严格，但可以作为近似模型），引导学生观察自然中的数学模式。例如，某些植物的花瓣数目常为3、5、8（斐波那契数列），而8并非3的倍数，这种对比更能凸显数学特征的精确性。

（3）体育：篮球比赛中，三分球得3分，记录员在统计得分时，总分数是否是3的倍数，可以快速判断某些得分组合的可能性。

7、编程思维启蒙：

（1）算法描述：判断一个整数n是否是3的倍数，可以用自然语言描述为：第一步，令sum=0；第二步，当n>0时，取n的个位数digit，将digit加到sum上，然后去掉n的个位（n=n//10）；第三步，重复第二步直到n=0；第四步，判断sum除以3的余数是否为0。

（2）伪代码或简单程序逻辑（以Python思想为例）：

defis_multiple_of_3(n):

n=abs(n)#取绝对值

sum_of_digits=0

whilen>0:

sum_of_digits+=n%10#取出个位

n=n//10#去掉个位

returnsum_of_digits%3==0

通过这种方式，将数学特征转化为计算机可执行的步骤，培养学生的逻辑思维和计算思维。

六、考点聚焦与题型解析

【高频考点】【考试方向】

1、直接判断题：

这是最基础的考查方式。给出若干个整数，要求直接圈出或选出哪些数是3的倍数。通常题目中会混入2、5的倍数的数，以检验学生是否掌握了正确的判断方法。

2、填空题：

（1）在□里填一个合适的数字，使这个数成为3的倍数。如：4□2，□里可以填（）。

（2）一个数既是3的倍数，又是偶数，这个数最小是（）。或者，在1-100的自然数中，最大的3的倍数是（）。

（3）用数字卡片（如3、0、1、5）组成三位数，要求是3的倍数，能组成多少个？最大是多少？最小是多少？

3、选择题：

（1）下面各数中，同时是2和3的倍数的数是（）。A.24B.35C.39D.42

（2）一个三位数，百位上是最大的一位数，十位上是8，这个数是3的倍数，个位上的数可能是（）。A.1B.2C.3D.4

4、判断题：

（1）个位上是3、6、9的数，一定是3的倍数。（×）

（2）3的倍数一定不是偶数。（×）【反例：6、12】

（3）一个数是9的倍数，它一定也是3的倍数。（√）

5、综合应用题：

（1）有85个苹果，如果每次拿3个，至少再添上几个能正好拿完？至少拿走几个能正好拿完？

【解题思路】求85除以3的余数。8+5=13，13÷3=4……1，余数为1。所以，添上2个（3-1=2）能正好拿完；拿走1个能正好拿完。

（2）五年级一班人数在40到50之间，如果每3人一组正好分完，这个班可能有多少人？

【解题思路】求40到50之间3的倍数。42、45、48。所以可能是42人、45人或48人。

6、拓展与探究题：

（1）任意写一个多位数，然后交换其中任意两个数字的位置，得到一个新数。新数和原数有什么样的整除关系？为什么？（它们的差是3的倍数，因为它们除以3的余数相同，都等于数字和除以3的余数。）

（2）观察下面这组数：1、4、7、10、13、16……它们有什么特点？它们除以3的余数都是几？第n个数如何表示？（这些数都是除以3余1的数，可以表示为3n-2或3(n-1)+1。）

七、解题步骤与策略总结

【解题策略】【关键能力】

1、审题三步走：

第一步：看清题目要求。是只判断3的倍数，还是同时满足多个条件（如同时是2和3的倍数，或同时是3和5的倍数）？

第二步：锁定核心特征。对于3的倍数，核心就是“数字和是3的倍数”。对于混合条件，要分步应用或联合应用特征。

第三步：细心计算验证。确保求和准确，尤其是涉及多位数字时。在填空或选择中，若选项不多，可逐项验证。

2、综合题解题模板：

（1）求“□”里填几的题目：

①将已知数字相加，得到和S。

②设□里填x，则数字和为S+x。

③根据要求（是3的倍数），列出不等式或等式：S+x是3的倍数。

④结合x的取值范围（通常是0-9），找出所有符合条件的x值。

（2）求“最小添上/拿走几个”的题目：

①先求该数除以3的余数r（可通过数字和除以3的余数快速得到）。

②拿走几个能整除：拿走r个。

③添上几个能整除：添上(3-r)个。（如果r=0，则添上0个，即已经能整除）

3、检查与验证：

判断完成后，可以用最直接的方法进行粗略验证：如果这个数比较小，可以想乘法口诀，看是否有3乘某个数等于它。如果数比较大，可以估一下，比如3000左右肯定是3的倍数，因为3×1000=3000，所以像2997（2+9+9+7=27）也是3的倍数。

八、核心素养与教学价值

【课标理念】【高阶思维】

1、数感与运算能力的培养：

通过对3的倍数特征的探究，学生不再将“数的整除”局限于机械的除法计算，而是建立起数与数之间更抽象、更本质的联系。这种通过数字和来判断整除性的能力，是数感深化的重要表现。

2、推理意识与建模思想：

从观察2、5的倍数特征（看个位）到探究3的倍数特征（看各位和），学生经历了一次认知冲突和思维跃升。通过位值原理论证为什么“看和”是有效的，学生初步体验了从特殊到一般、从猜想、验证到证明的完整数学探究过程，培养了合情推理和演绎推理的