专题03 方程（组）与不等式（组）的实际应用（11种题型）（专项训练）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第二章方程与不等式专题03方程（组）与不等式（组）的实际应用

（11种题型）目录刷考点精准巩固，扫清盲区提能力聚焦过程，优化策略测综合跨界融合，挑战创新考点一：销售问题解｜题｜技｜巧设未知数（通常设“售价/销量/成本”为x）；根据“利润/总利润/利润率”的等量关系列方程（组）；若涉及“最值/方案选择”，结合不等式（组）确定取值范围，再计算最优解。易｜混｜易｜错混淆“标价”与“实际售价”；计算利润率时，分母应为“成本”而非“售价”。1．（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．(1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？(2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？(3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？【答案】(1)4500元(2)5种(3)购进甲型号手机8台，乙型号手机12台【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式组的应用，根据题意找准关系是解题的关键．（1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为x−500元，根据题意建立方程就可以求出其值；（2）设购甲型手机y台，则购乙型手机20−y台，根据题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论；（3）求出每台的利润，根据不同的购买方案，求出表示出相应的利润，再比较即可．【详解】（1）解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为x−500元，根据题意，得90000x解得：x=4500，经检验，x=4500是原方程的根，故原方程的根是x=4500．故一月份甲型号手机每台售价为4500元；（2）解：设购甲型手机y台，则购乙型手机20−y台，由题意得：74000≤3500y+400020−y解得8≤y≤12，∵y为整数，∴y=8，9，10，11，12，∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8，∴有五种购货方案：一、甲型手机8台，乙型手机12台；二、甲型手机9台，乙型手机11台；三、甲型手机10台，乙型手机10台；四、甲型手机11台，乙型手机9台；五、甲型手机12台，乙型手机8台；（3）解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元，故甲型手机每台盈利500元，乙型手机每台盈利800元，则方案一盈利：8×500+12×800=13600（元）；方案二盈利：9×500+11×800=13300（元）；方案三盈利：10×500+10×800=13000（元）；方案四盈利：11×500+9×800=12700（元）；方案五盈利：12×500+8×800=12400（元）；因为13600>13300>13000>12700>12400，所以购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最大．2．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元．(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？(2)若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元(2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；方案3：购买12本A型相册，3本B型相册，方案1所需费用最少，为850元【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）设这家商场A型相册每本的零售价是x元，B型相册每本的零售价是y元，根据“购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m本A型相册，则购买15−m本B型相册，根据“购买A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论．【详解】（1）解：设这家商场A型相册每本的零售价是x元，B型相册每本的零售价是y元，根据题意得：20x+30−20解得：x=60y=50答：这家商场A型相册每本的零售价是60元，B型相册每本的零售价是50元；（2）解：设购买m本A型相册，则购买15−m本B型相册，根据题意得：m≥215−m解得：10≤m≤12，又∵m为正整数，∴m可以为10，11，12，∴该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；方案3：购买12本A型相册，3本B型相册．选择购买方案1所需费用为60×10+50×5=850（元）；选择购买方案2所需费用为60×11+50×4=860（元）；选择购买方案3所需费用为60×12+50×3=870（元），∵850<860<870，∴方案1所需费用最少．答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；方案3：购买12本A型相册，3本B型相册，方案1所需费用最少，为850元．3．（2025·辽宁·模拟预测）某商场计划购进甲，乙两种商品，已知购进甲种商品2个和乙种商品3个共需270元；购进甲种商品3个和乙种商品2个共需230元．(1)甲，乙两种商品每个的进价分别是多少元？(2)商场决定甲种商品以40元/个的价格出售，乙种商品以90元/个的价格出售，为满足市场需求，需购进甲，乙两种商品共100个，当购进的甲，乙两种商品全部售出后，该商场要想获得利润不低于1200元，则最多购进甲种商品多少个？【答案】(1)每个甲种商品的进价是30元，每个乙种商品的进价是70元(2)80个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的实际应用；（1）设每个甲种商品的进价是x元，每个乙种商品的进价是y元，根据“购进甲商品2个和乙商品3个共需270元；购进甲商品3个和乙商品2个共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价；（2）设购进m个甲种商品，则购进(100−m)个乙种商品，根据“商场要想获得利润不低于1200元”可列出关于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范围．【详解】（1）解：设每个甲种商品的进价是x元，每个乙种商品的进价是y元，根据题意得：2x+3y=2703x+2y=230解得：x=30y=70答：每个甲种商品的进价是30元，每个乙种商品的进价是70元；（2）解：设购进m个甲种商品，则购进(100−m)个乙种商品，根据题意得：(40−30)m+(90−70)(100−m)≥1200，解得：m≤80，∴m的最大值为80．答：最多购进甲种商品80个．4．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：x（元/个）…52535455…y（个）…760740720700…(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？【答案】(1)y=−20x+1800(2)60元【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．