重难点01 三角形热考模型（复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第四章三角形重难点01三角形热考模型目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 24固·重难考点拓·创新能力一、三角形双角平分线模型核心特征：三角形中两个内角（或内角与外角）的角平分线相交，形成特定角度关系。考法：1）求角平分线夹角的度数（如△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC与∠A的关系：）；2）结合三角形内角和，推导角的数量关系。二、三角形面积比问题核心特征：通过三角形的底、高关系，分析不同三角形的面积比例。考法：1）同高三角形：面积比=底边长的比（如△ABC中，D是BC中点，则）；同底三角形：面积比=高的比；2)不规则三角形：用“割补法”拆分后，结合底/高比求面积比。三、双腰上的高求定值核心特征：等腰三角形中，两腰上的高存在固定数量关系（与腰长相关）。考法：1)已知等腰△ABC（AB=AC），腰AB、AC上的高分别为h1、h2，证明AB·h1=AC·h2（面积定值推导）；2)结合三角形面积公式，求高的长度或腰长。四、等边三角形类弦图模型核心特征：以等边三角形的边为基础，构造类似“弦图”的对称图形（多为等边三角形的拼接/拆分）。考法：1)求拼接后图形的边长、周长；2)分析图形的面积关系（如4个等边三角形拼成大等边三角形，面积比为1:4）。五、A字模型（不含相似）核心特征：三角形内一条线段平行于底边，将三角形分割为“小三角形+梯形”（仅从图形结构定义，不涉及相似）。考法：1)求分割后图形的周长、边长关系；2)结合三角形面积公式，求小三角形与梯形的面积。六、8字模型（不含相似）核心特征：两条线段相交，形成“8”字形的对顶三角形（仅从图形结构定义，不涉及相似）。考法：1)利用对顶角相等、三角形内角和，推导角的关系；2)求对顶三角形的周长、边长之和。七、飞镖模型核心特征：由三角形的一个顶点向外延伸线段，形成“飞镖”状的不规则图形（由多个三角形拼接而成）。考法：1)利用三角形内角和，推导飞镖图形的内角关系（如飞镖形ABCD中，∠BDC=∠A+∠B+∠C）；2)求飞镖图形的周长、面积。八、老鹰抓小鸡模型核心特征：三角形一边延长，形成“老鹰抓小鸡”状的外角结构（由原三角形与外角三角形组成）。考法：1)利用三角形外角性质，推导角的关系（如外角=不相邻两内角之和）；2)求延长线相关的线段长度、角度。九、三角形翻折模型核心特征：三角形沿某条线段翻折，翻折前后线段、角对应相等（仅从翻折变换定义，不涉及全等）。考法：1)求翻折后线段的长度、角的度数；2)求翻折后重叠部分的周长、面积。题型01A字模型1．（2023·广东广州·一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2=度．2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（）A．210° B．110° C．150° D．100°3．（2025·宁夏固原·三模）如图，直线l与正五边形ABCDE的边BC，DE分别相交于点M、N，则∠1+∠2的度数为°．4．（2021九年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°5．（2021九年级·全国·专题练习）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证∠DBC+∠ECB=180°+∠A．题型028字模型1．（2020·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中，∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°，则∠A+∠B的值为（

）A．108° B．72° C．54° D．36°2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则∠A+∠D=∠B+∠C，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，若∠B=30°，∠D=40°，则∠P的度数是．

