8.1与三角形有关的边和角第3课时 教案 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

8.1与三角形有关的边和角第3课时教案2024—2025学年华东师大版数学七年级下册一、教材分析本节课是华东师大版七年级下册第八章“三角形”第一节第三课时内容，衔接前两课时三角形的概念、边的关系及内角和定理，聚焦三角形外角的定义、性质及外角和定理，是对三角形角的关系的延伸与拓展，也是后续学习多边形内角和、全等三角形、相似三角形的重要铺垫。结合2022版数学新课标要求，本节课立足“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”三大核心素养，引导学生通过观察、探究、推理，发现三角形外角的规律，培养学生的逻辑推理能力、几何直观能力，让学生体会几何知识的连贯性和严谨性，感受数学与生活的联系，激发学生对几何学习的兴趣。教材编排遵循七年级学生从具体到抽象、从感性到理性的认知规律，通过直观感知、动手操作、合作探究等活动，降低几何推理的难度，注重知识的生成过程，同时渗透转化、分类讨论等数学思想，符合新课标“以学生为主体，立足核心素养培育”的教学理念。二、教学目标结合2022版新课标核心素养要求，本节课教学目标分为学习理解、应用实践、迁移创新三个层次，层层递进，兼顾知识掌握、能力培养和素养提升：（一）学习理解1.能准确说出三角形外角的定义，识别一个三角形的外角，区分三角形内角与外角的异同；2.理解三角形外角的两条核心性质，明确外角与相邻内角、不相邻内角的数量关系；3.掌握三角形外角和定理，知晓三角形外角和的固定值及推导逻辑。（二）应用实践1.能运用三角形外角的性质，快速求解三角形未知角的度数，解决简单的角度计算问题；2.能结合三角形内角和定理与外角性质，进行简单的角度推理，规范书写推理过程；3.能通过动手操作、小组合作，验证三角形外角和定理，提升动手实践和合作交流能力。（三）迁移创新1.能灵活运用三角形外角性质和外角和定理，解决复杂的角度计算与推理问题；2.能将三角形外角的知识与生活中的实际场景结合，解决相关实际问题，体会数学的应用价值；3.渗透转化、分类讨论的数学思想，培养学生的逻辑思维能力和创新意识，能自主探究类似几何图形的角度规律。三、重点难点（一）教学重点1.三角形外角的定义及识别方法；2.三角形外角的两条性质的理解与掌握；3.三角形外角和定理的推导与应用。（二）教学难点1.三角形外角性质的推导过程，尤其是外角与不相邻两个内角关系的逻辑推理；2.灵活运用三角形内角和定理、外角性质及外角和定理，解决复杂的角度推理与计算问题；3.引导学生主动探究几何规律，规范推理过程，培养学生的逻辑思维能力，落实新课标核心素养要求。四、课堂导入本节课采用“生活情境+复习衔接”的导入方式，贴合学生认知，激发探究兴趣，同时衔接前序知识，为新知学习铺垫，时长约5分钟。1.生活情境提问：展示生活中的三角形物体（如自行车车架、三角尺、屋顶框架），引导学生观察：“这些三角形物体的角，除了我们之前学过的三个内角，还有哪些我们没注意到的角？”引导学生观察三角形的一边延长后形成的新角，引出本节课要探究的核心内容——三角形的外角。2.复习衔接：提问学生“我们上节课学习了三角形的内角和定理，谁能说说三角形内角和是多少度？如何推导的？”邀请学生发言，回顾内角和定理的推导过程（剪拼、推理），接着追问：“如果我们把三角形的一条边延长，得到的这个新角，和三角形的内角之间有什么关系呢？它有什么特殊的性质？”3.导入新知：通过学生的回答和观察，总结：“我们把三角形一边延长后，与另一边组成的角，就是三角形的外角，今天我们就一起来探究三角形外角的定义、性质和相关规律，落实用数学的眼光观察、思考几何图形的素养要求。”五、探究新知探究新知环节围绕三个核心知识点展开，遵循“直观感知—动手操作—合作探究—推理验证—总结归纳”的流程，凸显“教-学-评”一体化，每一步探究都配套评价活动，及时反馈学生学习情况，时长约25分钟，贴合七年级学生的认知节奏。（一）探究一：三角形外角的定义1.动手操作：让学生拿出准备好的三角形纸片，任意选择一条边，将其延长，观察延长后形成的新角，提问：“这个新角是三角形的内角吗？它的顶点和边与三角形的顶点、边有什么关系？”2.合作讨论：组织学生小组讨论（2-3人一组），结合操作过程，尝试给三角形的外角下一个定义，小组代表发言，分享讨论结果。3.总结定义：结合学生的发言，教师补充完善，给出明确的三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。同时强调两个关键点：①顶点在三角形的一个顶点上；②一边是三角形的一条边，另一边是三角形某条边的延长线。4.识别练习：展示多个三角形图形（包含内角、外角，部分图形有干扰角），让学生快速识别出其中的三角形外角，并说明理由，教师巡视指导，及时评价学生的识别情况，纠正错误认知，重点强调“外角是一边延长后与另一边组成的角，不是任意延长线组成的角”。