（1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可．（2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可．【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数．设y与x的函数表达式为y=kx+bk≠0把52,760，760=52k+b740=53k+b，解得∴y与x的函数表达式为y=−20x+180050≤x≤75（2）解：根据题意，得x−50y=6000∴x−50−20x+1800整理，得x2解得x1=60，∵50≤x≤75，∴x=60．答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元．5．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．(1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元(2)此次购进至少要花3210元钱【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．（1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是2x元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入2x中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价；（2）设购进A种哪吒玩偶a个，则购进B种哪吒玩偶80−a个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为x元，则B种哪吒玩偶的单价为2x元．根据题意，得：300x解得：x=30经检验：x=30是原分式方程的解∴B种：2×30=60元答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元．（2）解：设购进A种哪吒玩偶a个，则购进B种哪吒玩偶80−a个根据题意，得：0<a≤2解得：0<a≤设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，花费w=30a+60整理，得：w=−30a+4800∵−30<0，当0<a≤1603时，w随∴当a=53时，w取得最小值，最小值=−30×53+4800=3210元答：此次购进至少要花3210元钱．6．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元(2)共有6种购买方案，最低费用为900元【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键．（1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为10≤a≤15，再根据题意列出w与a的函数关系式为w=10a+800，根据一次函数的增减性可得a=10时，w有最小值，据此求解即可．【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．则2x+2y=1003x+2y=120得x=20y=30答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元．（2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为40−a袋，总费用为w元．则40−a×20+30a≤950解得10≤a≤15，又∵a为正整数，∴a=10，11，12，13，14，15．由题意得w=40−a∵10>0，∴w随a的增大而增大，∴a=10时，w有最小值，最小值为10×10+800=900（元）．答：共有6种购买方案，最低费用为900元．考点二：工程问题解｜题｜技｜巧设“单独完成工作的时间”为x，表示出工作效率；根据“合作完成的工作量”列方程（如“甲做a天+乙做b天=总工作量”）；若涉及“工期限制”，结合不等式确定工作时间的范围。易｜混｜易｜错漏算“合作时间”与“单独工作时间”的区分；工作总量未统一（如部分用“具体工程量”，部分用“1”）。7．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务．(1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数；(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工14【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个；(2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个．【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工x个，则增加工人后每天加工（x+20（2）设乙车间改进技术前每天加工y个，根据题意列出分式方程解得即可．【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为x个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为（x+20由题意，得5x+2（解得x=80，80+20=100(个答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个；（2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为y个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为1+1由题意，得1000y解得y=100，经检验，y=100是原方程的解，答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个．【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键．8．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？清淤机清淤船时间方案一1台2台8天方案二2台1台7天【答案】能按要求完成任务【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为x，一台清淤船的工作效率为y，根据方案一和方案二建立方程求解即可．【详解】解：设一台清淤机的工作效率为x，一台清淤船的工作效率为y．根据题意，得x+2y=解得x=36×答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务．9．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A，B两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个．(1)若生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B生产线至少加工多少小时？(2)原计划A，B生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划多生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划多生产100个．若A生产线每天比原计划少工作2a小时，B生产线每天比原计划少工作a小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求a的值．【答案】(1)B生产线至少加工6小时(2)a的值为2【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．1设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11−x)小时，根据生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，列不等式求解即可；2根据一天恰好生产了6000个粽子，可列关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．【详解】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11−x)小时，根据题意可得：500x+400(11−x)≥5000，