3．【模型探究】（1）如图①，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，则有∠A+∠B=∠C+∠D．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下：甲同学证明：∵∠A+∠B+∠AOB=180°（①______），∴∠A+∠B=180°−∠AOB同理可得，∠C+∠D=180°−∠COD，又∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．乙同学证明：∵∠AOC=∠A+∠B（②______），∠AOC=∠C+∠D，∴∠A+∠B=∠C+∠D．甲同学证明过程的理论依据是：①______；乙同学证明过程的理论依据是：②______．【模型应用】（2）如图②，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．①若∠B=30°，∠D=20°，求∠P的度数．补全下面求解过程．解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由“八字”模型知，求解过程缺失②若∠B=α，∠D=β，直接写出∠P=______（用含有α和β的代数式表示）．【模型拓展】（3）如图③，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AP、CP分别为∠BAD、∠BCD的三等分线，∠PAD=13∠BAD，∠PCB=13∠BCD，若∠B=25°，∠D=38°，4．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．题型03飞镖模型1．【问题呈现】如图①，四边形ABCD形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即∠BDC=∠A+∠B+∠C．【探究推理】方法一：如图②，连结BC．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+∠1+∠2+∠3+∠4=180°．又∵在△BDC中，∠2+∠4+∠BDC=180°，∴∠2+∠4=180°−∠BDC，∴∠A+∠1+∠3+180°−∠BDC=180°，∴∠BDC=∠A+∠1+∠3．即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．方法二：如图③，连结AD并延长至F．∵∠3与∠4分别为△ABD和△ACD的外角，…（1）“方法一”主要依据的数学定理是；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程．【迁移应用】（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD=110°，则图中∠E应2．（25-26八年级上·河南安阳·月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务：如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证∠ADB=∠A+∠B+∠C，在探究∠A，∠B，∠C与∠ADB之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法．方法一：如图②，连接AB．在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C=∠CAD+∠CBD+∠C方法二：如图③，连接CD并延长至点F．解答下列问题：(1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程；(2)如图①，当∠A=30°，∠B=40°，∠ADB=120°时，∠C的度数为_________．(3)拓展：如图④，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．3．（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．【解决问题】（1）如图1，探究∠ABC∠ABC<180°与∠A，∠D，∠C小明得出的结论是∠ABC=∠A+∠D+∠C，他的证明过程如下：证明：连接DB，并延长到点P．……请你将小明的证明过程补充完整．【类比探究】（2）如图2，∠A+∠C+∠E=90°，∠B+∠D=150°，求∠AFE的度数．【拓展延伸】（3）如图3，AM∥EN，∠B+∠D=150°，∠C+∠E=50°，则∠MAB的度数为．4．（20-21八年级上·安徽亳州·月考）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．（1）求证：∠ADC=∠DAB+∠DCB+∠ABC；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若∠EDF=120°，求∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度数．题型04三角形翻折模型1．（2024·山东德州·一模）将△ABC按如图所翻折，DE为折痕，若∠A+∠B=130°，则∠1+∠2=．2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF交于点F．若将△ABC沿DE翻折，使得点A与点F重合，则（

）A．∠A=∠1+∠2 B．∠3=90°+C．∠A=180°−∠1+∠2 D．3．（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究：在△ABC中，已知∠ABC=18°，∠C>∠B．(1)如图1，若D为BC上一点．连接AD，将△ABD沿着AD进行翻折后得到△AB1D，若∠ADC=47°(2)如图2，将△BEF沿EF翻折得到△B1EF，探究∠1(3)如图3，若D为直线BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD进行翻折后得到△AB1D，连接BB1．若△BD4．（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．独立思考：（1）如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置，则∠A与∠1+∠2之间的数量关系为深入探究：（2）如图②，若点A'落在四边形BCDE的边CD下方时，试猜想此时∠A与∠1，∠2结论运用：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，E，F分别是AB，CD边上的一点，沿EF将四边形ABCD折叠，点A的对应点G恰好落在BC边上，且∠1=75°，∠2=15°．①∠B的度数为；②若BE=22，AD=12AE，求点5．（22-23七年级下·山西临汾·期末）综合与探究一张直角三角形纸片ABC，∠BAC=90°，其中∠ACB=∠ABC=45°，D，E分别是BC，AC边上一点．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点(1)如图1，若C'D∥AB，则∠1=______°，∠2=______°．(2)如图2，若点C'落在直角三角形纸片ABC上，请探究∠1与∠2的数量关系，并说明理由．(3)如图3，若点C'落在直角三角形纸片ABC外，（2）中∠1与∠2的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠1与∠2的数量关系．6．（2025·湖北十堰·三模）（1）如图1，已知，△ABC中，∠A=60°，D，E分别是AB，AC边上的点，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，则∠A'（2）若当（1）中的点A'落在BC边上时，恰好A①△A②求证：DE（3）若（1）中的△ABC为边长为12的等边三角形，点A'落在BC边上（如图3），且A'C=8题型05三角形双角平分线模型1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知△ABC，P是平面内任意一点．(1)如图1，若∠ABC=50°，∠ACB=70°，BP，CP为角平分线．①∠BPC=________度；②将条件“∠ABC=50°，∠ACB=70°”改为“∠BAC=α”，求∠BPC的度数（用含α的式子表示）；(2)如图2，若点P位于△ABC的外部且在∠MAN的内部，连接BP，CP，用∠1，∠2，∠3表示∠BPC；(3)如图3，若∠ABC=45°，∠ACB=75°，AP平分∠BAC交BC于点P，D为射线AB上一点（不与点A，B重合）．①当△APD为钝角三角形时，请直接写出∠ADP度数的取值范围；②当PD⊥AB时，将△APD绕点A逆时针旋转180°，旋转过程中当PD与△ABC的一边平行时，请直接写出旋转的度数．2．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=60°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，∠BPC的度数是_____．（2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？结合图1猜想：∠P与∠A的数量关系是______．【问题探究二】（3）已知：如图2，∠DBC与∠ECB分别是△ABC的两个外角，且∠DBC+∠ECB=210°，则∠A=______．（4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？结合图2猜想：∠DBC+∠ECB与∠A的数量关系是______．【拓展与应用】（5）如图3，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β，则∠F=_____．（用含α，β的式子表示）（6）如图4，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，则∠BIC=_____．3．（24-25八年级上·山东济南·期末）【提出问题】小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，CE平分∠ACB，BE平分外角∠ABD．请猜想∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】（1）小东阅读题目后，没有任何思路去发现∠E与∠A之间的数量关系，同桌小明提醒小东可以先尝试代入一些∠A的特殊度数求出∠E的度数，然后就可以根据结果猜想∠E与∠A之间的数量关系．①如果∠A=50°，则∠E的度数为______；如果∠A=140°，则∠E的度数为______．②聪明的同学们，你们能根据上面的结果，猜想出∠E与∠A之间的数量关系吗？请写出你们的猜想并利用图1证明你们的猜想．【应用拓展】（2）小东继续探究，如图2，在四边形ABCD中，CF平分∠BCD，且与四边形ABCD的外角∠ABE的平分线BF交于点F．若∠A=80°，∠D=140°，求∠F的度数．24．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，点D，E分别在BA，BC的延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，若BC=3，则PC的长度为（