5.补充说明：引导学生观察，一个三角形有几个外角？通过动手操作发现，一个三角形有6个外角，其中两两相等，进一步理解外角的特征，为后续外角和定理的探究铺垫。（二）探究二：三角形外角的性质结合前序学习的三角形内角和定理，引导学生探究外角与内角的关系，落实数学思维的培养，分两步展开：1.探究外角与相邻内角的关系：展示一个三角形，延长其中一条边，标出外角和与其相邻的内角，提问：“这个外角和它相邻的内角，组成的是什么角？它们的和是多少度？”引导学生观察发现，外角与相邻内角组成一个平角，因此得出第一条性质：三角形的一个外角与它相邻的内角互补（和为180°）。即时练习：给出一个三角形的一个内角为60°，求其相邻的外角的度数，学生快速作答，教师评价，巩固第一条性质的理解。2.探究外角与不相邻内角的关系：提问：“三角形的外角，除了与相邻内角互补，和另外两个不相邻的内角之间有什么关系呢？”引导学生结合内角和定理进行推理：已知：在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角，求证：∠ACD=∠A+∠B。引导学生思考：因为∠ACB+∠ACD=180°（平角定义），且∠ACB+∠A+∠B=180°（三角形内角和定理），所以∠ACD=180°-∠ACB，∠A+∠B=180°-∠ACB，因此∠ACD=∠A+∠B。动手验证：让学生用剪拼的方法，将三角形的两个不相邻内角剪下来，拼到外角的位置，观察是否能与外角完全重合，进一步验证推理结果的正确性，培养学生的动手实践能力和几何直观素养。总结第二条性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。延伸思考：由这条性质，我们还能得出什么结论？引导学生发现：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角（因为两个内角的和一定大于其中一个单独的内角），补充第三条延伸性质，完善知识体系。即时评价：给出一个三角形的两个不相邻内角分别为30°和40°，让学生求其对应的外角度数，同时说明用到的性质，评价学生的推理和应用能力，及时纠正错误。（三）探究三：三角形外角和定理结合前面探究的外角特征，引导学生探究三角形外角和的规律，落实数学推理和语言表达素养：1.提出问题：“一个三角形有6个外角，两两相等，我们只取每个顶点处的一个外角，这三个外角的和是多少度呢？”引导学生大胆猜想，说出自己的猜想结果。2.合作探究：组织学生小组合作，采用两种方法探究三角形外角和：方法一：动手测量，让学生测量自己准备的三角形的三个外角的度数，然后相加，记录结果，小组内交流，观察是否有共同规律。方法二：推理验证，引导学生结合三角形内角和定理和外角性质，推导三个外角的和：设△ABC的三个外角分别为∠1、∠2、∠3，对应的相邻内角分别为∠A、∠B、∠C，则∠1+∠A=180°，∠2+∠B=180°，∠3+∠C=180°，将三式相加，得∠1+∠2+∠3+（∠A+∠B+∠C）=540°，又因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠1+∠2+∠3=360°。3.总结定理：结合学生的测量结果和推理过程，总结三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°（即每个顶点处取一个外角，三个外角的和为360°）。4.评价反馈：让学生自主尝试用另一种方法推导外角和定理（如利用平行线的性质），邀请学生展示推导过程，评价学生的推理能力和创新思维，鼓励学生用不同的方法探究几何规律，落实新课标迁移创新的素养要求。探究新知总结：引导学生自主梳理本节课探究的三个核心知识点（外角定义、外角性质、外角和定理），用自己的语言表达出来，教师补充完善，形成完整的知识框架，同时强调推理过程的规范性，培养学生的数学语言表达能力。六、课堂练习课堂练习遵循“分层设计、贴合重点、兼顾评改”的原则，分为基础题、提升题、拓展题三个层次，覆盖本节课所有知识点，同时结合“教-学-评”一体化理念，每道题配套评价要点，及时反馈学生学习情况，时长约10分钟，让不同层次的学生都能获得提升。（一）基础题（巩固知识点，全员必做）1.识别下列图形中的三角形外角，说明理由；2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，求与∠C相邻的外角的度数（用到外角性质一或内角和定理）；3.求一个等边三角形的每个外角的度数（用到外角和定理）。评价要点：能准确识别外角，熟练运用外角性质和外角和定理解决简单计算，正确率达到90%以上，落实学习理解层次的目标。（二）提升题（强化应用，小组讨论完成）1.在△ABC中，∠ACD是外角，∠A=35°，∠ACD=85°，求∠B和∠ACB的度数；2.