【人教A版2019选择性必修第二册】高二数学同步教学课件5.1.1变化率问题（第2课时）

第五章

一元函数的导数及应用人教A版2019选择性必修第二册·高二5.1导数的概念及其意义

5.1.1变化率问题（第二课时）

章节导读导数概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用平均变化率瞬时速度导数的几何意义平均速度曲线的割线斜率、切线斜率基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值与最大（小）值学

习

目

标123会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.旧知复习情景1

高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度无限逼近取极限平均变化率瞬时变化率瞬时速度的本质是平均速度的极限.无限逼近取极限那么瞬时速度的几何意义是什么呢？新知导入

如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？思考

如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了.不一定，也有可能有多个公共点，如图，在点P

处的切线与曲线有2个公共点.新知探究情景2

抛物线的切线的斜率下面我们以抛物线

f(x)=x2为例进行研究.问题1

如何定义抛物线

f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？xyOf(x)＝x2112234P0与研究瞬时速度类似在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况新知探究

我们发现，当点P__________________，割线P0P_______________________位置.这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．观察

如图，当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势?T无限趋近于一个确定的无限趋近于点P0时新知探究

切线位置割线位置无限逼近切线斜率割线斜率无限逼近取极限

记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率Δx→0时，斜率kPoP→2.新知探究

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：∆x<0∆x>0∆x∆x

通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.新知探究事实上，由可以发现，当∆x在无限趋近于0时，

无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时，的极限”，记为从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T

.

割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.因此，切线P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T定义新知2.切线的斜率

函数图象在点P0(x0,f(x0))处的斜率xyO121234PP0T1.割线的斜率新知探究思考观察问题1中的函数的图象，平均速度

的几何意义是什么?瞬时速度v(1)呢?th1O•(1,h(1))•(1+∆t,h(1+∆t))新知探究问题3

你能用上述方法，求抛物线f(x)=x2在点P0(2,4)处的切线P0T的斜率吗？xyO121234P0P

记点P的横坐标x＝2＋Δx，则点P的坐标即为(2＋Δx，(2＋Δx)2).于是割线P0P的斜率故抛物线在点P0(2，4)处的切线斜率为4.典例分析例1求抛物线f(x)=x2+2x在点P

(1,3)处切线的斜率.变式

求抛物线f(x)=x2+2x在点P

(1,3)处的切线方程.课后练习课本练习1.你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0,x02)处的切线?试求抛物线f(x)=x2在点(－1,1)处切线的斜率.课后练习课本练习2.求抛物线f(x)=x2+1在点(0,1)处的切线方程.曲线的割线、切线的斜率题型一题型探究

曲线的