解得：x≥6答：B生产线至少加工6小时；（2）解：由题意可得：(400+100a)(8−2a)+(500+100)(8−a)=6000，

整理得：a2+3a−10=0解得a1=2，a答：a的值为2．10．（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？【答案】该班同学改进前每小时整理30千克废品【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得r=30，即可作答．【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理r千克废品，∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品．∴改进后每小时整理15+r千克废品，依题意，得60解得r=30，经检验：r=30是原分式方程的解，∴该班同学改进前每小时整理30千克废品．11．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成．(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？(2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做a个月（a为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？【答案】(1)乙队需要16个月完成(2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元．【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键．（1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知58+2（2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可．【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：58解得x=16，经检验x=16是原方程的根答：乙队需要16个月完成；（2）根据题意得：15a+15−6解得6≤a≤7方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，15×6+15−6方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，15×7+15−6所以方案一最省钱，费用为126万元．考点三：行程问题解｜题｜技｜巧设“速度/时间”为x；根据“路程关系（相遇/追及/航行）”列方程；复杂行程（如分段速度）需分段表示路程，再汇总等量关系。易｜混｜易｜错追及问题中“路程差”的判定错误（如忽略初始距离）；航行问题中“顺水/逆水”速度的混淆。12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：(1)A，C两区相距__________米，a=__________；(2)求线段EF所在直线的函数解析式；(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）【答案】(1)240,7.5(2)y=15x−135(3)7分或11分或13分【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．（1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a；（2）求出E9,0，由图象可得F15,90，设直线EF的解析式为（3）由题意可分三种情况分别进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为150+90=240（米），由题意可知，a表示甲到达B区的时间，则a=150故答案为：240,7.5（2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区，∴点E的横坐标为9010∴E9,0设直线EF的解析式为y=kx+bk≠0，把E9,0，9k+b=015k+b=90，解得：k=15∴线段EF所在直线的函数解析式为：y=15x−135；（3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，则150−20x+90−10x=30，解得x=7，即机器人乙行进的时间为7分时，机器人甲、乙相距30米；机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，则15t−135=30，解得t=11，即机器人乙行进的时间为11分时，机器人甲、乙相距30米；机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米，当12≤x≤15时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为y=k1x+b112k1+∴线段所在直线的函数解析式为：y=30x−360；则15n−135−解得n=13，即机器人乙行进的时间为13分时，机器人甲、乙相距30米；综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米．13．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：湖南境内路段广西境内特定路段广西境内其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？(2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．【答案】(1)0.95a+0.5c(2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为45.9元和55.1元【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组：（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列出方程组求解即可．【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：a+b+c元实际支付高速费用：0.95a+0+0.5c=0.95a+0.5c（2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为x元和y元0.5y=27.55解得：x=45.9故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为45.9元和55.1元．14．