垂径定理课件北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版数学九年级下册第三章

圆3.3垂径定理新课导入你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？37.4m7.2m3.3垂径定理

教学过程幻灯片分页内容第1页：情境导入——聚焦圆与弦的垂直关系（5分钟）1.回顾旧知：提问“圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？”引导学生回忆圆的轴对称性（直径所在直线为对称轴）。2.情境设问：展示生活中的圆形拱桥图片，提问“工程师在设计圆形拱桥时，如何根据桥洞的跨度（弦长）和拱高，计算桥洞的半径？这个问题需要用到我们今天要学习的核心定理——垂径定理。”3.引出课题：明确本节课主题——3.3垂径定理，探究圆中直径与弦垂直时的特殊关系。第2页：实验探究——垂径定理的发现（12分钟）1.动手操作：请学生拿出圆形纸片，按以下步骤操作：①

画一条非直径的弦AB；②

过圆心O画直径CD，使CD⊥AB，垂足为E；③

将圆形纸片沿CD折叠，观察折叠后弦AB的两部分、弧AB的两部分是否重合。2.观察记录：引导学生重点观察并记录：①

点A与点B的位置关系；②

线段AE与BE的长度关系；③

弧AC与弧BC、弧AD与弧BD的数量关系。3.小组归纳：各小组分享操作结果，共同归纳：折叠后A与B重合，故AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD，即垂直于弦的直径将弦和弦所对的两条弧都平分了。第3页：定理推导——垂径定理的精准表述与证明（10分钟）1.定理抽象：引导学生将实验结论转化为严谨的数学语言，得出垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。2.符号表示：结合图形（⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E），用符号表示定理：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB∴AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。3.逻辑证明：引导学生用全等三角形证明定理（连接OA、OB，∵OA=OB，OE⊥AB，∴△AOE≌△BOE（HL），故AE=BE；又∵圆心角∠AOE=∠BOE，∴弧AC=弧BC，同理弧AD=弧BD）。4.关键辨析：①

强调“弦不是直径”：展示反例（直径垂直于直径），说明若弦为直径，垂直的直径不一定平分另一条直径所对的弧；②

补充推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。第4页：典例解析——垂径定理的应用（15分钟）例1：基础应用——求圆的半径。如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。解题步骤：①

构造直角三角形：过O作OE⊥AB于E，连接OA（“作垂线、连半径”核心辅助线）；②

应用垂径定理：∵OE⊥AB，∴AE=AB/2=4cm；③

用勾股定理计算：在Rt△AOE中，OA²=OE²+AE²=3²+4²=25，∴OA=5cm。答：⊙O的半径为5cm。例2：实际应用——解决拱桥问题。某圆形拱桥的跨度（弦长）为16m，拱高（圆心到弦的距离的补数）为4m，求该拱桥所在圆的半径。（提示：设半径为R，圆心到弦的距离为R-4，结合垂径定理和勾股定理列方程求解）第5页：巩固练习——深化定理理解（10分钟）1.判断题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）在⊙O中，若直径CD⊥弦AB，则弧AC=弧BC。（答案：×、×、√，并说明错误原因）2.计算题：如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于E，若弧CD=60°，OE=2cm，求⊙O的半径和弦CD的长。（答案：半径4cm，CD=4√3cm）3.变式训练：若将上题中“弧CD=60°”改为“CD=6cm”，其他条件不变，求OE的长。（强化“知二求一”的解题思路）第6页：课堂小结与作业布置（8分钟）1.小结回顾：①

垂径定理核心：垂直于弦的直径→平分弦、平分弦所对的两条弧；②

关键注意：弦不为直径的前提条件；③

解题技巧：常用辅助线“作垂线、连半径”，转化为直角三角形求解。2.作业布置：①

基础作业：教材习题3.3第2、4、6题；②

拓展作业：收集生活中应用垂径定理的实例，简要说明原理；③

选做题：证明垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”。探究新知如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，

垂足为M．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.CDABMOCDABMO连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，

点A与点B重合，CD为⊙O的直径CD⊥AB

条件CDABMO结论AM=BMCDABMO垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.CDABMO几何语言∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴AM=BM，判断下列图形，能否使用垂径定理？CDABOCDEOCDABO定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB

的直径CD，交AB

于点M

．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.CDABMOCDABMOCD为⊙O的直径条件CD⊥ABAM=BM结论CD⊥AB理由是：连接OA，OB，则OA=OB.在△OAM和△OBM中，∵OA=OB，AM=BM.∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称，CDABMO∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， CDABMO平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（不是直径）垂径定理的逆定理CDABMO几何语言∵CD为⊙O的直径，AM=BM，∴CD⊥AB，CDABMO还有如下正确结论：CD为直径CD⊥AB于MAM=BM根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.例

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O

是所在圆的圆心），其中CD=600m，E

为上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.OEDCFOEDCF解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=（R–90）m.∵OE⊥CD，∴在Rt△OCF

中，根据勾股定理，

得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R–90）2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.1.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.【教材P76第1题】知识技能解：连接OA,设⊙O的半径为r寸，则OE=（r-1）寸.∵CD为直径，且CD⊥AB,∴寸.在Rt△AOE中，∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2，解得r=13.∴CD=26寸.2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值.【教材P76第2题】解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C，则.在Rt△ACO中，故点O到AB的距离为24mm，∠OAB的余弦值为0.6.3.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？【教材P77第3题】解：AC=BD.理由如下:如图所示,过点О作OE⊥AB于点E.∵在大圆中,AE=EB,在小圆中,CE=ED,∴AE-CE=EB-ED,即AC=BD.数学理解4.如图，M为⊙O内一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M，并且AM=BM.【教材P77第4题】解：如图所示.作法(1)连接OM.

(2)过点M作OM的垂线,交⊙O于点A,B.线段AB即为所求的弦.返回C1.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定成立的是(

)返回2.B[2024长沙中考]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为4，则⊙O的半径OA的长为(

)返回3.D如图，已知⊙O的半径为5，弦PQ＝6，R是弦PQ上任意一点，则线段OR的长可能是(

)A．1B．2C．3D．4返回4.D唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该浆轮船的轮子的半径为(

)A．10mB．8mC．6mD．5m返回5.[教材P103“复习题”第2题变式]如图，AB是⊙O的弦，当半径OA＝4，∠AOB＝120°时，弦AB的长为________.返回6.(4分)[教材P76“习题3.3”第2题变式]如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝26，CD＝24，求∠OCE的正弦值.返回7.B如图，点A，B，C在⊙O上，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝3，OD＝4，则BD的长为(

)A．4B．1C．3D．2返回8.A如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是(

)A．48°

B．45°C．42°D．36°返回9.D下列说法正确的是(

)A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C．过弦的中点的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦返回10.1.3m如图，圆形拱门最下端AB在地面上，