第六章++平面向量及其应用+2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用全章知识点归纳总结知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一平面向量的线性运算1.向量的线性运算有平面向量及其坐标的加法、减法、数乘运算,以及平面向量的基本定理、共线定理,主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题.2.通过向量的线性运算,培养数学运算和逻辑推理素养.D规律方法

1.向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相接”,即2.向量减法实质是向量加法的逆运算,是相反向量的作用.3.数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换.C专题二平面向量数量积的运算1.平面向量的数量积是向量的核心内容,重点是数量积的运算,利用向量的数量积判断两向量平行、垂直,求两向量的夹角,计算向量的长度等.2.通过向量的数量积运算,提升逻辑推理和数学运算素养.【例2】

(1)(多选题)已知平面向量a=(1,0),b=(1,2),则下列说法正确的是(

)A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2C.向量a+b与a的夹角为30° D.向量a+b在a上的投影向量为2aBD(2)(多选题)已知单位向量a,b满足|a-b|=|a+b|,则下列式子正确的是(

)AC解析

由题意,|a|=1,|b|=1,对|a-b|=|a+b|两边同时平方,可得(a-b)2=3(a+b)2,所以a2+b2-2a·b=3(a2+b2+2a·b),D规律方法

向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解.在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2,上述两公式以及(a+b)·(a-b)=a2-b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.(2)用基底{a,b}表示向量求数量积,所选的基底需知|a|,|b|,<a,b>.(3)建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解数量积.变式训练2(1)已知非零向量a与b满足|a|=2|b|,若|a+2b|=|a+b|,则cos<a,b>=(

)BD

专题三平面向量的平行与垂直问题1.平行关系和垂直关系是平面几何中两条直线的两种最重要的位置关系,借助向量的数量积和共线向量可以完美的解决,另外借助共线向量还可以解决三点共线问题.2.两种位置关系的判断可提升逻辑推理和数学运算素养.【例4】

(1)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=

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解析

∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得(2)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).变式探究将本例(2)②中的,“平行”改为“垂直”,求实数k的值.规律方法

1.证明向量共线问题常用的方法(1)向量a,b(a≠0)共线⇔存在唯一的实数λ,使b=λa.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0.2.证明平面向量垂直问题的常用方法a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).专题四利用正弦定理、余弦定理解三角形1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形,判断三角形的形状、求三角形的面积,以及余弦定理、正弦定理的简单综合应用.2.借助解三角形,培养逻辑推理、数学运算素养.【例5】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=,c=4,acosC+b=0.(1)求a;(2)已知点D在线段BC上,且∠ADB=,求AD的长.规律方法

解三角形的一般方法(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.

专题五正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用1.余弦定理和正弦定理在实际生活中,有着非常广泛的应用,常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题,关键是根据题意画出示意图,将问题抽象为三角形的模型,然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.2.将生活中的实际问题转化为三角形模型,提升逻辑推理和数学建模素养.【例6】

(2025广东东莞高一期中)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=60°,∠BDC=75°,CD=60m,并在点C处测得塔顶A的仰角∠ACB=30°.(1)求B与C两点间的距离;(2)求塔高AB.

规律方法

解三角形实际应用问题的步骤

变式训练4如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)nmile的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20nmile的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30nmile/h,该救援船到达D点需要多长时间?易错易混·衔接高考7123456891011A71234568910112.已知向量a,b,若|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°.若a+b与ta-b的夹角为钝角,则t的取值范围为(

)A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,1)D解析

∵a+b与ta-b的夹角为钝角,∴(a+b)·(ta-b)=ta2-a·b+ta·b-b2<0,解得t<1.又a+b与ta-b不共线,所以t≠-1,所以t的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,1).故选D.712345689101171234568910113.[2024新高考Ⅱ卷,3]已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(

)B71234568910114.(2024北京卷,5)已知向量a,b,则“(a+b)(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的(

)A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件A解析

若“a=b或a=-b”,则a+b=0或a-b=0,故“(a+b)(a-b)=0”,必要性成立,反之不一定成立.故选A.71234568910115.(2024全国甲卷,理11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sinA+sinC=(

)C71234568910116.(2024上海卷,5)已知向量a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k=

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1571234568910117.(2025全国新课标卷2,12)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=

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712345689101171234568910117123456891011(1)求a;(2)求sinA;(3)求cos(B-2A).

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