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（a>0），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时(2)a的值为1【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，利用时间=路程÷速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入10x中，即可求出甲开车的平均速度；（2）利用路程=速度×时间，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，根据题意得：2010x解得：x=4，经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意，∴10x=10×4=40（千米/小时）．答：甲开车的平均速度是40千米/小时，甲步行的平均速度是4千米/小时；（2）根据题意得：(4+8a)(20即(1解得：a1=1答：a的值为1215．（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设小林跑步的平均速度为x米每秒，则小吉的平均速度为1.25x米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可．【详解】解：设小林跑步的平均速度为x米每秒，则小吉的平均速度为1.25x米每秒，由题意得：8001.25x解得：x=4，经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，∴原方程的解为：x=4，答：小林跑步的平均速度为4米每秒．16．（2022·河南洛阳·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与(1)请解释图中点C的实际意义；(2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离；(3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过15km【答案】(1)图中点C的实际意义是：当慢车行驶3h(2)慢车每小时行驶60km，快车每小时行驶90km(3)两车均在行驶过程中能通话的时间为1小时【分析】本题考查了一次函数图象的应用，追及问题的运用，不等式组的解法，根据图象信息，运用函数图象解决实际问题，看懂图象是关键．（1）根据点C得出两车距离为0可知，两车相遇；（2）由图象可以知道慢车行驶193小时时，快车到达终点，与慢车相距100（3）当慢车在前时和快车在前时求出通话时间范围就可以求出通话时间．【详解】（1）解：图中点C的实际意义是：当慢车行驶3h（2）解：设慢车每小时行驶xkm，快车每小时行驶b3x=2b(解得：x=60b=90则全程为：90×(19答：慢车每小时行驶60km，快车每小时行驶90km，泰州与上海的距离为（3）解：设快车行驶m小时后，两车之间的距离不超过15km60(1+m)−90m≤15 ①90m−60(1+m)≤15 ②解得：1.5≤m≤2.5．2.5−1.5=1小时．答：两车均在行驶过程中能通话的时间为1小时．考点四：分配问题解｜题｜技｜巧设“分配数量”为x；根据“总资源=各部分分配量之和”列方程（组）；若涉及“分配限制（如‘至少/至多’）”，结合不等式（组）筛选可行方案。17．（2025·重庆·模拟预测）列方程（组）解决下面问题修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎．(1)某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？(2)阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多60%．求每个B【答案】(1)安排生产修正带外壳有20名工人，生产齿轮工人有10名(2)每个B牌修正带的单价为2元【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．（1）设安排生产修正带外壳有x名工人，则生产齿轮的工人有30−x名，根据“修正带由一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮”列出一元一次方程，解方程即可；（2）设每个B牌修正带的单价为a元，则每个A牌修正带单价为a−0.5元，根据“用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多60%【详解】（1）解：设安排生产修正带外壳有x名工人，则生产齿轮的工人有30−x名，由题可知：2×2000x=800030−x解得：x=20，∴30−x=30−20=10（名），答：安排生产修正带外壳有20名工人，生产齿轮工人有10名；（2）解：设每个B牌修正带的单价为a元，则每个A牌修正带单价为a−0.5元，由题可知：1800a−0.5解得：a=2，经检验：a=2是原方程的解，且符合题意，答：每个B牌修正带的单价为2元．18．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位．(1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数．(2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【答案】(1)3辆；116人(2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意．（1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论．【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据题意得：36x+8=y22(x+2)+6=y解得：x=3y=116答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人；（2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据题意得：36m+22n=116，∴n=58−18m又∵m，n均为正整数，∴m=2n=2答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆．19．（2025·福建·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元．(1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？(2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润W最大，最大利润是多少？【答案】(1)每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元(2)该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润W最大，最大利润是1250元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键．（1）每把油纸伞的进价为x元，每把角梳的进价为y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；（2）设该工艺品店购进油纸伞m把，则购进角梳100−m把，先求出W=−5m+1500，再求出m的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：设每把油纸伞的进价为x元，每把角梳的进价为y元，由题意得：4x−y=205x+2y=220解得x=20y=60答：每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元．