小学五年级数学寒假预习精讲精练·知识清单

小学五年级数学寒假预习精讲精练·知识清单

一、核心概念与基础知识精析

（一）2的倍数的特征【核心】【高频考点】

1、特征表述：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。【必记】【基础】

2、原理阐释：在十进制计数法中，整十、整百、整千的数（如10、20、100、1000）都是2的倍数，因为10=2×5，20=2×10，以此类推。因此，判断一个数是否是2的倍数，只需看它个位上的数字，而更高数位上的数字所表示的是几个十、几个百、几个千，这些部分本身就是2的倍数，所以整个数的奇偶性完全由个位数字决定。例如，372=370+2，370是2的倍数（因为370=2×185），2也是2的倍数，所以372是2的倍数；而371=370+1，370是2的倍数，但1不是2的倍数，所以371不是2的倍数。★

3、偶数与奇数：

（1）偶数的定义：在整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。【基础】【重要】生活中常说的“双数”就是偶数。

（2）奇数的定义：在整数中，不是2的倍数的数叫做奇数。【基础】【重要】生活中常说的“单数”就是奇数。

（3）自然数的分类：自然数（0除外）按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两类。即一个自然数不是奇数，就是偶数。【重要】

（4）0的特殊性：0是偶数，因为0÷2=0，商是整数且没有余数。在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指自然数（不包括0），但讨论奇数偶数时，0属于偶数范畴。【易错点】【难点】

（二）5的倍数的特征【核心】【高频考点】

1、特征表述：个位上是0或5的数都是5的倍数。【必记】【基础】

2、原理阐释：类似于2的倍数，整十的数（如10、20、30……）都是5的倍数，因为10=5×2，20=5×4。所以一个数不管有多大，只要个位是0或5，它就可以拆分成若干个十加上个位上的数，若干个十的部分是5的倍数，只要个位也是5或0，整个数就是5的倍数。例如，125=120+5，120是5的倍数（120=5×24），5是5的倍数，所以125是5的倍数。▲

（三）同时是2和5的倍数的特征【综合】【高频考点】

1、特征表述：个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。【必记】【基础】

2、原理阐释：同时满足2和5的倍数条件，即个位既是偶数（0,2,4,6,8）又要是0或5，取交集可得个位只能是0。这样的数实际上是10的倍数。因为2和5的最小公倍数是10，所以任何既是2的倍数又是5的倍数的数，一定是10的倍数。▲★

3、数学表达：一个数如果能被10整除，则它同时是2和5的倍数。即末位为0。

（四）倍数特征的研究方法【思维】【拓展】

1、观察法：通过列举特定范围内的倍数（如100以内），观察其规律。例如，在百数表中圈出5的倍数，发现它们都排在个位是0或5的那一列。【基础】

2、归纳法：从特殊到一般，通过多个例子总结出一般性规律。例如，通过观察2、12、22、32、102等数，归纳出个位是2的数都是2的倍数。【重要】

3、验证法：用更大的数来验证所发现的规律是否成立。例如，发现个位是0或5的数是5的倍数后，可以随机报一个大数如9875，用除法验证9875÷5=1975，商是整数，证明规律成立。【重要】

4、演绎推理法：从已知的公理或定理出发，推导出结论。例如，从“整十数是2和5的倍数”这一事实，推导出任意多位数的倍数特征只取决于个位。▲

二、知识深度构建与跨学科视野

（一）数论视角下的特征本质（数学学科内拓展）

1、位值原理的深入应用：任何一个多位数都可以写成：……+千位×1000+百位×100+十位×10+个位。因为1000、100、10都是2和5的倍数（1000=2×500=5×200），所以前面所有项都是2和5的倍数。因此，整个数除以2或5的余数，完全由个位数字除以2或5的余数决定。这解释了为什么只看个位即可判断。

2、同余理论的初步渗透：在数学中，我们可以说一个数模2（即除以2的余数）等于它的个位数字模2。个位是0、2、4、6、8时，模2等于0，即为偶数；个位是1、3、5、7、9时，模2等于1，即为奇数。对于模5，个位是0或5时，模5等于0，即为5的倍数。

