2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第10讲 抛物线（原卷版）

第10讲抛物线

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：抛物线的定义

1、定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点.

3、准线：直线l叫做抛物线的准线.

4、集合表示：PMMFd,d为点M到准线l的距离.

5、注意事项：

（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．

（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这

也是利用抛物线定义解题的实质．

知识点2：抛物线的标准方程

1、推导过程

如图，以过F且垂直于l的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy．

pp

设KFp（p0），那么焦点F的坐标为(,0)，准线l的方程为x．

22

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合

P{M‖MF∣d}

2

p2p

|MF|xy，dx

22

2

p2p

xyx

22

将上式两边平方并化简，得y22px(p0)．①

p

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是(,0)它的准线方程是

2

p

x．

2

2、抛物线标准方程的四种形式：

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式

标准方程图形焦点坐标准线方程

pp

y22px(p0),0x

22

pp

y22px(p0),0x

22

pp

x22py(p0)0,y

22

pp

x22py(p0)0,y

22

知识点诠释：

①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；

②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如

抛物线x220y的一次项为20y，故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下）

③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线x220y的一次项20y的

系数为20，故其焦点坐标是(0,5)．

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，

首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），

然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．

⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程

的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要

遗漏某一种情况．

知识点3：抛物线的几何性质

标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

yy

PP

MM

图象

OFxFOx

PFPMPFPMPFPMPFPM

焦点pppp

F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)

2222

准线方程pppp

xxyy

2222

范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0

顶点原点(0，0)

对称轴x轴y轴

通径2p通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．

p刻画了抛物线开口的大小，p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄．

设为抛物线上一点

P(x0，y0)

焦半径pppp

PFxPFxPFyPFy

02020202

设过焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点

焦点弦

ABx1x2pAB(x1x2)pABy1y2pAB(y1y2)p

离心率e1e1e1e1

知识点4：方法技巧

由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法

1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参

数p，从而得焦点坐标与准线方程，要注意p0；

2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。

直线与抛物线的位置关系

1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：

相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.

2、以抛物线y22px(p0)与直线的位置关系为例：

（1）直线的斜率k不存在，设直线方程为xa，

若a0，直线与抛物线有两个交点；

若a0，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；

若a0，直线与抛物线没有交点.

（2）直线的斜率k存在.

设直线l:ykxb，抛物线y22px(p0)，

ykxb

直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，

2

y2px

即二次方程k2x22(kbp)xb20（或k2y22py2bp0）解的个数.

①若k0，

则当0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；

当0时，直线与抛物线相切，有个公共点；

当0时，直线与抛物线相离，无公共点.

②若k0，则直线yb与抛物线y22px(p0)相交，有一个公共点.

知识点5：二级结论

1、点P（，）与抛物线（＞）的关系

2

（）在抛0物线0内（含焦点）2．

1P���=2�y0�2�px00

（）在抛物线上2．

2Py02px0

（）在抛物线外2．

3Py02px0

y

MA

α

OFx

NB

2、p（p＞0）的几何意义

p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大．

3、焦点弦

若为抛物线2的焦点弦，，，则有

ABy2px(p0)A(x1,y1)B(x2,y2)

以下结论：

p2

（1）xx．（2）yyp2．

12412

（）焦点弦长公式：，，当时，焦点弦取最小值，即所有

31ABx1x2px1x22x1x2px1x22p

焦点弦中通径最短，其长度为2p．

2p

焦点弦长公式2：AB（为直线AB与对称轴的夹角）．

sin2

p2

（）AOB的面积公式：S（为直线AB与对称轴的夹角）．

4AOB2sin

（5）MFN90；

（6）以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或者BF为直径的圆与y轴相切；

（7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上；

（8）A，O，N三点共线，B，O，M三点共线．

4、抛物线中的点差法

已知直线与2交于两点，中点

ykxmy2px(p0)A(x1，y1)，B(x2，y2)M(x0，y0)

2①

y12px1

将A，B两点代入抛物线方程，，

2②

y22px2

yy2pp

①②12，即k．

x1x2y1y2y0

结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：p；

M(x0，y0)kk

y0

p

结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）；

P(x0，y0)y0yp(xx0)kP切

y0

结论③：过抛物线外一点P(x0，y0)引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：y0yp(xx0)．

1

结论④弦长公式：AB1k2xx1yy(kk0)

12k212AB

结论直线的方程为p

⑤AByy0(xx0)

y0

y

结论⑥线段AB的垂直平分线方程为yy0(xx)

0p0

【题型1抛物线的定义】

例1（22-23高二上·上海闵行·期末）A是定直线外的一定点，则过点A且与定直线相切的圆的圆心轨迹是

（）

A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线

例2（24-25高二·上海·课堂例题）已知点M2,2，直线l:xy10，若动点P到l的距离等于PM，则

点P的轨迹是．

变式1（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线y28x的焦点为F，点M是该抛物线上一点，且MF4，

设O是坐标原点，则线段OM的长为．

变式2（23-24高二下·上海·月考）拋物线x212y的焦点到其准线的距离是．

变式3（24-25高二上·上海·课后作业）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆

A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两条抛物线的焦点到对应准线的距离分别

112

2

为p1、p2.给出下面四个关系式：①d1；②p1p22d；③p1p2d；④.其中正确的关系

p1p2d

式为.