）A．4 B．3 C．5 D．5题型06三角形面积比问题1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，小明在刚学完“角平分线的性质”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB、AC两边比值的关系，他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，根据角平分线的性质来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，不下结论），（2）证明：∵∠ABD=90°，∴AB①BD又∵DH⊥AC，AD平分∠BAC，∴②∵S∴S小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．2．（2025·山东青岛·二模）【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．已知，如图1，△ABC中，D为线段BC上任意一点，连接AD，则有：S△ABD【模型应用】(1)如图2，任意四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，连接CE、AF，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形(2)如图3，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形(3)如图4，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形3．（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：(1)【问题发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：ABAC小李的解法如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴．∵S△ABDS△ADC∴ABAC(2)【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：ABAC(3)【直接应用】如图3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，且交BC于D，若BD=15，CD=9，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出AB(4)【拓展应用】如图4所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=9，BC=12，将△ABC先沿∠BAC的平分线AD折叠，B点刚好落在AC上的E点，剪掉重叠部分（即四边形ABDE），再将余下部分（△ABC）沿∠DEC的平分线EF折叠，再剪掉重叠部分（即四边形DEGF），直接写出剩余部分的面积为．4．（23-24九年级上·江西南昌·期中）【教材呈现】以下是人教版八年级下册数学教材第50页的部分内容，如图，直线l1∥l2，【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD=CD,∠ACO=2∠BDO,AB=4，求S△ABC【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF=CB，连接BF交CD于点E，若BF=8EP，S△CEF=102题型07双腰上的高求定值1．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．探究发现：如图1，在△ABC中，AC=BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F．连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC=S△APC+实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC=3，点G是AB边上一点，连结CG．将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG=1时，求PD+PE的值．拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC=BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB=10，AD=2，2．（2025·广西南宁·三模）综合与探究【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法．如例图，在等腰△ABC中，CD是AB边上的高，点P是BC上不与点B，C重合的一个动点，连接AP，过点P分别作AB和AC的垂线，垂足分别为点M，N，即S△ABC∴12∵AB=AC，∴CD=PM+PN．又∵CD是AB边上的高，且为定值，∴PM+PN为定值．【类比探究】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是AD上不与点A，D重合的一个动点，连接PO，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为点E，F，可求PE+PF的值，请写出求解过程．【深入探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作BM和BC的垂线，垂足分别为点E，F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM=13【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB，AC，BC的垂线，垂足分别为点E，D，F．若3．（2025·河南郑州·二模）如图（1），点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究AF+BD+CE与△ABC周长的关系．记l=AF+BD+CE，c=△ABC的周长．(1)从特殊情形入手：①若点P在△ABC的重心，如图（2），此时l与c的关系为_________；②若点P在△ABC的一条高AG上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由．(2)若点P不在△ABC的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程．4．（2025·山西临汾·二模）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．维维亚尼（VincenzoViviani1622−1703）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高．如图1，P是等边△ABC内任意一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC，垂足分别为E，F，G，过点A作AH⊥BC于点H，则PE+PG+PF=AH．证明：如图2，设等边△ABC的边长为a，连接PA，PB，PC，∵S△ABC=12BC⋅AH，思考：如图3，图4，当P是平面上任意一点时，点P到AB，BC，AC三边的距离分别为PE，PF，PG．若等边三角形的高为h，则点P到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系．