（二）数学史与数学文化（人文素养拓展）

1、古代对数的划分：早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派就将数分为奇数与偶数，他们认为“奇数”是有限的、不完整的，“偶数”是无限的、可分解的。他们发现偶数可以被平分为两份，而奇数不能。这种划分是人类对自然数性质的早期探索。

2、中国古代数学的贡献：中国古代《孙子算经》中就有关于倍数和余数的系统研究，著名的“物不知数”问题（今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）就是关于倍数与余数的经典问题，比西方早一千多年。这与我们即将学习的3的倍数特征以及后续的“公倍数”知识一脉相承。

（三）生活应用与跨学科链接（综合素养拓展）

1、生活实例：

（1）座位安排：大型会议或演出现场，座位通常按单号、双号分区，便于观众快速找到座位。单号即奇数，双号即偶数。

（2）门票/票根设计：许多入场券的票根和正券号码设计为一奇一偶，方便检票时撕下存根。

（3）商品包装：一些商品（如5支一盒的笔、10个一打的鸡蛋、2只一盒的袜子）的包装数量，正是利用了2和5的倍数特征，便于计数和销售。

2、信息技术链接：

（1）计算机科学中的奇偶校验：在计算机数据传输中，有一种简单的错误检测方法叫“奇偶校验”。发送数据时，会在每个字节（8位二进制数）后附加一个校验位，使整个数据中“1”的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。接收方收到数据后，再次统计“1”的个数，若与约定的奇偶性不符，则说明数据在传输过程中可能发生了错误。这直接应用了奇数和偶数的概念。

（2）二进制与十进制：计算机内部采用二进制，一个二进制数的最低位（个位）是0时，对应十进制数是偶数；最低位是1时，对应十进制数是奇数。这与十进制中看个位判断奇偶的原理完全一致。

3、科学链接：生物学中的细胞分裂：一个细胞分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……分裂次数与细胞总数之间的关系（2的n次方）是2的倍数特征的深化与延伸。

三、考点、考向与解题策略【核心】

（一）常见题型与考向分析

1、基础判断型：【高频】【基础】

（1）直接判断：给出一个数，判断它是否是2、5的倍数，或者是奇数还是偶数。

（2）典型题例：在18、25、30、47、50、72中，2的倍数有（），5的倍数有（），既是2的倍数又是5的倍数有（）。【解题要点】牢记特征，只看个位。

2、填空选择型：【高频】【重要】

（1）根据条件写数：用指定数字组成符合要求的数。

（2）典型题例1：用0、5、6三个数字组成一个三位数，使它同时是2和5的倍数，这个数最大是（），最小是（）。【解题步骤】第一步：同时是2和5的倍数个位必须是0；第二步：个位确定为0后，百位和十位从5和6中选，最大是650，最小是560。【易错点】注意0不能在百位，否则不是三位数。

（3）典型题例2：三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是（）、（）、（）。【解题要点】相邻奇数相差2，可用中间数=和÷3求得。

3、判断改错型：【重要】

（1）概念辨析：判断下列说法是否正确，并说明理由。

（2）典型题例：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。（）【分析】正确，这是2的倍数的完整特征。

（3）典型题例：所有的奇数都是质数。（）【分析】错误，奇数不一定是质数，如9、15是奇数，但它们是合数。【易错点】混淆奇数与质数、偶数与合数的概念。

4、实际应用型：【难点】【热点】

（1）结合实际情境，运用倍数特征解决问题。

（2）典型题例1：有45个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每2个装一袋呢？为什么？【解题要点】判断45是否是5和2的倍数，45个位是5，是5的倍数，所以每5个装一袋能正好装完；45个位不是0、2、4、6、8，不是2的倍数，所以每2个装一袋不能正好装完。

（3）典型题例2：傍晚开灯时，淘气一连按了7次开关。请问：现在灯是亮的还是不亮的？【解题要点】初始状态（关）为0（偶数次），按1次（奇数次）为开，2次（偶数次）为关……规律：奇数次状态改变，偶数次恢复原状。7是奇数，所以灯是亮的。【思维拓展】这类问题属于奇偶性在周期问题中的应用。

