2025年甘肃省数学（理科）高起专试题含答案

2025年甘肃省数学（理科）高起专试题含答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.90种

B.180种

C.270种

D.360种

答案：C

解析：由于甲必须站在正中间，所以乙和丙两位同学可以站在甲的左边或右边。乙和丙两位同学的排列方法有2种，乙和丙与另外四位同学的排列方法有5!种，所以总共有2×5!=120种。但乙和丙可以站在甲的左边或右边，所以总排列方法为120×2=240种。但是，甲、乙、丙可以互换位置，所以最终的排列方法为240×3=720种。由于乙和丙两位同学必须站在一起，所以需要除以2，得到360种。但考虑到乙和丙可以站在甲的左边或右边，所以实际的排列方法为360×2=720种。由于题目中甲必须站在正中间，所以只需考虑乙和丙在甲的一侧，故答案为720÷2=360种。

2.若函数f(x)=x²2x3在区间（2，3）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤2

B.a≥3

C.a≤3

D.a≥2

答案：A

解析：函数f(x)=x²2x3的导数为f'(x)=2x2。因为f(x)在区间（2，3）上是减函数，所以f'(x)<0。解不等式2x2<0，得x<1。由于题目中x的取值范围为（2，3），所以a的取值范围应该满足a≤2。

3.设a，b是方程x²(a+2)x+b+1=0的两个实数根，则a²+b²的最小值为（）

A.4

B.5

C.8

D.10

答案：D

解析：由韦达定理，a+b=a+2，ab=b+1。所以a²+b²=(a+b)²2ab=(a+2)²2(b+1)=a²+4a+42b2=a²+4a+22(b+1)。因为b是实数根，所以b+1≥0，所以a²+b²≥a²+4a+2。将a²+4a+2表示为完全平方形式，得(a+2)²2。所以a²+b²≥(a+2)²2≥10。因此，a²+b²的最小值为10。

4.若函数f(x)=x³3x+1在区间（0，1）上有极值点，则实数m的取值范围是（）

A.m>1

B.m<1

C.m>3

D.m<3

答案：B

解析：函数f(x)=x³3x+1的导数为f'(x)=3x²3。因为f(x)在区间（0，1）上有极值点，所以f'(x)=0在区间（0，1）上有实数根。解方程3x²3=0，得x=±1。由于x的取值范围为（0，1），所以m<1。

5.一个正方体长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则其对角线的长度是（）

A.6cm

B.8cm

C.10cm

D.12cm

答案：C

解析：正方体长方体的对角线长度可以通过勾股定理计算。设对角线长度为d，则有d²=3²+4²+5²=9+16+25=50。所以d=√50=5√2，约等于10cm。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x²2x+1，求f(3)的值。

答案：4

解析：将x=3代入函数f(x)中，得f(3)=3²2×3+1=96+1=4。

7.若方程x²2ax+a²1=0有两个相等的实数根，求实数a的值。

答案：1

解析：因为方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ=0。即(2a)²4(a²1)=0。解得a=±1。

8.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n²+n，求首项a1的值。

答案：3

解析：由等差数列前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，得2n²+n=n/2(2a1+(n1)d)。当n=1时，a1=3。

9.已知函数f(x)=x²2x3，求不等式f(x)<0的解集。

答案：(1,3)

解析：解不等式x²2x3<0，得1<x<3。

10.一个正三角形的边长为6cm，求它的面积。

答案：9√3cm²

解析：正三角形的面积公式为S=(a²√3)/4，其中a为边长。将a=6cm代入公式，得S=(6²√3)/4=9√3cm²。

三、解答题（每题25分，共50分）

11.已知函数f(x)=x³3x+1，求f(x)在区间（0，1）上的极值。

解：f'(x)=3x²3。令f'(x)=0，得x=±1。因为x的取值范围为（0，1），所以只需考虑x=1。在x=1时，f'(x)由正变负，所以f(x)在x=1处取得极大值。f(1)=1³3×1+1=1。所以f(x)在区间（0，1）上的极大值为1，无极小值。

12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n/2(2a1+(n1)d)，求证：数列{an²}是等差数列。

证明：由等差数列前n项和公式得an=a1+(n1)d。所以an²=(a1+(n1)d)²=a1²+2a1(n1)d+(n1)²d²。令bn=