任务：(1)请完成该定理证明的剩余部分；(2)请直接写出思考部分PE，PF，PG与h的数量关系；图3中的数量关系：_____，图4中的数量关系：_____．(3)如图5，在四边形BCDE中，∠B=∠C=60°，BC∥DE，BC=6，DE=2，P是BC边上一点，则点P到其他三边的距离之和为_____．

题型08等边三角形类弦图模型1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，AD=BE，连接AE，CD交于点F．若EF=4DF=4，则AC=2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，BD=CE，AD、BE交于点F．(1)如图1，以AD为一边作等边△ADG，连接EG，求证：四边形BDGE是平行四边形；(2)如图2，在（1）的条件下，连接CG，设DG与边AC交于点H，若∠DGE=30°，AB=4，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出图2中面积等于3的三个三角形．3．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、AB上，且CD=AF，BD与CE相交于点P．(1)求证：△ACE≌△CBD；(2)如图2，将△CPD沿直线CP翻折得到对应的△CPM，过C作CG∥AB，交射线PM于点G，PG与BC相交于点F，连接BG．①试判断四边形ABGC的形状，并说明理由；②若四边形ABGC的面积为43，PF=1，求FG38．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连接AD，BE交于点P．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求证：BP⋅BE=BD⋅BC；(3)若AE=1，BP:PE=1:2，求CE的长度．4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC边上，AD=CE，AE与BD相交于点H，将线段EA绕点E顺时针旋转60∘得到线段EG，连接DG(1)如图1，求证：四边形BEGD是平行四边形；(2)如图2，过点G作GF∥AC交BC延长线于点F，请直接写出图2中所有长度等于题型09高+角平分线模型1．（22-23七年级下·河南新乡·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．①操作一：在下图中，用三角尺作BC边上的高AE，垂足为点E，求∠DAE的度数；

②操作二：如图1，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数；

(2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F”其他条件不变，判断∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由；

(3)【拓展应用】如图3、图4在△ABC中，∠B=α，∠C=β，AD是∠BAC的平分线，在直线AD上任取点F，过点F作EF⊥AD与直线BC交于点E，请直接写出∠DEF与α，β之间的数量关系．

3．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，

(1)如图1，若∠B=66°，∠C=30°，求∠DAE；(2)若点F是射线AC上一点，过点F作直线AE的垂线交直线AE于点H，交直线BC于点G，①如图2，当点G与点B重合时，请写出∠FGC,∠ABC,∠ACB之间的数量关系，并说明理由；②如图3，当点F为AC延长线上一点时，①中的结论还成立吗？请说明理由．4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在△ABC中，CD，CE分别是它的高和角平分线，设∠BAC=α，∠B=βα>β(1)如图1，求证：∠DCE=α−β(2)如图2，CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E，且α−β=30°，求∠DCE的度数．5．（25-26八年级上·全国·期中）如图1，AD，AE分别是∠ABC的高和角平分线(∠C>∠B)．(1)求证：∠DAE=1(2)如图2，若点F为AE上一点，且FD⊥BC于点D，试推导∠EFD与∠C，∠B之间的等量关系；(3)当点F在AE的延长线上时，且FD⊥BC于点D，其余条件都不变，请直接写出∠EFD与∠C，∠B之间的等量关系．1．（2025·河北唐山·三模）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠OAB=50°，则∠OPB的度数为（A．65° B．55° C．45° D．25°2．（2025·新疆·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将三角形沿某条直线折叠，使点A落在边BC上的D点，折痕与边AB、AC分别交于点E、F．若折叠后的△CDF为等腰三角形，△BDE为直角三角形，则∠B=．3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=40°，将纸片折叠，使点B落在边AC上的点B'处，折痕与边AB、BC分别交于点D、E．若△ADB'是直角三角形，则∠BDE4．（2025·宁夏银川·二模）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=54∘，则∠BOC=5．（2025·浙江·模拟预测）如图，∠B=20°，∠C=31°，∠BPC=123°，则∠A=．6．（22-23九年级上·山东威海·期中）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0,0),A(0,4),B(3,0)为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=kx的图象上，则PA．5 B．6 C．7 D．87．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在△CEF中，∠E=80°,∠F=50°，AB∥CF,AD∥CE，连接BC,CD，则∠A的度数是．8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2所示，∠1=130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为______；(3)如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点，M，N，若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数．9．（22-23八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC(1)AD∥(2)∠BDC10．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=______；(2)如图2，已知△ABC中，∠A=30°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=______；(3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是______；(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论∠A+∠B=∠C+∠D．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论∠AOC=∠A+∠C+∠P．

(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，说明：∠P=1(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠B=30°，