5、推理探究型：【难点】【培优】

（1）结合其他知识（如图形、规律）进行推理。

（2）典型题例：一个纸环链，纸环按红、黄、绿、蓝、紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示（图略）。已知左边剩下8个纸环，右边剩下4个纸环（黄、绿、蓝、紫），则被截去部分纸环的个数可能是（）。【解题要点】根据周期为5，总个数应为5的倍数，左边剩8，右边剩4，总剩余12个，所以被截去部分个数=5k-12（k为整数），且截去后两边颜色连续，从而推断k的值。

（二）解题步骤与策略总结

1、判断2、5的倍数“三步法”：

（1）第一步：看个位。这是最关键的一步，忽略其他数位。

（2）第二步：对照特征。个位是0、2、4、6、8的是2的倍数；个位是0、5的是5的倍数。

（3）第三步：综合判断。若同时满足2和5的倍数，则个位必为0。

2、组数问题“四原则”：

（1）确定个位：根据题目要求（2的倍数/5的倍数/同时）先确定个位数字。

（2）考虑高位：最高位不能为0（除非是允许0开头的特殊情况，如密码、编号）。

（3）排列组合：将剩余数字按大小顺序排列，求最大数则高位尽可能大，求最小数则高位尽可能小。

（4）验证检查：写出所组之数，再次检验是否符合倍数条件。

3、奇偶性应用“顺口溜”：

（1）加减法中：同奇偶性相加得偶数（偶+偶=偶，奇+奇=偶），不同奇偶性相加得奇数（偶+奇=奇）。乘法中：因数有偶则积为偶，因数全奇积为奇。

四、易错点、难点与疑点剖析【重要】

（一）易错点辨析

1、忽略0的特殊性：

（1）易错表现：认为0不是偶数，或者认为最小的偶数是2。

（2）正确理解：在数学定义中，0是2的倍数（0×2=0），所以0是偶数。在研究因数倍数时，为了方便，我们一般不包括0，但讨论奇数偶数时，0属于偶数。因此，最小的偶数是0，不是2。【特别提醒】考试中若出现“最小的偶数是谁”，在没有特别说明“非零自然数”的情况下，答案是0。

2、混淆“个位”与“各位”：

（1）易错表现：判断5的倍数时，去看每一位上有没有5。例如，认为15不是5的倍数，因为个位是5但十位1不是5的倍数特征所需。

（2）正确理解：2和5的倍数特征只看“个位”，不看其他数位。

3、倍数特征适用范围的误解：

（1）易错表现：认为所有数（包括小数、分数）都有这样的特征。

（2）正确理解：2、5的倍数特征只适用于整数（通常指自然数）。小数、分数没有倍数概念。

4、组数时遗漏0不能做首位：

（1）易错表现：用0、1、2组成最大的偶数，误组成210或以为210是最大的，其实应该是210，但若要组成三位数，210就是最大，但若考虑所有可能，需注意0不能占首位。

（2）正确理解：组成几位数，首位就不能是0。

（二）难点突破

1、难点一：为什么判断2、5的倍数只看个位？

（1）突破方法：利用数的组成和乘法分配律。例如，判断382是否是2的倍数：382=3×100+8×10+2。因为100和10都是2的倍数（100=2×50，10=2×5），所以3×100和8×10都是2的倍数，它们的和也是2的倍数（根据：如果a和b都是c的倍数，那么a+b也是c的倍数），最后只需看剩下的2是否是2的倍数。这实际上运用了同余性质，将复杂的多位数问题简化为个位问题。