【题型2抛物线的标准方程】

例3（24-25高二下·上海崇明·期末）方程(x1)2y2|x1|可以化简为（）

A．y22xB．y24xC．x22yD．x24y

2

2x

例4（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：y2pxp0的焦点与椭圆y21的右焦点重合，

2

顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为．

变式1（24-25高二·上海·随堂练习）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是．

2

变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：y2pxp0的焦点为F，准线l上有两点A、B，

若FAB为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是．

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米．水面升

高1米后，水面宽是多少米？

【题型3抛物线几何性质的简单应用】

例5（24-25高二上·上海·期中）若抛物线C:y22pxp0的焦点在直线x2y20上，则p等于（）

A．8B．4C．2D．1

2

例6（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点P、Q分别为抛物线C：x22pyp1与圆M：x2yp1

上的动点，且PQ的最小值为2，则抛物线C的焦点到准线的距离为．

变式1（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线y216x，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：

22

x6y24上，则PQPF的最小值为.

变式2（24-25高二下·上海·期末）已知点A的坐标为3,2，点F为抛物线y22x的焦点，若点P在此抛物

线上移动，求PAPF取得最小值时点P的坐标是．

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知点A的坐标为3,2，点F为抛物线y22x的焦点，若点P在此

抛物线上移动，求PAPF的最小值，并求此时点P的坐标．

【题型4直线与抛物线】

例7（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线方程y24x，过点P0,2的直线与抛物线只有一个交点，这样

的直线有（）条

A．0B．1C．2D．3

例8（22-23高二上·上海浦东新·月考）过定点P0,1且与抛物线y28x有且仅有一个公共点的直线有（）

A．1条B．2条C．3条D．4条

变式1（24-25高二上·上海浦东新·月考）坐标平面上一点P到点A(1,0)，Ba,2及到直线x1的距离都

相等．如果这样的点P有且只有两个，那么实数a的取值范围是．

变式2（23-24高二上·上海青浦·月考）已知直线ykx4与抛物线y28x有且只有一个公共点，则实数k

的值是．

变式3（25-26高二上·上海·期中）求过定点M0,2且与抛物线y24x只有一个公共点的直线的方程．

【题型5抛物线有关的最值，定值问题及综合应用】

例9（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知抛物线对称轴为x轴．若抛物线上的动点到直线3x4y120的

最短距离为1，则该抛物线的标准方程为．

例10（22-23高二上·上海浦东新·月考）若直线l过抛物线y22x的焦点，交抛物线于M,N两点，则

11

．

FMFN

例11（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线T:y22px的焦点为F1,0，

A、B是抛物线Γ上两个不同的点．

(1)求抛物线Γ的方程；

(2)若直线AB斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；

(3)设直线OA、OB的斜率为kOA、kOB，若kOAkOB2，证明：直线AB过定点，并求该定点的坐标．

1

变式1（22-23高二下·上海徐汇·期中）求抛物线C：y=x2上的点到直线l：yx1的最小距离．

2

变式2（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线l：ykxm与抛物线Γ：y28x交于点A，B．

(1)若直线l的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线l的方程；

(2)若OAOB0，且km0，证明：直线l过定点．

变式3（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点F0,1，直线l:y1.P是平面上的

动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且满足QPQFFPFQ.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)记点P的轨迹为曲线C，过点F作直线m，与曲线C交于A,B两点，求证：OAOB为定值.

一、填空题

1．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：y24x的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，

且A、B中点的横坐标为2，则AFBF.

2

2．（24-25高二下·上海·期中）抛物线y2x上一点P(x0,y0)到准线的距离与到x轴的距离相等，则

x0.

3．（22-23高二下·上海虹口·月考）已知点P在抛物线y24x上，则点P到直线3x4y150的距离的最

小值是．

4．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线yx4被曲线y2x2截得的线段的长是．

5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，

垂足为A.若FA在x轴正方向上的投影为23，则△PAF的面积为.

6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点0,2的距离比它到直线y1的距离大1，则点P的轨迹方

程为.

7．（24-25高二下·上海·月考）抛物线y2x上动点P和圆M:(x3)2y21上动点Q间的距离PQ的最小值

是．

8．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线x22pyp0的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M

为其准线上的动点．若FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为．

2

9．（23-24高二上·上海青浦·期末）若集合Ax,yy1xy31y0，集合Bx,yy24x，

则AB．

2

10．（24-25高二下·上海徐汇·期中）过抛物线y2pxp0的焦点F作直线m交抛物线于A、B两点，若

A、B的横坐标之和为5，则直线m最多有条．

221

11．（23-24高二上·上海·月考）设F为抛物线y24x的焦点，若点P在抛物线上移动，点Q在x1y

9

上移动，则PQ的最小值为．

2

12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线x28y，圆C：x2ymr2m0．若m3，则圆

心C到抛物线上任意一点距离的最小值是．

二、单选题

13．（25-26高二上·上海·期中）抛物线y=x2的准线方程为（）

1111

A．xB．xC．yD．y

4444

2

14．（24-25高二上·上海·月考）过抛物线y2pxp0的焦点作一条直线交抛物线于Ax1,y1、Bx2,y2，

yy

则12为（）

x1x2

A．4B．4C．pD．p2

2

15．（24-25高二下·上海·期中）若曲线yx1与直线ykx2没有公共点，则实数k的取值范围为

（）

2525

A．,,

22

2525

B．,,

22

2525

C．,,

22

2525

D．,

22

16．（24-25高二下·上海·单元测试）设n是直线l的法向量，A、B为两个定点，Al，Bl，P为一动点，

PAn

若点P满足：PB，则动点P的轨迹是（）．

n

A．直线B