（2）解：设该工艺品店购进油纸伞m把，则购进角梳100−m把，由题意得：W=30−20∵该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，∴20m+60100−m∴50≤m<100，由一次函数的性质可知，当50≤m<100时，W随m的增大而减小，∴当m=50时，W的值最大，最大值为−5×50+1500=1250，此时100−m=100−50=50，答：该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润W最大，最大利润是1250元．20．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物256吨和乙种货物200吨，准备租用A、B两种型号的汽车共40辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表：一汽二汽A型每辆费用（元）600mB型每辆费用（元）800n(1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多400元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为6500元．求表格中m，n的值；(2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由．【答案】(1)表格中m的值为500，n的值为900(2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键.（1）依题意得：n−m=4004m+5n=6500（2）设需租用x辆A型汽车，则租用40−x辆B型汽车，依题意得：7x+5(40−x)≥2564x+8(40−x)≥200【详解】（1）解：依题意得：n−m=4004m+5n=6500解得：m=500n=900答：表格中m的值为500，n的值为900．（2）解：设需租用x辆A型汽车，则租用40−x辆B型汽车，依题意得：7x+5(40−x)≥2564x+8(40−x)≥200解得：28≤x≤30，∵x取整数，∴x=28,29,30．∴共有3种租车方案．∵每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用，∴租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱．选择一汽公司所需总费用为：600×30+800×10=26000（元）；选择二汽公司所需总费用为：500×30+900×10=24000（元）．∵26000>24000，∴选择二汽公司来运输这批货物，安排30辆A型汽车，10辆B型汽车时，总费用最少．考点五：和差倍分问题解｜题｜技｜巧设“较小的量”为x，用x表示出“和/差/倍/分”的其他量；根据“总量/差值”的等量关系列方程；多量关系（如三个数的和差倍）需设多个未知数，列方程组求解。21．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=类别原材料出酒率粮食酒粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水30%芋头酒芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）20%如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为14【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．(2)需要准备37.5公斤大米．【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键．（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2x,3y公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z，再根据题意列一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2x,3y公斤，由题意可得：30%x+20%答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．（2）解：两次实验得到的粮食酒总量为40+40×2×30设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z，由题意可得：4z×30%×80%答：需要准备37.5公斤大米．22．（2025·重庆永川·模拟预测）随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲乙两型智能芯片．(1)已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为46万亿次，一枚甲型芯片用时4秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片5秒进行的整数运算次数之和为84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次?(2)该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的110%【答案】(1)甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次(2)优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．（1）设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次，根据“一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为46万亿次，一枚甲型芯片用时4秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片5秒进行的整数运算次数之和为84万亿次”列二元一次方程组，求解即可；（2）设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为1.1a万亿次，根据“进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒”列争式方程求解即可．【详解】（1）解：设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次，根据题意得，2x+3y=464x+5y=84解得x=11答：甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次；（2）解：设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为1.1a万亿次，根据题意得，121a解得a=11，优化后为11×1.1=12.1，答：优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次．23．（2025·安徽·模拟预测）春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种“龙辰辰”布偶．每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元．则甲、乙两种布偶每个的售价分别为多少元？【答案】每个甲种布偶的售价为60元，每个乙种布偶的售价为50元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个甲种布偶的售价为x元，每个乙种布偶的售价为y元，根据每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元建立方程组求解即可．【详解】解：设每个甲种布偶的售价为x元，每个乙种布偶的售价为y元，根据题意得x−y=102x+3y=270解得x=60y=50答：每个甲种布偶的售价为60元，每个乙种布偶的售价为50元．

