勾股定理及其应用第1课时 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第1课时第二十章勾股定理数学人教版八年级下册直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久.

概念性质应用逻辑推理数形结合勾股定理研究勾股定理的一般思路与方法：类比、转化、数形结合解直角三角形后置三角函数直角三角形前置二次根式

1234了解勾股定理的文化背景，掌握赵爽弦图的证明思路.理解勾股定理的内容及从面积关系到边长平方关系的抽象转化，能运用勾股定理求解直角三角形的未知边长.通过观察、猜想、验证的过程，体会“数形结合”和“出入相补”的数学思想.感受中国古代数学的成就，增强民族自豪感和文化自信.培养主动探究、合作交流的学习习惯，激发对数学的兴趣.

在《周髀算经》的开篇，商高(约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.

商高，西周初数学家.《周髀算经》中记载他在公元前1000年左右三方面的数学成就：勾股定理、测量术和分数运算.

他是有文字记载自己发现勾股定理例子最早的人.商高对勾股定理的研究早于毕达哥拉斯定理.红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形.它们三边对应的正方形的面积分别为：9，16，25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.活动一：探究勾股定理商高所指的面积关系可以用图形表示，如下图.34516925其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？

如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1

的面积之间有什么关系？A2，B2，C2

呢？A3，B3，C3

呢？01图中A，B的面积都好求，该怎样求C的面积呢?活动一：探究勾股定理方法一：用“割”的方法.

分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：用“补”的方法.

补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.活动一：探究勾股定理

如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1

的面积之间有什么关系？A2，B2，C2

呢？A3，B3，C3

呢？01

活动一：探究勾股定理

如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1

的面积之间有什么关系？A2，B2，C2

呢？A3，B3，C3

呢？01

活动一：探究勾股定理

如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1

的面积之间有什么关系？A2，B2，C2

呢？A3，B3，C3

呢？01

以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系?0291899+9=18，可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.

活动一：探究勾股定理

由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗?03

猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.BACbac那么该如何证明这个猜想呢?活动一：探究勾股定理

abc黄实朱实朱实朱实这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．

赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实.

证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.

准备四个相同的直角三角形，将它们四个拼接成一个正方形，你会以什么样的方式拼接该正方形?活动二：证明勾股定理

赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).abc黄实朱实朱实朱实abca活动二：证明勾股定理勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.直角三角形的这种关系称为勾股定理.

这样就证明了前面的猜想.它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.a²b²

c²b²

c²-a²a²

c²-b²公式变形cabCBA活动二：证明勾股定理

赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.活动二：证明勾股定理abc黄实朱实朱实朱实2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以赵爽弦图为原型设计的.

根据“赵爽弦图”你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗?04活动二：证明勾股定理abc黄实朱实朱实朱实视频粘贴处请观看勾股定理的其他证明方法.05活动二：证明勾股定理如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.

(1)已知两直角边长，求斜边长；(2)已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.根据勾股定理求解即可.ACB86(1)1715DEF(2)如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2

=AC2

+BC2

=82

+62

=100，所以AB=10.ACB86(1)1715DEF(2)如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.(2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2+EF2=DF2，从而DE2=DF2－EF2=172－152=64，所以DE=8.ACB86(1)1715DEF(2)如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AC⟂BD，若AD=2，BC=4，则AB2+CD2的值为()A.8B.14C.20D.26ADBCO∵AC⟂BD，∴AB2=AO2+BO2，CD2=OC2+OD2，

BC2=BO2+CO2，

AD2=OA2+OD2，∴AB2+CD2=BC2+AD2.∵AD=2，

BC=4.∴AB2+CD2=42+22=20.故选C.C

直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是()A.15°B.30°C.45°D.60°

设直角三角形的两直角边是a，b，斜边是c.根据直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而

a2+b2=2ab，即：a2+b2-2ab=0，(a-b)2=0.∴a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，因而这个三角形的锐角是45°.故选C.C1.设直角三角形的两条直角边长分别为a

和b，斜边长为c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知b=15，c=25，求a.

c2=a2+b2变式1：a2=c2－b2变式2：b2=c2－a21.设直角三角形的两条直角边长分别为a

和b，斜边长为c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知b=15，c=25，求a.

2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.

解：

根据图形，最大正方形E的面积为：122+162+92+122=625.3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4).求这两点间的距离.

构建直角三角形AOB，利用勾股定理计算两点间的距离.

勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+