（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第7章 第03讲 数列的通项公式 讲义+随堂检测（教师版）

第③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．题型二：叠加法【例2】若，则（

）A．55B．56C．45D．46【答案】D【解析】由，得，，，，，累加得，，当时，上式成立，则，所以.故选：D【变式2-1】在数列中，，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，故可得，，…，，及累加可得，则，所以，则．故选：B．【变式2-2】已知数列满足，，则的通项为(

)A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，则当时，，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合题意，所以.故选：D.【变式2-3】已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，由累加法可得：，所以（），又因为，所以（），当时，，符合，所以（），所以，所以．故选：A.【解题方法总结】数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和题型三：叠乘法【例3】已知数列满足，，则（

）A．2023B．2024C．4045D．4047【答案】C【解析】，，即，可得，.故选：C.【变式3-1】数列中，，（为正整数），则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A【变式3-2】已知，，则数列的通项公式是（

）A．B．C．D．n【答案】D【解析】由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D．【变式3-3】已知数列满足，(，)，则数列的通项（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】数列满足，，整理得，，，，所有的项相乘得：，整理得：，故选：．【解题方法总结】数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式题型四：待定系数法【例4】已知数列满足：求.【解析】因为所以两边同时加上得：，所以，当时，故，故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.于是，【变式4-1】已知数列是首项为.(1)求通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】（1），设，即，即，解得，，故是首项为，公比为的等比数列.，故.（2），则.【变式4-2】已知数列中，，满足，设为数列的前项和．(1)证明：数列是等比数列；(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以．（2）因为，所以，若对于恒成立，即，可得即对于任意正整数恒成立，所以，令，则，所以，可得，所以，所以的取值范围为．【解题方法总结】形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．题型五：同除以指数【例5】已知数列满足，，求数列的通项公式．【解析】将两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，∴数列的通项公式为．【变式5-1】在数列{}中，求通项公式．【解析】可化为：．又，则数列是首项为，公比是2的等比数列．

∴，则．所以数列{}通项公式为【变式5-2】已知数列满足，，求数列的通项公式．【解析】解法一：因为，设，所以，则，解得，即，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法二：因为，两边同时除以得，所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，所以.【变式5-3】已知数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【解析】解法一：设，整理得，可得，即，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法二：(两边同除以)两边同时除以得：，整理得，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，当时，则，故，显然当时，符合上式，故.故答案为：.【解题方法总结】形如，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．题型六：取倒数法【例6】在数列中，求．【解析】由已知关系式得,所以数列是以为首项，公比为3得等比数列，故，所以【变式6-1】设，数列满足，，求数列的通项公式．【解析】，，两边取倒数得到，令，则，当时，，，，数列是首项为，公差为的等差数列．，，．当时，，则，数列是以为首项，为公比的等比数列．，，，，，【变式6-2】已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列的前n项和.【解析】（1）因为，，故，所以，整理得．

又，，，所以为定值，

故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，得.（2）因为，所以．【解题方法总结】对于，取倒数得．当时，数列是等差数列；当时，令，则，可用待定系数法求解．题型七：取对数法【例7】已知数列满足，.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和，求证：.【解析】（1）因为，所以，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以；（2）由，得，则，所以，所以，所以，因为，所以，所以.【变式7-1】设正项数列满足，，求数列的通项公式．【解析】对任意的，，因为，则，所以，，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，解得.【解题方法总结】形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题【例8】数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是．【答案】【解析】，，且，，是以为首项，为公比的等比数列．，．时，，且不满足上式，所以．故答案为：.【变式8-1】已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为.【答案】【解析】在数列中，又，且，两式相除得，，∴数列是以1为首项，公差为1的等差数列，则，∴，当，，当时，，也满足上式，∴数列的通项公式为，则，数列的前2023项和为.故答案为：【变式8-2】已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）∵，∴当时，，解得.当时，，即，∵，∴，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.（2）因为，所以∴当时，，∴，∴，∴实数的取值范围为.【变式8-3】已知数列，为数列的前项和，且满足，．(1)求的通项公式；(2)证明：．【解析】（1）对任意的，当时，，两式相减．整理得，当时，，也满足，从而．（2）证明：证法一：因为，所以，．从而；证法二：因为，所以，，证毕.【解题方法总结】对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．题型九：因式分解型求通项【例9】已知正项数列满足，设．（1）求，；（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（3）的通项公式，并求其前项和为．【解析】解：（1），，，可得，则，数列为首项为1，公比为2的等比数列，可得；，，；（2）数列为等差数列，理由：，则数列为首项为0，公差为1的等差数列；（3），前项和为．【变式9-1】已知正项数列满足且（Ⅰ）证明数列为等差数列；（Ⅱ）若记，求数列的前项和．【解析】证明：由，变形得：，由于为正项数列，，利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，从而．【变式9-2】已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求．【解析】解：（1），当时，，，解得．又，，，当时，，当时上式也成立，．（2）数列满足，且．．，当为偶数时，数列的前项和为．当为奇数时，数列的前项和为．第03讲数列的通项公式随堂检测1．已知正项数列的前n项和为，满足，则（

）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】B【解析】由题意，，，两式相减，得，．，．当时，，，是首项为1，公差为1的等差数列．．故选：B2．已知数列的前n项和是，则（

）A．9B．16C．31D．33【答案】B【解析】设数列的前n项和为，则，则.故选:B.3．已知数列的前n项和为，若，，（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，所以，所以，因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，所以，所以．故选：D4．已知数列的前项和为，若满足，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，，得，当时，，，，，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，.故选：C5．已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（

）A．B．16C．D．32【答案】D【解析】，数列是首项为、公比为2的等比数列，，解得或（舍），，即恒成立，，当且仅当即时取等号，.故选：.6．在数列中，，则的前项和的最大值为（

）A．64B．53C．42D．25【答案】B【解析】由,得,令,所以,则,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即,即,由,将以上个等式两边相加得,所以,经检验满足上式，故当时,,即单调递增,当时,,即单调递减,因为,所以的前项和的最大值为，故选：B7．已知数列满足，，则数列的通项公式为．【答案】【解析】，两边同除得：，所以，即，化简得，∵，∴．故答案为：.8．数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【解析】由题意…①，，…②，②①得：，则当时，，当，不适合上式.

；故答案为：.9.数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明.【解析】（1）因为，即，所以当时，，将以上各式相加，得，则，当时也符合上式，故.（2）由题意.所以10．已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)分别求出数列的通项公式；(2)设数列，求出数