24．（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克．(1)若一年滞尘1200毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘660毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量．(2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共100棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有15000片树叶，一棵银杏树约有20000片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为60千克，那么最多种植多少棵国槐树？(1千克=1000000毫克)【答案】(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22毫克和40毫克(2)最多种植42棵国槐树【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解题的关键．（1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x−4)毫克，根据题意列出方程，解方程即可求解；（2）设种植a棵国槐树，则种植银杏树(100−a)棵，根据题意列出一元一次不等式，求得最大正整数解，即可求解．【详解】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x−4)毫克．由题意，得12002x−4解得：x=22经检验，x=22是该分式方程的解，且符合题意∴2x−4=40(毫克)答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22毫克和40毫克（2）15000×22=330000毫克=0.33千克，20000×40=800000毫克=0.8千克设种植a棵国槐树，则种植银杏树(100−a)棵由题意，得0.33a+0.8(100−a)≥60解得a≤42∵a为正整数，∴a最大取42．答：最多种植42棵国槐树．考点六：几何问题解｜题｜技｜巧设“几何量（边长/半径/高）”为x；根据“周长/面积/体积的等量关系（如‘变形前后面积不变’‘拼接后周长变化’）”列方程；涉及“图形存在性（如‘能否围成三角形’）”时，结合不等式（组）验证（如三角形三边关系）。易｜混｜易｜错图形变形后，混淆“周长”与“面积”的变化（如矩形拉成平行四边形，周长不变、面积改变）；勾股定理应用时，错判直角边与斜边。25．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1:1:2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的59，AB【答案】80【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为5x−10cm，BC=595x−10cm，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x【详解】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为5x−10cm，BC=595x−10cm，AB=CD=x由AD=AB+BC+CD，可得：5x−10=x+595x−10所以这只风筝的骨架的总高4x=80cm答：这只风筝的骨架的总高80cm26．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片?【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个(2)至少需要134张正方形硬纸片【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得x=40y=80（2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出w=100+m，结合m≥12100−m【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形，设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．根据题意，得x+2y=2004x+3y=400得x=40y=80答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个．（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．则w=2m+100−m由k=1>0，知w随m的增大而增大，∴当m最小时，w有最小值．根据题意，得m≥1解得m≥100其中最小整数解为34．即当m=34时，w=100+34=134．答：至少需要134张正方形硬纸片．27．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m方案一方案二如图1，围成一个面积为450m如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）．(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？【答案】(1)15米；(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．（1）设与墙垂直的边为xm（2）设与墙平行的边为tm，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时t【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为60−2x根据题意得x60−2x解得x答：与墙垂直的边的长度为15米；（2）解：设与墙平行的长度为tm，花圃的面积为S根据题意得S=∴S=−∵−1∴当t=33时，S有最大值363，答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．考点七：古代问题28．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？【答案】人数为9人，买鸡的钱为70钱【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为x，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设人数为x，根据题意得9x−11=6x+16，解得：x=9，∴买鸡的钱数为：9×9−11=70，答：人数为9人，买鸡的钱为70钱．29．（2025·陕西西安·模拟预测）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满；如果两人同乘一辆车，则所有车都坐满后还有九人步行．请问共有多少人出行？【答案】39人【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设共有x人出行，根据车的辆数，列出方程，解方程即可．