2、难点二：奇偶性的运算规律（和与积的奇偶性）【培优】

（1）加法规律：

奇数+奇数=偶数（如3+5=8）

偶数+偶数=偶数（如2+4=6）

奇数+偶数=奇数（如3+4=7）

推广：多个数相加，奇数的个数是奇数，则和为奇数；奇数的个数是偶数，则和为偶数。

（2）乘法规律：

奇数×奇数=奇数（如3×5=15）

偶数×偶数=偶数（如2×4=8）

奇数×偶数=偶数（如3×4=12）

推广：只要乘法算式中有一个因数是偶数，积一定是偶数。

3、难点三：含字母的奇偶性判断【培优】

（1）题型：如果用a表示自然数，那么2a表示什么数？2a+1呢？

（2）解析：2a表示a的2倍，一定是2的倍数，所以2a表示偶数。2a+1比2a多1，不是2的倍数，所以2a+1表示奇数。同理，2a-1也表示奇数（a≥1）。

（三）常见疑点澄清

1、问：是不是所有个位是0的数都是2和5的倍数？

答：是。因为个位是0，说明这个数可以被10整除，而10=2×5，所以它一定能被2和5整除。

2、问：既是2的倍数又是5的倍数的数，一定是10的倍数吗？

答：一定是。因为2和5互质（最大公因数是1），它们的最小公倍数是10，所以同时是2和5的倍数的数，一定是10的倍数。

3、问：0是偶数吗？0是2的倍数吗？

答：0是偶数，也是2的倍数。但通常在小学阶段，讨论因数和倍数时，我们所说的数一般指不是0的自然数，以避免除数为0的情况。但单独讨论奇偶性时，0明确属于偶数。

五、典型例题精讲与变式训练

（一）基础类例题

1、例题：在下面的数中，哪些是2的倍数？哪些是5的倍数？哪些既是2的倍数又是5的倍数？

24，35，70，101，540，825，1000，1234

【分析】本题直接考察特征应用。

（1）2的倍数：个位是0、2、4、6、8→24、70、540、1000、1234。

（2）5的倍数：个位是0、5→35、70、540、825、1000。

（3）既是2又是5的倍数：个位是0→70、540、1000。

【解答要点】只看个位，快速筛选。

（二）变式类例题

2、例题：从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组成三位数。

卡片：0，4，5，9

（1）组成的数是2的倍数：_________________________

（2）组成的数是5的倍数：_________________________

（3）组成的数既是2的倍数又是5的倍数：_________________________

（4）组成的数既是奇数又是5的倍数：_________________________

【分析】本题是组数问题与倍数特征的综合。

（1）2的倍数：个位必须是0、4（注意不能是8，因为没有8卡片）。优先考虑个位为0或4，且百位不能为0。

（2）5的倍数：个位必须是0或5。

（3）既是2又是5的倍数：个位必须是0。

（4）既是奇数又是5的倍数：奇数说明不是2的倍数，所以个位不能是偶数，只能是5（因为个位是5的数满足5的倍数且是奇数）。

【解答】列举部分答案（需写出所有可能）：

（1）2的倍数：个位0的有450、540、490、940、590、950；个位4的有504、594、904、954。（注意不重复）

（2）5的倍数：个位0的同上（450、540、490、940、590、950）；个位5的有405、495、905、945。

（3）既是2又是5的倍数：450、540、490、940、590、950。

（4）既是奇数又是5的倍数：405、495、905、945。

【易错提醒】列举要全面，避免遗漏；注意0不能做百位。

（三）探究类例题

3、例题：已知五位数□342□能同时被2和5整除，那么这个五位数最大是多少？最小是多少？

【分析】同时被2和5整除即个位必须是0。设这个五位数为a3420（个位已确定为0）。万位a可以取1-9。最大时a取9，得93420；最小时a取1（注意万位不能是0，否则不是五位数），得13420。

【变式】如果这个五位数能同时被2和5整除，且万位和个位的数字相同，那么这个五位数是多少？【分析】个位为0，则万位也为0，但万位为0就不是五位数，无解。所以需调整理解：同时被2和5整除个位为0，万位与个位相同也为0，矛盾。因此题目可能设定为五位数，那么万位不能是0，无解。若改成四位数□342□，则可以是03420即3420，但这不是四位数。所以此类问题需注意位数限制。

（四）应用类例题

4、例题：五年级同学参加植树活动，人数在40到50之间。如果分成2人一组，正好分完；如果分成5人一组，也正好分完。五年级共有多少人？

【分析】分成2人一组和5人一组都正好分完，说明总人数既是2的倍数又是5的倍数，即总人数是10的倍数。在40到50之间，10的倍数有40、50。但40和50都在范围内，需要判断哪个符合。题目说“在40到50之间”，通常不包括两端，所以应为40<人数<50，那么只有50？但50等于50，可能包括。若“之间”包含两端，则40和50都符合；若不包含，则无解。常规题目理解为包含两端，但需根据题意。本题常见答案是40或50，但通常会加条件如“人数最多是多少”或“最少是多少”。若未加，两者皆可，但一般取40（因为是最小可能）。