三角形的一个外角是120°，与它不相邻的两个内角的比是1:2，求这两个内角的度数。评价要点：能灵活运用外角性质和内角和定理，规范书写简单的推理过程，小组合作高效，落实应用实践层次的目标。（三）拓展题（迁移创新，自主尝试完成）1.如图，在△ABC中，∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线相交于点D，若∠A=60°，求∠D的度数；2.结合生活中的实际场景，举例说明三角形外角性质的应用，并尝试解决对应的简单问题。评价要点：能灵活运用外角性质和外角和定理解决复杂推理问题，能结合生活实际迁移知识，落实迁移创新层次的目标。练习评改：基础题由学生自主核对答案，教师针对共性错误进行讲解；提升题由小组代表展示解题过程，教师点评，规范推理步骤；拓展题邀请学生分享思路和答案，教师补充完善，鼓励学生大胆创新，同时记录学生的易错点，为后续教学调整铺垫。七、课堂总结课堂总结采用“学生自主梳理+教师补充提升”的方式，贴合“教-学-评”一体化理念，回顾本节课知识点，梳理知识框架，强化核心素养落实，时长约3分钟。1.学生自主梳理：邀请2-3名学生发言，分享本节课学到的知识点、探究过程中的收获，以及自己存在的疑问，鼓励学生用自己的语言表达对三角形外角的理解。2.教师补充提升：结合学生的发言，梳理本节课的核心知识框架，强调重点难点：（1）一个定义：三角形外角的定义（关键点：顶点在三角形顶点，一边是三角形的边，另一边是边的延长线）；（2）两条核心性质：外角与相邻内角互补；外角等于不相邻两个内角的和（延伸：外角大于不相邻任何一个内角）；（3）一个定理：三角形外角和等于360°；（4）一种思想：转化思想（将外角问题转化为内角问题，利用内角和定理解决）。3.素养总结：强调本节课通过观察、探究、推理，落实了“用数学的眼光观察几何图形、用数学的思维推理几何规律、用数学的语言表达几何结论”的核心素养，鼓励学生在后续几何学习中，继续保持主动探究的习惯，规范推理过程。八、课后任务课后任务遵循“分层布置、贴合重点、兼顾巩固与提升”的原则，结合新课标要求，分为基础任务、提升任务和拓展任务，兼顾不同层次学生的需求，同时衔接课堂知识，强化知识应用，落实核心素养。（一）基础任务（全员必做，巩固课堂知识点）1.教材对应习题，完成三角形外角识别、外角性质及外角和定理的基础计算题，规范书写解题步骤；2.动手操作：画出一个任意三角形，标出它的所有外角，测量每个外角的度数，验证外角和定理，记录测量过程和结果。（二）提升任务（选做，强化知识应用）1.整理本节课的易错点，比如外角识别错误、外角性质应用错误等，结合具体例题，分析错误原因；2.解决2道结合内角和定理与外角性质的推理题，规范书写推理过程，注明每一步用到的知识点。（三）拓展任务（选做，落实迁移创新素养）1.探究四边形的外角和，尝试用推导三角形外角和的方法，推导四边形的外角和，记录探究过程和结论；2.观察生活中的三角形物体，找出其中的外角，结合本节课所学知识，计算相关角度，撰写简短的探究报告（100字左右）。任务要求：基础任务按时完成，提升任务和拓展任务根据自身情况选择完成，鼓励学生主动探究，大胆尝试，同时注重解题步骤的规范性，下节课分享课后任务的完成情况和探究收获。九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、突出重点、条理清晰”的原则，贴合教学过程，便于学生回顾知识点，同时突出核心素养，排版规范美观：8.1与三角形有关的边和角（第3课时）一、三角形外角的定义一边与另一边的延长线组成的角（关键点：顶点、边）（配图：简单三角形，标出一个外角，标注顶点和边）二、三角形外角的性质1.与相邻内角互补（∠1+∠A=180°）2.等于不相邻两个内角的和（∠1=∠B+∠C）（延伸：∠1>∠B，∠1>∠C）三、三角形外角和定理外角和=360°（推导：平角和-内角和）四、核心思想：转化思想五、核心素养：观察、思考、表达（数学眼光、思维、语言）（右侧留白：记录课堂易错点和学生典型解题思路）十、教学反思本节课围绕三角形外角的定义、性质、外角和定理三个核心知识点，结合2022版数学新课标核心素养要求，以“教-学-评”一体化为核心，设计了直观感知、动手操作、合作探究、分层练习等教学活动，贴合七年级学生的认知规律，力求落实“用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达”的素养目标，同时注重知识的生成过程，去除传统教案的机械性，凸显学生的主体地位。本节课的亮点的在于：一是导入环节贴合生活，衔接前序知识，能快速激发学生的探究兴趣，同时自然引出新知；二是探究新知环节层层递进，每一个知识点都通过学生动手操作、合作讨论、推理验证得出，注重学生的参与度，同时配套即时评价，及时反馈学生学习情况，落实“教-学-评”一体化；三是课堂练习和课后任务分层设计，兼