【详解】解：设共有x人出行，根据题意得：x3解得：x=39，答：共有39人出行．30．（2025·陕西榆林·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为35【答案】原来有52【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题．设原来有x斗米，则后加入10−x斗谷子，由题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设原来有x斗米，则后加入10−x斗谷子，根据题意，得x+3解得x=5答：原来有5231．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱？【答案】每尺绫布的价格为162文，每尺罗布的价格为126文【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为x文，每尺罗布的价格为y文，根据一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程7x=9y，根据每尺罗布比绫布便宜36文，可列方程x−y=36，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱．【详解】解：设每尺绫布的价格为x文，每尺罗布的价格为y文，根据题意得：7x=9yx−y=36解得：x=162y=126答：每尺绫布的价格为162文，每尺罗布的价格为126文.32．（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题．【答案】该店有客房8间，房客63人【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解题关键，设该店有客房x间，房客y人，根据每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．列出方程组求解即可．【详解】解：设该店有客房x间，房客y人，根据题意得{7x+7=y解得{x=8答：该店有客房8间，房客63人．考点八：阶梯收费问题易｜混｜易｜错漏算“分界点处的费用”（如超出部分计算时，重复或遗漏基础段费用）；未分情况讨论，直接按单一单价计算。33．（2025·广东深圳·三模）（1）【生活与应用】：为加强居民节水意识，决定对居民用水实行“阶梯价”，见价目表；问题：若该居民2、3月份共用水30吨（3月份用水超过2月份），共交水费97元，则该居民2、3月份各用水多少吨？价目表每月用水量单价不超出15吨的部分3元/吨超15吨的部分4元/吨注：水费按月结算（2）【观察与思考】：①根据图1流程图中的运算程序，当输入数据x=−1时，输出结果y为_____；②根据图2所示的计算程序，若输出的值y=5，则输入的值x=_____．该同学进行综合复习时，产生能否用流程图设计自动运算的想法，请你帮助该同学补全流程图（3）问题：若该居民1月用水量为x吨，请设计“计算框图”，使得输入数据为用水量x，输出数为水费y；补全“计算框图”则①_____②_____；【答案】（1）2月份用水8吨，则3月份用水22吨；（2）①9；②−2或10；（3）x<15，×3【分析】本题考查了电费和水费问题的一元一次方程的应用，程序流程图与有理数计算，解一元二次方程，解题关键是根据等量关系列出方程求解．（1）设2月份用水x吨，则3月份用水30−x吨，列出关于x的不等式0<x<30−x，求出x的取值范围，再列出一元一次方程求解，然后求出3月份用水量；（2）①当x=−1时，代入求出y；②根据输出的值y=5，得到关于x的方程求解；（3）根据（1）分别列出当x>15与x<15时的代数式，再结合流程图求解．【详解】（1）解：设2月份用水x吨，则3月份用水30−x吨，∵3月份用水超过2月份，∴0<x<30−x，解得：0<x<15，根据题意得：3x+15×3+430−x−15解得：x=8，∴3月份用水30−8=22吨，答：2月份用水8吨，则3月份用水22吨；（2）①当x=−1时，y=x+4故答案为：9．②当x>0时，输出的值y=5，则x−5=5，解得：x=10；当x≤0时，输出的值y=5，则x2+1=5，解得：x1综上所述，x的值为−2或10；（3）当x>15时，水费为15×3+4x−15；当x<15时，水费为3x，由此可得①入填x<15，②处填×3故答案为：x<15，×3．34．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产．【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表：计费单位收费标准江浙沪地区江西省首重aa+3续重bb+4收费说明：①每件快递按送达地分别计算运费；②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）．【素材2】电子存单1电子存单2托寄物：捆蹄、萝卜干目的地：江苏常州计量重量：2千克件数：1总费用：10元托寄物：鸡糕、捆蹄目的地：江西南昌计量重量：3千克件数：1总费用：23元【问题解决】(1)求a、b的值；(2)小美给在上海的哥哥寄出了4.8千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？(3)小美给在江西的外婆寄特产花了59元快递费，求这份特产重量的取值范围．【答案】(1)a=8b=2(2)16元；(3)这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解决本题的关键是列方程组求出首重需要的费用和续重需要的费用．1根据快递单上的收费，列出二元一次方程组求解即可；2根据小美邮寄的特产的重量和快递公司的收费标准计算即可；3设这份特产的重量是xkg，小美在江西邮寄的特产，根据江西的收费标准列出一元一次方程11+6x−1=59，解方程求出x=9，即这份特产最多重9kg，因为不足【详解】（1）解：根据题意可得：a+b=10a+3+2解得：a=8b=2答：a的值为8，b的值为2；（2）解：a+4b=1×8+4×2=16元，答：小美需要支付16元快递费；（3）解：设这份特产重量按xkg∵小美在江西，∴首重需要付费8+3=11元，续重需要付费2+4=6元，根据题意可得：11+6x−1解得：x=9，∴这份特产重量的取值范围是大于8千克且不超过9千克，答：这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克．35．（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图．方案安装费用每千瓦时所需费用方案一：私家安装充电桩2520元0.6元方案二：公共充电桩充电01.8元（含服务费）(1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为60×1.2×0.6＝43.2（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？(2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？(3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算．【答案】(1)129.6元(2)30千米(3)累计行驶里程超过17500千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元一次不等式的解法是解题的关键．（1）根据“充电量×损耗率×每千瓦时所需费用”列式计算即可；（2）利用待定系数法解答即可；（3）根据“选择私家安装充电桩充电的费用<选择公共充电桩充电的费用”列一元一次不等式并求解即可．