【解答】总人数是10的倍数，且在40~50之间，可能是40或50。若题目未加限定，这两个数都是可能的答案。

（五）思维拓展例题

5、例题：三个连续偶数的和是72，这三个偶数分别是多少？

【分析】相邻偶数相差2。设中间偶数为x，则前一个为x-2，后一个为x+2。列方程：(x-2)+x+(x+2)=72→3x=72→x=24。所以三个偶数为22、24、26。

【解法二】和÷3=中间数，72÷3=24，再分别减2、加2得22和26。

六、综合复习与自我评量

（一）知识结构梳理（按逻辑层级排列）

1、第一层级：2的倍数特征

（1）个位是0、2、4、6、8

（2）偶数的定义：2的倍数

（3）奇数的定义：不是2的倍数

2、第二层级：5的倍数特征

（1）个位是0或5

3、第三层级：2和5的共同倍数特征

（1）个位是0

（2）本质是10的倍数

4、第四层级：核心数学思想

（1）观察、归纳、验证、演绎

（2）位值原理

（3）数形结合（百数表、点子图）

（二）综合能力检测题（分层设计）

【A组·基础巩固】（每题5分，共30分）

1、填空题：

（1）在15、28、30、45、56、70、85、100中，2的倍数有（），5的倍数有（），既是2的倍数又是5的倍数的有（）。

（2）最小的奇数是（），最小的偶数是（）。

（3）三个连续的奇数，中间一个是m，另外两个分别是（）和（）。

2、判断题：

（1）个位上是0的数一定能被5整除。（）

（2）所有的偶数都是合数。（）

（3）一个数不是奇数就是偶数。（）

【B组·能力提升】（每题8分，共40分）

3、用0、2、7、9四张数字卡片组成三位数。

（1）组成的数是偶数的有（）个。

（2）组成的数是5的倍数的有（）个。

（3）组成的数既是2的倍数又是5的倍数的最大数是（）。

4、五（1）班35名同学准备去公园划船，每条船限乘2人，能正好坐满吗？如果每条船限乘5人呢？为什么？

5、傍晚，小明开始写作业时，发现钟面上的时针指在4和5之间，分针刚好指向一个偶数（指钟面上的数字）。等他写完作业时，分针刚好走了奇数圈。请问小明写完作业时，分针指向的是奇数还是偶数？为什么？

6、已知a是奇数，b是偶数，那么下面算式的结果是奇数还是偶数？

（1）a+a+a（2）a×b（3）(a+b)×a

【C组·思维挑战】（每题10分，共30分）

7、有2018盏灯，分别对应编号1~2018，初始状态都是关着的。有2018个学生，编号也是1~2018。他们依次进入房间，每个学生把自己编号的倍数的灯的开关按一次（即关变开，开变关）。当所有学生都操作完后，编号是几的灯是亮着的？亮着的灯共有多少盏？

8、一个三位数，百位上的数字是十位上数字的2倍，十位上的数字是个位上数字的2倍。这个三位数同时是2和5的倍数，这个数是多少？

9、用2008减去一个自然数的差，是奇数还是偶数？为什么？

（三）自我评量参考答案与评分标准

【A组】

1、（1）2的倍数：28、30、56、70、100；5的倍数：15、30、45、70、85、100；既是2又是5的倍数：30、70、100。（每空2分，共6分）

（2）最小的奇数是1，最小的偶数是0。（每空2分，共4分，特别注意偶数填0）

（3）m-2，m+2。（每空2分，共4分）

2、（1）√（2）×（3）√（每空2分，共6分）

【B组】

3、（1）个位为0或2，分别列举计数，共9个（个位0的有：270、290、720、790、920、970，个位2的有：702、902、792，注意个位2不能有0做百位，所以702、902、792）。答：9个。（4分）

（2）个位为0或5，无5卡片，所以只能个位0，即（1）中个位0的6个。答：6个。（2分）

（3）既是2又是5的倍数，个位0，最大取970。（2分）

4、35÷2=17……1，不能正好坐满；（2分）35÷5=7，能正好坐满。（2分）理由：35不是2的倍数，但是5的倍数。（4分）

5、初始分针指向偶数。分针走一圈为60分钟，走奇数圈，即走了奇数×60分钟。60是偶数，奇数×偶数=偶数，所以经过的时间是偶数分钟。偶数分钟分钟数变化为偶数，所以结束时的分钟数与