【详解】（1）解：60×1.2×1.8=129.6(元)，∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用129.6元；（2）解：当x>300时，设y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)．将坐标300,30和400,10代入y=kx+b，得300k+b=30400k+b=10解得k=−1∴y=−1∵−1∴x≤450，又∵x>300，∴300<x≤450，∴y与x的函数解析式为：y=−1当y=60×10%得−1解得x=420，450−420=30(千米)，∴此时理论上还能继续行驶30千米；（3）解：根据图象可知，当电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电时，该新能源车每千米的耗电量为60−30÷300=设累计行驶里程为m千米，则耗电量为m10当充电m10若选择私家安装充电桩充电，需要费用为：2520+m若选择公共充电桩充电，需要费用为：m10当选择私家安装充电桩充电(含安装费用)更合算时，得：0.216m>0.072m+2520，解得：m>17500．∴累计行驶里程超过17500千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算．考点九：数字问题解｜题｜技｜巧设“数位上的数字”为未知数（如设个位为x，十位为y）；根据“数字间的关系（如‘个位数字比十位大3’‘数的倍数关系’）”列方程；验证解的实际意义（数字为0-9的整数，首位数字不为0）。36．（2025·湖南长沙·模拟预测）小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解：【小明提出问题】利用一元一次方程将0.7【小明的解答】解：设0.7⋅=x方程两边都乘以10，得10×0.7⋅=10x．由0.7⋅=0.7777⋯⋯【小明的问题】将0.4【小白的答案】49(1)请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数：①1.3⋅2(2)你能通过上面的解答判断0.9【答案】(1)①1.3⋅(2)0.9【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，能够仿照例题将循环小数转化为分数是解题的关键．（1）①根据0.7·转化分数的方法，设②根据0.7·转化分数的方法，设（2）根据题目例子解答即可．【详解】（1）解：①设1.3方程两边都乘以100，可得100×1.3由132.3⋅2解得x=131故1.3②设0.4方程两边都乘以1000，可得1000×0.4由0.4⋅2即423+x＝解得x=423故0.4（2）解：0.9设0.9方程两边都乘以10，得10×0.9⋅=10x．由0.所以9+x＝解得x=9故0.937．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为x．(1)请用含x的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除；(2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出x的值．【答案】(1)9x+9，见解析(2)x=7【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）根据题意，整理出代数式进行分析即可；（2）根据题意，列出一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：∵设原两位数的个位数字为x，则十位数字为9−x，∴得到的新的两位数为10x+9−x∵9x+9=9x+1，且x+1∴这个新的两位数能被9整除；（2）解：由题意，得109−x解得x=7．38．（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数．【答案】648【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b，根据算盘可知这个三位数的百位数字为6，则这个三位数为600+10a+b，十位数字与个位数字互换后的三位数为600+10b+a，再根据新的三位数比原三位数大36，个位数字是十位数字的2倍建立方程组求解即可．【详解】解：设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b，由题意得，b=2a600+10b+a−解得a=4b=8答：这个三位数为648．39．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入3×3方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”．(1)写出图2中a和b之间的数量关系；(2)求出图3中x和y的值．【答案】(1)b=a+1(2)x=16【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键．（1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可；（2）令第一行第二列为a，第三行第三列为b，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可【详解】（1）解：由题意可知，b+7+2=2+a+8，即b=a+1；（2）解：如图，令第一行第二列为a，第三行第三列为b，则x+a+2=a+y+13x+y+b=2+19+b，即x−y=11解得：x=16y=540．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：(3745)8=3×8(1)把八进制数3751换算成十进制数是_________；(2)小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值．【答案】(1)2025；(2)n的值为9．【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解题的关键．（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：3751=1536+448+40+1=故答案为：2025；（2）解：由题意得，1×n整理得：n2解得：n1=9，∴n的值为9．41．（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键．设这个最小数为x，则最大数为x+8，由此列方程求解即可．【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为x+8，依题意得：xx+8整理得：x2解得：x1答：这个最小数为5．考点十：方案问题42．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高．某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售．于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下：你好！请问你那里的安全头盔批发价是多少？我有三种型号的安全头盔，批发价分别是A型100元/个；B型120元/个；C型150元/个．如果你买的多的话还有下面的优惠方案：①一次性累计购买50个及以上九五折优惠②一次性累计购买100个及以上九折优惠(1)若该商店计划一次性购进A型安全头盔30个和B型安全头盔20个，共需多少钱？(2)若该商店计划用9900元一次性购进两种不同型号的安全头盔100个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？【答案】(1)共需要5130元(2)该商店的进货方案有